Тверь 2007 МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА 29 Р Е Ф Е Р А Т На тему: "Золотое сечение " Выполнила: Ученица 8 «а» класса Буслова К.А. Руководитель: Потапенко М.С. Приложение 5

Золотое сечение – гармоническая пропорция Золотое сечение это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как большая часть относится к меньшей х а. или Число обозначается буквой Ф а -х

Ф – единственное число, которое обладает свойством быть на единицу больше своего обратного числа. Ф -1 =φ=1, … Уравнение золотого сечения х 2 – х = 1, где х 1 = φ = 1, …, х 2 = -φ -1 =-0, …, удовлетворяют свойству самонормирования, позволяющее строить более сложные «конструкции» по «образу и подобию». Подставляя корни в уравнение х (х - 1) = 1, мы получим φ 1 (φ 1 - 1) = 1, (1, ) = φ · φ -1 = 1, · 0, … = 1. -φ -1 ( - φ -1 – 1) = - 0,618… · (-0,618…- 1) = -0,618…·(-1,618) = - φ -1 ·(- φ) = φ -1 · φ =1 Справедливы следующие тождества: φ -2 – (- φ -1 ) = 0,382… + 0,618… = 1. φ -2 = 0,382…; φ -1 = 0,618…; φ 1 = 1,618…; φ 2 = 2,618…; Итак, φ - иррациональное число, положительное решение любого из следующих уравнений : φ 1 · φ -1 = 1.1, φ, φ 2, φ 3, φ 4, φ 5, φ 6,φ 7. 1 = φ …

Практическое знакомство с золотым сечением А В С D EО АО=ОВ СВ=ОВ СD=CB АЕ=AD АВ/АE=AЕ/EB

D ВАC 6238 E Построение второго золотого сечения

Деление прямоугольника линией второго сечения

CE=DE Построение правильного пятиугольника D O A E C

m M Построение пентаграммы

OO P B O O O A C DD1D1 36 Золотой треугольник 62 38

Храм Парфенона (V век до н.э.) A B C

Пропорциональный циркуль Дюрера С D A B 90 мм56 мм 146 мм

Шкала отрезков золотой пропорции Великий астроном XVI в. Иоган Кеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение). Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя «Устроена она так, писал он, - что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности». Построение ряда отрезков золотой пропорции можно производить как в сторону увеличения (возрастающий ряд), так и в сторону уменьшения (нисходящий ряд). Если на прямой произвольной длины, отложить отрезок m, рядом откладываем отрезок М. На основании этих двух отрезков, выстраиваем шкалу отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов. m-(M-n) M-m m M m+M M+(m+M)

Золотые пропорции в частях тела человека

Золотые пропорции в фигуре человека В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования». Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа - важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8 = и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 : 5 = 1.6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1:1. к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д. Справедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского.

Ряд Фибоначчи Месяцы Пары кроликов «Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится». Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд цифр: Ряд чисел 0, 1, 1. 2, 3, 5, 8,13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих = 5; = 8; = 13; = 21; = 34 и т.д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так. 21 : 34 = 0.617, а 34 : 55 = 0,618. Это отношение обозначается символом Ф, когда меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему. Только это отношение - 0,618 : 0,382 - дает непрерывное деление отрезка прямой в золотой пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности.

Спираль Архимеда 0,618 1,0 1, ,0 У Е Б Б В А Г О Ж Ж Д

Цикорий

Ящерица живородящая

Яйцо птицы 3862

Пропорция и древнерусский сажень

Виды саженей п.п Виды саженей Длина «см». Длина саженей, «см». 1/2 полсажени 1/4 локоть 1/8 пядь 1/16 пясть 1/32 вершок 1. Простая 152, 7676,3838,1919,19,554,77 2. Маховая 176, 488,244,122,0511,035,51 3. Морская 18391,545,7522,8811,445,72 4. Трубная 18793,546,7523,3811,695,84 5. Без чети 197,298,649,324,6512,326,16 6. Косая ,56,75 7. Великая 249, 46124,7362,3731,1815,597,8

Виды саженей п.пВиды саженейДлина сажени «см» 1. Простая (Прямая) 2. Маховая (Мерная) 3. Без чети (Царская) 4. Косая (Козённая) 5. Греческая 6. Великая