Проценты Мишенькина Т.И. лицей 9 им.А.С.Пушкина Г.Зеленодольск РТ

Простые и сложные проценты. 1. Простые проценты.

1.Нахождение процента от числа На ремонт мебели в школе затрачено руб. 45% этой суммы пошло на оплату труда столярам, а остальная часть на материалы. Сколько было израсходовано на оплату труда и сколько на материалы? Решение: Найдём сначала, сколько уплатили столярам. Из условия задачи видно, что им уплатили 45% от руб. 1200:10045=540 руб. Из этой записи видно, что для нахождения нескольких процентов от числа нужно это число разделить на 100 и умножить на число процентов. Эту мысль можно записать в виде формулы; обозначим искомое число буквой b, данное в задаче число буквой а и число процентов буквой р. Таким образом, формула примет вид: Теперь нам нужно ещё найти стоимость материалов Найдём сначала, сколько процентов составляет стоимость материалов от общей суммы ремонта. Так как на рабочую силу израсходовано 45%, то на материалы: 100 % - 45 % = 55 %. Следовательно, нам нужно найти 55% от руб. Мы можем воспользоваться теперь формулой. В данном случае вместо а подставим 1 200, а вместо р число 55. Получим следующее: (руб.) Таким образом, из 1200 руб. рабочим уплатили 540 руб., а на материалы израсходовали 660 руб. Ответ: 540 руб., 660 руб. 1.Нахождение процента от числа На ремонт мебели в школе затрачено руб. 45% этой суммы пошло на оплату труда столярам, а остальная часть на материалы. Сколько было израсходовано на оплату труда и сколько на материалы? Решение: Найдём сначала, сколько уплатили столярам. Из условия задачи видно, что им уплатили 45% от руб. 1200:10045=540 руб. Из этой записи видно, что для нахождения нескольких процентов от числа нужно это число разделить на 100 и умножить на число процентов. Эту мысль можно записать в виде формулы; обозначим искомое число буквой b, данное в задаче число буквой а и число процентов буквой р. Таким образом, формула примет вид: Теперь нам нужно ещё найти стоимость материалов Найдём сначала, сколько процентов составляет стоимость материалов от общей суммы ремонта. Так как на рабочую силу израсходовано 45%, то на материалы: 100 % - 45 % = 55 %. Следовательно, нам нужно найти 55% от руб. Мы можем воспользоваться теперь формулой. В данном случае вместо а подставим 1 200, а вместо р число 55. Получим следующее: (руб.) Таким образом, из 1200 руб. рабочим уплатили 540 руб., а на материалы израсходовали 660 руб. Ответ: 540 руб., 660 руб.

2. Нахождение числа по его проценту Задача : На оплату труда израсходовано 540 руб., и это составляет 45% от общей суммы ремонта. А остальная часть - на материалы. Во что обошёлся ремонт мебели? Решение: Задача требует, зная 45% числа, найти 100% его, т. е. всё число. Поступим так: найдём сначала 1% (путём деления данного числа на 45), а потом найдём 100% (умножением): Эту мысль можно записать в виде, формулы. Для этого обозначим искомое число буквой а, данное в задаче число, соответствующее нескольким процентам, буквой b, а число процентов буквой р. Тогда формула примет вид:. Воспользуемся этой формулой для того, чтобы, зная стоимость материалов (660 руб.) и соответствующее ей число процентов (55%), найти снова всю сумму денег, затраченных на ремонт: (руб.) Ответ:1200 руб. 2. Нахождение числа по его проценту Задача : На оплату труда израсходовано 540 руб., и это составляет 45% от общей суммы ремонта. А остальная часть - на материалы. Во что обошёлся ремонт мебели? Решение: Задача требует, зная 45% числа, найти 100% его, т. е. всё число. Поступим так: найдём сначала 1% (путём деления данного числа на 45), а потом найдём 100% (умножением): Эту мысль можно записать в виде, формулы. Для этого обозначим искомое число буквой а, данное в задаче число, соответствующее нескольким процентам, буквой b, а число процентов буквой р. Тогда формула примет вид:. Воспользуемся этой формулой для того, чтобы, зная стоимость материалов (660 руб.) и соответствующее ей число процентов (55%), найти снова всю сумму денег, затраченных на ремонт: (руб.) Ответ:1200 руб.

3. Нахождение процентного отношения двух чисел Задача: На 10 кг муки получилось 4,5 кг припёка. Сколько процентов составляет припёк от данного количества муки? Решение: Попробуем составить формулу для решения этой задачи. Припомним указание, сделанное к первой задаче. Там было сказано, что для решения подобных задач нужно разделить одно из чисел на другое (взять их отношение) и полученное частное умножить на 100. Обозначим одно из чисел буквой а, другое буквой А, число процентов буквой р. Тогда формула примет вид: Применим её к решению нашей задачи, подставив в неё вместо букв числа из задачи: p=4,5100/10=45% Ответ. Припёк составляет 45%.

Задачи на сплавы, растворы и смеси Задача 1:Слиток сплава серебра с цинком весом в 3.5 кг содержал 76% серебра. Его сплавили с другим слитком и получили слиток весом в 10.5 кг, содержание серебра в котором было 84%. Сколько процентов серебра содержалось во втором слитке? Решение: 1) = 2.66 (кг) серебра в первом слитке. 2) = 8.82 (кг) серебра в 10.5 кг сплава. 3) = 6.16 (кг) серебра во втором слитке. 4) = 7 (кг) вес второго слитка. 5) 6.16: 7 = 0.88 = 88% серебра содержалось во втором слитке. Ответ: 88% серебра. Задача2: Сколько граммов 8% серной кислоты можно получить из 200 г жидкости, содержащей 62% серной кислоты? Решение: 1) = 124 (г) - столько крепкой (100%) серной кислоты содержится в 200 г 62-х процентной кислоты. 2) 124: 0.08 = 1550 (г) - столько 8-ми процентной кислоты можно получить из 200 г 62-х процентной серной кислоты. Ответ: 1550 г.

2. Сложный процент. S - доход, планируемый к получению в n-ом году; Р - текущая стоимость, т. е. оценка величины S- c позиции текущего момента;.

1. Формула увеличения числа на заданный процент. Сумма с НДС. A 2 = A 1 + A 1 P/100. или A 2 = A 1 (1 + P/100). Пример 1. Банковский кредит рублей под 5 процентов. Общая сумма долга составит. A 2 = (1+5/100) = = Формула уменьшения числа на заданный процент. A 2 = A 1 (1 - P / 100). Пример. Денежная сумма к выдаче за минусом подоходного налога (13 процентов). Пусть оклад составляет рублей. Тогда сумма к выдаче составляет: A 2 = 10000(1 - 13/100) = = Формула вычисления исходной суммы. Сумма без НДС. Обозначим p = P / 100, тогда: A 1 = A 2 + p A 2. A2= A1 / (1 + p). Пример. Сумма с НДС равна 1180 рублей, НДС 18 процентов. Стоимость без НДС составляет: A2= 1180 / ( ) = 1000.

4. Расчет процентов на банковский депозит. Формула расчета простых процентов. Если проценты на депозит начисляются один раз в конце срока депозита, то сумма процентов вычисляется по формуле простых процентов. S = K + (KPd/D)/100 Sp = (KPd/D)/100 Где: S сумма банковского депозита с процентами, Sp сумма процентов (доход), K первоначальная сумма (капитал), P годовая процентная ставка, d количество дней начисления процентов по привлеченному вкладу, D количество дней в календарном году (365 или 366). Пример 1. Банком принят депозит в сумме 100 тыс. рублей сроком на 1 год по ставке 20 процентов. S = /365/100 = Sp = /365/100 = 20000

5. Расчет процентов на банковский депозит при начислении процента на процент. Формула расчета сложных процентов. Если проценты на депозит начисляются несколько раз через равные промежутки времени и зачисляются во вклад, то сумма вклада с процентами вычисляется по формуле сложных процентов. S = K ( 1 + Pd/D/100 )n Где: S сумма депозита с процентами, К сумма депозита (капитал), P годовая процентная ставка, n число периодов начисления процентов. При расчете сложных процентов проще вычислить общую сумму с процентами, а потом вычислить сумму процентов (доход): Sp = S - K = K ( 1 + Pd/D/100 )n - K или Sp = K (( 1 + Pd/D/100 )n - 1) Пример 1. Принят депозит в сумме 100 тыс. рублей сроком на 90 дней по ставке 20 процентов годовых с начислением процентов каждые 30 дней. S = ( /365/100)3 = Sp = (( /365/100)n - 1) =

6. Еще одна формула сложных процентов. Если процентная ставка дана не в годовом исчислении, а непосредственно для периода начисления, то формула сложных процентов выглядит так. S = K ( 1 + P/100 )n Где: S сумма депозита с процентами, К сумма депозита (капитал), P процентная ставка, n число периодов начисления процентов. Пример. Принят депозит в сумме 100 тыс. рублей сроком на 3 месяца с ежемесячным начислением процентов по ставке 1.5 процента в месяц. S = ( /100)3 = Sp = (( /100)3 - 1) =

Задачи на расчет сложного процента Задача 1: В скорость тела, движущегося равноускоренно, каждую секунду увеличивается на 10%. В данный момент его скорость 10 м/с. Какова будет его скорость через три секунды? Решение: Ответ: через три секунды скорость будет 13,31 м/с. Задача 2: Банк выплачивает вкладчикам каждый месяц 2% от внесенной суммы. Клиент сделал вклад в размере 500 руб. Какая сумма будет на его счете через полгода? Решение: (1+26/100)500=1,12500=560(руб). Ответ: 560 руб. Задача 3: В книжном магазине энциклопедию по биологии стоимостью 350 рублей уценивали дважды на одно и то же число процентов. Найдите это число, если известно, что после двойного сложения цен энциклопедия стоит 283 рубля 50 копеек. Решение: 350(1-0,01р)2=283,5 (1-0,01р)2=0,81 1-0,01р=0,9 0,01р=0,1 р=10 Ответ: энциклопедию уценивали на 10%.

Задача 4: Цена 51, 2 рубля за шариковую ручку трижды увеличивали на одно и то же число процентов, а затем трижды уменьшали на то же самое число процентов. В результате получилась цена ручки 21,6 рубля. На сколько процентов увеличили, а затем уменьшили цену шариковой ручки? Попробуем по приведенным цифрам рассчитать, на сколько процентов увеличили, а затем уменьшили цену капиллярной ручки. Это задача на расчет сложного процента. Расчет сложных процентов производится по формуле сложного процентного роста: Действительно, если изменение числа на р% заменить умножением на нужное число, то, увеличив число S на р%, получим То есть чтобы увеличить число на р%, достаточно умножить его на и чтобы число уменьшить на р%, достаточно умножить его на Решение: Вернемся к задаче и из условия задачи имеем Ответ: цена капиллярной ручки увеличивалась и уменьшалась на 50%.

Задача 5: 1 января вкладчик положил на счет в банке 2000 рублей по схеме обыкновенный процент и приблизительное число дней под 22% годовых. По какое число нужно делать вклад, чтобы получить 2350 рублей? Решение :Длительность года по схеме приблизительное число дней будет 360. Преобразуем формулу однократных внутригодовых начислений таким образом, чтобы выделить число дней финансовой операции: т.е. 286 дней = дней. Ответ. Вклад нужно сделать на 9 месяцев и 16 дней, то есть по 16 октября.