Предел функции в точке
Рассмотрим функции, графики которых изображены на следующих рисунках: Во всех трех случаях изображена одна и та же кривая, но все же изображают они три разные функции, отличающиеся друг от друга своим поведением в точке. Рассмотрим каждый из этих графиков подробнее:
Для функции график которой изображен на этом рисунке, значение, не существует, функция в указанной точке не определена.
Для функции график которой изображен на этом рисунке, значение, существует, но оно отличное от, казалось бы, естественного значения точкакак бы выколота.
Для функции график которой изображен на этом рисунке, значение, существует и оно вполне естественное.
Для всех трех случаев используется одна и та же запись: которую читают: «предел функциипри стремлении к равен ». Содержательный смысл этой фразы следующий: если значения аргумента выбирать все ближе и ближе к значению, то значения функции все меньше и меньше отличаются от предельного значения Или можно сказать так: в достаточно малой окрестности точки справедливо приближенное равенство: При этом сама точкаисключается из рассмотрения.
Прежде чем перейти к разбору решений примеров заметим, что если предел функции при стремлении к равен значению функции в точке, то в таком случае функцию называют непрерывной. График такой функции представляет собой сплошную линию, без «проколов» и «скачков».
Функцию называют непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Примерами непрерывных функций на всей числовой прямой являются: Функция непрерывна на луче а функция непрерывна на промежутках А функции непрерывны на каждом промежутке из области их определения.
Математики доказали утверждение, которое мы будем использовать при вычислении пределов функции в точке: Если выражение составлено из рациональных, иррациональных, тригонометрических выражений, то функция непрерывна в любой точке, в любой точке, в которой определено выражение
Примеры Вычислить: Решение. Выражение определено в любой точке в частности, в точке Следовательно, функция непрерывна в точке а потому предел функции при стремлении к равен значению функции в точке Имеем:
Решение. Выражение определено в любой точке В частности, в точке Следовательно, функция непрерывна в точке а потому предел функции при стремлении к равен значению функции в точке Имеем: за исключением и функция определена.
Решение. Выражение не определено в точке Однако, заданную алгебраическую дробь можно сократить Но при вычислении предела функции при поскольку при подстановке этого значения переменной в заданное выражение, то и в числителе, и в знаменателе получится 0, а на 0 делить нельзя. Значит, функции и тождественны при условии саму точку можно исключить из рассмотрения (об этом говорилось выше). Поэтому:
Первый замечательный предел В математике есть пределы, вычисление которых довольно громоздко, поэтому некоторые пределы берут как табличные. Рассмотрим один из таких пределов.
Возьмем числовую окружность, выберем достаточно малое отметим на окружности точку и её ординату, т. е. - это длина дуги - это 0 х У P M A длина перпендикуляра Для достаточно малых значений выполняется равенство т. е. и, следовательно, Например, Так вот, в математике доказано, что
Практические задания Выполни из предлагаемого задачника следующие упражнения: 678; 679(а, б); 680(а, б);681(б, г); 682 (а, б); 683(а, б); 684(а, б); 686.