Чохщядлинин вуруглара айрылмасы «Чохщядлинин вуруглара айрылмасы» мювзусунда цмумиляшдирилмиш дярс Ъябр, 7-ъи синиф Презентасийанын мцяллифи: А.Щ.Щцсейнов, рийазиййат мцяллими

Ясас анлайышлар Чохщядлинин даща садя чохщядлилярин щасили шяклиндя эюстярилмясиня чохщядлинин вуруглара айрылмасы дейилир. Вуруглара айырманын бир нечя цсулу вардыр: Ортаг вуруьун мютяризя хариъиня чыхарылмасы Ортаг вуруьун мютяризя хариъиня чыхарылмасы Груплашдырма цсулу Груплашдырма цсулу Мцхтясяр вурма дцстурларынын тятбиги Мцхтясяр вурма дцстурларынын тятбиги Гейд. Ашаьыдакы бцтцн слайдларда «вурма» ямяли х ишаряси иля явяз едилмишдир.

Яввялъя вуруглара айырманын ящямиййяти щаггында данышаг. Тутаг ки, сиздян 2й 2 +й-6=0 тянлийини щялл етмяк тяляб олунур. Бу ъцр тянликлярин хцсуси щялл цсулу вардыр, амма бу цсулу йухары синифлярдя кечяъяксиниз. Бяс эюрясян бу тянлийи башга бир цсулла щялл етмяк мцмкцндцрмц? Эялин вуруглара айырманын имканлары барядя дцшцняк.

Груплашдырма цсулуну тятбиг едяряк алырыг: 2й 2 +й–6= 2й 2 +4й–3й–6=2й(й+2)-3(й+2)=(2й-3)(й+2) Демяли, 2й 2 +й–6=0 вя (2й-3) (й+2)=0 тянликляри ейниэцълцдцр. Бурадан ися алырыг ки, йа 2й-3=0, йа да й+2=0. Биринъи тянликдян й=1,5, икинъи тянликдян й=-2 алыныр. Беляликля, тянлик щялл олунду. Онун кюкляри 1,5 вя –2-дир.

Чохщядлинин вуруглара айрылмасынын башга бир ящямиййяти щаггында Ашаьыдакы кясрин ядяди гиймятини щесаблайаг: Бунун цчцн а 2 -б 2 =(а-б)(а+б) мцхтясяр вурма дцстурундан истифадя едяк: = (53-47)(53+47) = 6100 = 6 = (61-39)(61+39) Беляликля, вуруглара айырманын кюмяйи иля биз кясри ихтисар едя билдик.

Эюрцндцйц кими чохщядлинин вуруглара айрылмасы тянликлярин щяллиндя, ядяди вя ъябри ифадялярин чеврилмясиндя истифадя олунур. Вуруглара айырма башга мясялялярдя, мясялян, ашаьыдакы мараглы бир мясялядя дя истифадя олунур.

МЯСЯЛЯ Исбат едяк ки, истянилян н натурал ядяди цчцн n 3 +3n 2 +2n ифадяси 6-йа галыгсыз бюлцнцр.

Щялли Тутаг ки, p(n) = n 3 +3n 2 +2n. n=1 олдугда, p(1)=1+3+2=6. Демяли, p(1) 6-йа галыгсыз бюлцнцр. n=2 олдугда, p(2)=2 3 +3х2 2 +2х2=8+12+4=24. Демяли, p(2) 6-йа галыгсыз бюлцнцр. Яэяр n=3 оларса, p(3)=3 3 +3х3 2 +2х3= =60. Одур ки, p(3) дя 6-йа галыгсыз бюлцнцр. Айдындыр ки, биз бу йолла бцтцн натурал ядядляри йохлайа билмярик. Бяс неъя едяк? Кюмяйя ъябри цсуллар эялир. Нязяря алсаг ки, n(n+1)= n 2 + n вя (n 2 +n)(n+2)=n 3 +2n 2 +n 2 +2n=n 3 +3n 2 +2n, онда алырыг ки, n 3 +3n 2 +2n=n(n+1)(n+2). Беляликля, p(n)=n(n+1)(n+2), йяни p(n) цч ардыъыл натурал ядядин щасилидир. Ихтийари цч ардыъыл натурал ядяддян бири 3-я, диэяри 2-йя бюлцндцйцндян п(н) 6-йа бюлцнцр. Мясяля щялл олунду. Амма щарадан аьла эялярди ки, n 3 +3n 2 +2n= n(n+1)(n+2)? Ъаваб бирмяналыдыр: чохщядлинин вуруглара айрылмасы цсулларыны билмяк лазымдыр.

Ортаг вуруьун мютяризя хариъиня чыхарылмасы бир нечя бирщядлинин ортаг вуруьунун тапылмасы алгоритми Яэяр чохщядлийя дахил олан бирщядлилярин ямсаллары там ядядлярдирся, онда бу ямсалларын ЯБОБ-у ортаг ядяди вуруг олаъагдыр. Щяр бир бирщядлидя иштирак едян дяйишянлярдян гцввяти ян кичик оланлары тапылыр. Ядяди ортаг вуруьун бу дяйишянляря щасили чохщядлинин ортаг вуруьу олаъагдыр.

НЦМУНЯ Вуруглара айырын: -а 4 y 3 -2а 3 y 2 +5а 2. Йухарыда гейд олунан алгоритмдян истифадя едяк: –1, -2 вя 5 ямсалларынын ЯБОБ-у 1-я бярабярдир. Чохщядлидя иштирак едян бцтцн бирщядлиляря дахил олан дяйишян а-дир. Онун 4, 3, 2 гцввятляриндян ян кичийи 2-дир. Йяни: а 2. й дяйишяни бцтцн бирщядлиляря дахил олмадыьындан ону ортаг вуруьа аид етмрик. Ядяди ортаг вуруьу (йяни 1-и) вя ортаг дяйишянин (йяни а 2 ) щасили а 2 олдуьундан ортаг вуруг а 2 -дыр. Нятиъя мютяризя хариъиня а 2 -ны чыхармалыйыг. Ялбяття, бу нцмунядя -а 2 -ны мютяризя хариъиня чыхармаг даща мягсядяуйьун олар. Аларыг: -а 4 y 3 -2а 3 y 2 +5а 2 = -а 2 (а 2 y 3 +2аy 2 -5).

Груплашдырма цсулу Бу цсулун мащиййятини баша дцшмяк цчцн ашаьыдакы нцмуняйя бахаг: вуруглара айырын: аy-6+3а-2y Биринъи цсул: аy-6+3а-2y=(аy-6)+(3а-2y). Груплашдырма уьурсуз олду. Икинъи цсул: аy-6+3а-2y=(аy+3а)+(-6-2y)=а(y+3)-2(y+3)=(y+3)(а-2). Цчцнъц цсул: аy-6+3а-2y=(аy-2y)+(-6+3а)=y(а-2)+3(а-2)=(а-2)(y+3). Ъаваб: аy-6+3а-2y=(а-2)(y+3). Эюрцндцйц кими груплашдырма цсулу биринъи дяфядян вуруглара айрылмайа эятириб чыхармайа да биляр. Яэяр илк груплашдырма уьурсуз олдуса, ондан ял чякиб башга груплашдырма щаггында дцшцнцн. Тяърцбя топладыгъа сизя лазым олан груплашдырманы даща тез тапаъагсыныз.

Мцхтясяр вурма дцстурларынын кюмяйи иля вуруглара айырма бу дцстурлар, ясасян, ашаьыдакылардыр a 2 -b 2 =(a-b)(a+b); a 3 -b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2 ); a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2 ); a 2 +2ab+b 2 =(a+b) 2 ; a 2 -2ab+b 2 =(a-b) 2 ; а 3 -3а 2 b+3ab 2 -b 3 =(a-b) 3 ; a 3 +3а 2 b+3ab 2 +b 3 =(a+b) 3 ;

НЦМУНЯЛЯР вуруглара айырын: 1) й 6 -4a 4. 1-ъи дцстура эюря аларыг: й 6 -4a 4 =(й 3 ) 2 -(2a 2 ) 2 =(й 2 -2a 2 )(й 3 +2a 2 ). 2) a 6 +27b 3. 3-ъц дцстура эюря аларыг: a 6 +27b 3 =(a 2 ) 3 +(3b) 3 =(a 2 +3b)((a 2 ) 2 -a 2 х3b+(3b) 2 )= =(a 2 +3b)(a 4 -3a 2 b+9b 4 ). 3) a 2 -4ab+4b 2. 5-ъи дцстура эюря аларыг: a 2 -4ab+4b 2 =a 2 +(2b) 2 -2хaх2b=(a-2b) 2. 4) 8-36а+54а 2 -27а 3. 6-ъы дцстура эюря аларыг: 8-36а+54а 2 -27а 3 =2 3 -3х2 2 х3а+3х2х(3а) 2 -(3а) 3 =(2-3а) 3

Мцхтялиф цсулларын комбиня едилмяси йолу иля чохщядлинин вуруглара айрылмасы Рийазиййатда йалныз бир цсулун тятбиги иля щалл олунан мясяляляр чох дейилдир вя бир нечя цсулун комбиня едилмиш шякилдя истифадясиня ися дащ тет-тез раст эялинир. Беля мясяляляри щялл етмяйи баъармаг цчцн йалныз щялл цсулларыны билмяк аздыр, ялавя олараг бу цсулларын щансы ардыъыллыгла тятбиг олунмасы барядя тясяввцря дя малик олмаг лазымдыр. Башга сюзля, бурада йалныз билик дейил, щям дя тяърцбя лазымдыр.

Нцмуня 1 Вуруглара айырын: 36a 6 b a 4 b 4 +64a 2 b 5 1) Яввялъя ортаг вуруьу мютяризя хариъиня чыхараг. Бунун цчцн лазым олан алгоритми йериня йетиряк. 36, 96, 64 ядядляринин ЯБОБ-у 4-дцр. а дяйишянинин гцввятляриндян ян кичийи 2, б дяйишянинин ян кичик гцввяти ися 3-дцр. Одур ки, мютяризя хариъиня чыхарылан ортаг вуруг 4а 2 б 3 олаъагдыр. 36a 6 b 3 -96a 4 b 4 +64a 2 b 5 =4a 2 b 3 (9a 4 -24a 2 b+16b 2 ). 2) Инди ися мютяризя дахилиндяки чохщядлийя бахаг: 9a a 2 b+16b 2. Мцхтясяр вурма дцстурларындан 5-ъини тятбиг етсяк аларыг: 9a 4 -24a 2 b+16b 2 =(3a 2 -4b) 2. 3) Беляликля, ики цсулун- ортаг вуруьун мютяризя хариъиня чыхарылмасынын вя мцхтясяр вурма дцстурунун комбиня едилмяси нятиъясиндя алдыг ки, 36a 6 b a 4 b 4 +64a 2 b 5 =4a 2 b 3 (3a 2 -4b) 2.

Нцмуня 2 вуруглара айырын: й 4 +й 2 a 2 +a 4 Нязяря алсаг ки, й 2 a 2 =2й 2 a 2 -й 2 a 2 онда мцхтясяр вурма дцстурларынын (1 вя 4) комбиняси нятиъясиндя йаза билярик: й 4 +й 2 a 2 +a 4 =й 4 +2й 2 a 2 -й 2 a 2 +a 4 = =(й 4 +2й 2 a 2 +a 4 )-й 2 a 2 = =(й 2 +a 2 ) 2 -(йa) 2 =(й 2 +a 2 +йa) (й 2 +a 2 -йa)

Яввялъя н-и мютяризя хариъиня чыхарараг аларыг ки, n(n 2 +3n+2). Сонра мютяризядяки цчщядлийя груплашдырма цсулуну тятбиг етмяк олар. Бу заман нязяря алмаг лазымдыр ки, 3н=н+2н. Беляликля, n 2 +3n+2=n 2 +2n+n+2=(n 2 +2n)+(n+2)= =n(n+2)+(n+2)=(n+2)(n+1). Сон нятиъядя алырыг ки, n 2 +3n+2=n(n+1)(n+2). Нцмуня 3 вуруглара айырын: n 3 +3n 2 +2n

Биринъи цсул. Нязяря алсаг ки, –6й=–й-5й, онда груплашдырма цсулу иля аларыг: й 2 -6й+5=й 2 -5й+5=(й 2 -й)+(-5й+5)=й(й-1)-5(й-1)=(й-1)(й-5). Онда верилмиш тянлик ашаьыдакы шякля дцшяр: (й-1)(й-5)=0, Бурадан ися алырыг ки, й=1 вя йа й=5. Икинъи цсул. Нязяря алсаг ки, 5=9-4 онда ашаьыдакылары йаза билярик: й 2 -6й+5=й 2 -6й+9-4=(й 2 -6й+9)-4= =(й-3) =(й-3-2)(й-3+2)=(й-5)(й-1). Биз йенидян (й-1)(й-5)=0 тянлийини алдыг. Беляликля, тянлийин кюкляри 1 вя 5-дир. Нцмуня 4 тянлийи щялл един: й 2 -6й+5=0

ЯСАС НЯТИЪЯЛЯР Биз Биз бу дярсдя артыг таныш олдуьумуз йени анлайышлары тякрарладыг. Бу анлайышлар ашаьыдакылар иди: чохщядлинин вуруглара айрылмасы; ъябри кясрин ихтисары; ифадянин чеврилмяси. Бундан Бундан башга биз чохщядлинин вуруглара айрылмасынын ашаьыдакы цсулларыны йада салдыг: ортаг вуруьун мютяризя хариъиня чыхарылмасы; груплашдырма цсулу; мцхтясяр вурма дцстурларынын тятбиги;

ПРЕЗЕНТАСИЙАНЫН СОНУ