Южный федеральный университет Технологический университет, г. Таганрог Матвеев А.И. ВЛИЯНИЕ ПУЧКА КОНЕЧНОЙ ПЛОТНОСТИ НА ДИСПЕРСИЮ ПРОДОЛЬНОЙ ВОЛНОЙ

Постановка задачи. Рассматривается одномерная квазистационарная задача эволю- ции продольной волны с потенциалами в однородной бесстолкновительной плазме, которую в направле- нии распространения волны пронизывает пучок электронов. Распределение электронов пучка по продольной скорости имеет форму узкого пика со средней скоростью и тепловым разбро- сом,, где,, Т, Т b темпе- ратуры электронов плазмы и пучка в энергетической системе единиц. Волна в плазме с пучком стационарна, если 0 e Амплитуда волны, нагруженной электронами пучка, очень медленно увеличивается от нуля при t до некоторого произвольного значения A. Начальная частота волны ω 0 ω e. Необходимо определить сдвиг частоты в зависимости от амплитуды волны.

Частота ω, время t координата z обезразмерены соответственно деле- нием на ω 0, ω 0 1 и k 1, где ω 0 частота в начале возбуждения, фазовая скорость u и продольная скорость электрона на, кон- центрация электронов плазмы N и потока на, функция распределения на n cr k/ω 0, плотность заряда на en cr, электронная температура T на mu 0 2, потенциал φ на mu 0 2 /e. Функции распределения электронов плазмы и пучка, адиабатические инварианты (1) (2) Решением кинетического уравнения являются произвольные фун- кции адиабатических инвариантов (Красовский В.Л. ЖЭТФ, Т.95, они верны при медленном изменении ω, А и профиля волны )

Качественный анализ уравнения нелинейного осциллятора пучково-плазменных колебаний Функции распределения электронов пучка эффективный потенциал Граничные условия (3) (4) (5),

N b /N= A 1 = , φ m = , W b = (1), A 1 = , φ m = , W b = (2) 1 A 1 = , φ m = , W b = (3), 1 A 1 = , φ m = , W b = (4) (6)

Рис. 1. Изменение профиля эффективного потенциала в процессе возбуждения волны

Дисперсия волны конечной амплитуды с захваченными электронами пучка Интегрирование (7) дает (7) (8) (9) b 0 Вторая яма возникает у эффективного потенциала, когда энергия пучка уменьшится до величины W b < φ 0 (рис. 1 (3)).

Рис. 2. Искажение потенциала волны после захвата электронов пучка (потенциал фрагмента 1-й волны изменяется в пределах первой ямы)

Вместо (3) для захваченных электронов следует использовать Длина волны согласно граничному условию остается неизменной (10) Для самосогласованного распределение электронов с энергией необходимо использовать адиабатический инвариант захваченных электронов пучка Нелинейное уравнение дисперсии волны (Уизм) 1, 2 к φ 1, φ 2 корни уравнения HU(φ)

b 1) В случае пучков малой плотности N b /A φ 10, то дисперсионное уравнение таково (12) b b10 3) Для пучков конечной плотности N b /A>1, если у эффективного потенциала две ямы W b < φ 10, то дисперсионное уравнение таково b где δH=H U(W b ). b10 e При уменьшении энергии электронов пучка W bφ 10 частота волны уменьшается ω=2ω e /3.

12e Если амплитуда волны значительно превышает начальную, то после достаточно большого уменьшении энергии электронов пучка δH

Солитоны в пучково-плазменной системе Высота барьера становится близкой к полной энергии пучково- плазменной системы. В реальных условиях пучок имеет разброс по продольной скорости. Из-за этого вершина барьера при- нимает форму не острого пика, как это изображено на рис. 1, а явля- ется сглаженной с максимумом при потенциале. В качестве исходного приближения возьмем потенциал (8). Используя ад. инва- рианты, найдем распределение захваченныхэлектронов (13) где Подставим (13) в (5), перейдем к новому переменному интегрирования. Радикал в разложим в ряд по, ограничиваясь в нем старшим порядком. В результате эффективный потенциал принимает вид

Разложим (14) в ряд по, удерживая в разложении слагае- мые, содержащие, вплоть до третьей степени, затем проинтегри- руем полученное выражение (14) где (15) График эффективного потенциала (15) приведен на рис.3 для сле- дующего увеличения амплитуды волны..

Рис.3. Эффективный потенциал после достаточно большого увеличения амплитуды волны.

где Проинтегрировав (16) после сшивания решения найдем потенциал волны (16) Подставив (15) в (4) и разложив на множители правую часть полу- ченных уравнений, в системе отсчета, связанной с волной, имеем

Рис. 4. Последовательность разнополярных солитонов

Вывод: Взаимодействие продольной волны с пучком захваченных электронов приводит к неустойчивости ее формы. Синусоидальная волна на первом этапе возбуждения с ростом амплитуды превращается в гибрид из двух волн, дальнейшее увеличение амплитуды приводит к трансформации волны в последовательность разнополярных солитонов.