Предел функции в точке. Рассмотрим функции, графики которых изображены на следующих рисунках: Во всех трех случаях изображена одна и та же кривая, но.

Презентация:



Advertisements
Похожие презентации
Предел последовательности и предел функции. Предел последовательности Рассмотрим две числовые последовательности (у n ) и (х n ) и изобразим их члены.
Advertisements

Предел и непрерывность функции.. Бесконечно малая и бесконечно большие величины. Переменная величина α называется бесконечно малой, если она изменяется.
Предел функции Предел функции в точке Односторонние пределы Предел функции при x стремящемся к бесконечности Основные теоремы о пределах Вычисление пределов.
Предел функции. Непрерывные функции. x x 0 y 0 y x 0 y x 0 y а)б)в)г)
Применения непрерывности 1. Непрерывность функции. Если f (x) f (x 0 ) при x x 0, то функцию называют непрерывной в точке x 0. Если функция непрерывна.
Предел функции Предел функции при x стремящемся к бесконечности Основные теоремы о пределах Вычисление пределов Раскрытие неопределенностей Первый замечательный.
ПроизводнаяПроизводная Урок 26 По данной теме урок 2 Классная работа
Работу выполнили: Сидорова Анжела Соловьева Наталья Захарова Ольга Сафонова Виктория Пискунова Наталья Руководитель: Елоевич Нина Тимофеевна Муниципальная.
Исследование функции. Цель: закрепление умения самостоятельного применения знаний по исследованию функций. Задачи: образовательные: повторение и закрепление.
Физический смысл производной Содержание Основные формулы дифференцирования Производная элементарных функций Геометрический смысл Правила дифференцирования.
П р е д е л п о с л е д о в а т е л ь н о с т и. Рассмотрим две числовые последовательности (у n ) и (х n ) и изобразим их члены точками на координатной.
Рассмотрим функцию y = f(x) с областью определения D R. Определение предела функции по Коши: число А называется пределом функции f в точке x 0, если она.
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Определение функции нескольких переменных Геометрическое изображение функции двух переменных Частное и полное приращение.
Основы высшей математики и математической статистики.
«Решение дробно - рациональных неравенств методом интервалов» «Решение дробно - рациональных неравенств методом интервалов»
Предел последовательности и функции. Цели: Сформировать понятие предела последовательности, функции; Ввести понятие сходящихся и расходящихся последовательностей,
1 2 Определение производной функции в точке Непрерывность дифференцируемой функции Дифференциал функции Геометрический смысл производной и дифференциала.
Что такое функция? Функциональная зависимость, или функция, - это такая зависимость между двумя переменными, при которой каждому значению независимой переменной.
ЛЕКЦИЯ 2 по дисциплине «Математика» на тему: «Производные функций. Правила дифференцирования. Дифференциал функции» для курсантов I курса по военной специальности.
Производная функции Производные высших порядков Производные от функций, заданных параметрически Дифференциал функции Геометрический смысл дифференциала.
Транксрипт:

Предел функции в точке

Рассмотрим функции, графики которых изображены на следующих рисунках: Во всех трех случаях изображена одна и та же кривая, но все же изображают они три разные функции, отличающиеся друг от друга своим поведением в точке. Рассмотрим каждый из этих графиков подробнее:

Для функции график которой изображен на этом рисунке, значение, не существует, функция в указанной точке не определена.

Для функции график которой изображен на этом рисунке, значение, существует, но оно отличное от, казалось бы, естественного значения точкакак бы выколота.

Для функции график которой изображен на этом рисунке, значение, существует и оно вполне естественное.

Для всех трех случаев используется одна и та же запись: которую читают: «предел функциипри стремлении к равен ». Содержательный смысл этой фразы следующий: если значения аргумента выбирать все ближе и ближе к значению, то значения функции все меньше и меньше отличаются от предельного значения Или можно сказать так: в достаточно малой окрестности точки справедливо приближенное равенство: При этом сама точкаисключается из рассмотрения.

Прежде чем перейти к разбору решений примеров заметим, что если предел функции при стремлении к равен значению функции в точке, то в таком случае функцию называют непрерывной. График такой функции представляет собой сплошную линию, без «проколов» и «скачков».

Функцию называют непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Примерами непрерывных функций на всей числовой прямой являются: Функция непрерывна на луче а функция непрерывна на промежутках А функции непрерывны на каждом промежутке из области их определения.

Математики доказали утверждение, которое мы будем использовать при вычислении пределов функции в точке: Если выражение составлено из рациональных, иррациональных, тригонометрических выражений, то функция непрерывна в любой точке, в любой точке, в которой определено выражение

Примеры Вычислить: Решение. Выражение определено в любой точке в частности, в точке Следовательно, функция непрерывна в точке а потому предел функции при стремлении к равен значению функции в точке Имеем:

Решение. Выражение определено в любой точке В частности, в точке Следовательно, функция непрерывна в точке а потому предел функции при стремлении к равен значению функции в точке Имеем: за исключением и функция определена.

Решение. Выражение не определено в точке Однако, заданную алгебраическую дробь можно сократить Но при вычислении предела функции при поскольку при подстановке этого значения переменной в заданное выражение, то и в числителе, и в знаменателе получится 0, а на 0 делить нельзя. Значит, функции и тождественны при условии саму точку можно исключить из рассмотрения (об этом говорилось выше). Поэтому:

Первый замечательный предел В математике есть пределы, вычисление которых довольно громоздко, поэтому некоторые пределы берут как табличные. Рассмотрим один из таких пределов.

Возьмем числовую окружность, выберем достаточно малое отметим на окружности точку и её ординату, т. е. - это длина дуги - это 0 х У P M A длина перпендикуляра Для достаточно малых значений выполняется равенство т. е. и, следовательно, Например, Так вот, в математике доказано, что

Практические задания Выполни из предлагаемого задачника следующие упражнения: 678; 679(а, б); 680(а, б);681(б, г); 682 (а, б); 683(а, б); 684(а, б); 686.