Нормальное распределение
Плотность нормального распределения Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение, если ее плотность задается выражением:
График нормального распределения График плотности нормального распределения имеет форму колокола. Этот график называют нормальной кривой или кривой Гаусса.
Параметры нормального распределения Нормальное распределение определяется двумя параметрами:
Функция распределения нормального закона Функция распределения для нормального закона имеет вид: F
Примеры реальной жизни Из примеров в реальной жизни нормальному распределению подчиняются: рост человека или других живых организмов; давление крови; экзаменационные оценки; погрешности в измерениях; и др.
Стандартное нормальное распределение
Случайная величина имеет стандартное нормальное распределение, если:
Плотность и функция распределения Плотность распределения: Функция распределения: F
Операция стандартизации Операция стандартизации означает преобразование произвольного нормального распределения с параметрами µ, σ в стандартное с параметрами 0 и 1 : X Z Стандартизация означает, что мы смещаем распределение и изменяем его форму так, чтобы оно стало стандартным.
Задача При разработке новой модели автомобиля инженеры- конструкторы учитывают, что рост человека в сидячем состоянии в среднем составляет 91 см со стандартным отклонением 3,5 см. Исходя из этого, они предполагают, что рост человека в сидячем состоянии не превысит 97 см. Проверим, насколько разумны эти предположения. Какое количество потенциальных покупателей не смогут воспользоваться данным автомобилем?
Решение Максимально возможный рост составляет 97 см. Найдем вероятность того, что произвольный человек окажется ниже этого роста. Приводим распределение к стандартному:
z 0,000,010,020,030,040,050,060,070,080,09 0,00,50000,50400,50800,51200,51600,51990,52390,52790,53190,5359 0,10,53980,54380,54780,55170,55570,55960,56360,56750,57140,5753 0,20,57930,58320,58710,59100,59480,59870,60260,60640,61030,6141 0,30,61790,62170,62550,62930,63310,63680,64060,64430,64800,6517 0,40,65540,65910,66280,66640,67000,67360,67720,68080,68440,6879 0,50,69150,69500,69850,70190,70540,70880,71230,71570,71900,7224 0,60,72570,72910,73240,73570,73890,74220,74540,74860,75170,7549 0,70,75800,76110,76420,76730,77040,77340,77640,77940,78230,7852 0,80,78810,79100,79390,79670,79950,80230,80510,80780,81060,8133 0,90,81590,81860,82120,82380,82640,82890,83150,83400,83650,8389 1,00,84130,84380,84610,84850,85080,85310,85540,85770,85990,8621 1,10,86430,86650,86860,87080,87290,87490,87700,87900,88100,8830 1,20,88490,88690,88880,89070,89250,89440,89620,89800,89970,9015 1,30,90320,90490,90660,90820,90990,91150,91310,91470,91620,9177 1,40,91920,92070,92220,92360,92510,92650,92790,92920,93060,9319 1,50,93320,93450,93570,93700,93820,93940,94060,94180,94290,9441 1,60,94520,94630,94740,94840,94950,95050,95150,95250,95350,9545 1,70,95540,95640,95730,95820,95910,95990,96080,96160,96250,9633 1,80,96410,96490,96560,96640,96710,96780,96860,96930,96990,9706 1,90,97130,97190,97260,97320,97380,97440,97500,97560,97610,9767 2,00,97720,97780,97830,97880,97930,97980,98030,98080,98120,9817 Таблица нормального распределения Z=1,71 F(z)=0,9564
Ответ Инженерам-конструкторам следует решить, считают ли они возможным разрабатывать автомобиль, в котором из соображений роста поместятся 95,64% водителей.
Распределение «хи-квадрат» и распределение Стьюдента Распределение «хи-квадрат» и распределение Стьюдента
Распределение хи-квадрат Пусть - независимые случайные величины, распределенные по стандартному нормальному закону распределения. Тогда сумма квадратов этих величин: распределена по закону с n степенями свободы. Математическое ожидание данного распределения равно n, стандартное отклонение 2n. С увеличением числа степеней свободы распределение медленно приближается к нормальному
График хи-квадрат распределения
Плотность распределения при где при
Распределение Стьюдента Распределением Стьюдента (t-распределением) называется распределение случайной величины: где Z имеет стандартное нормальное распределение, а -- независимая от Z случайная величина, имеющая хи-квадрат распределение с k степенями свободы.
Несколько реальных распределений - статистические данные при прохождении тестов
Числовые характеристики распределения и статистические оценки Числовые характеристики распределения и статистические оценки
Генеральная совокупность и выборка
Несмещенность, состоятельность и эффективность Точечной оценкой называется число, которое используется в качестве оценки параметра генеральной совокупности. Например, среднее значение выборки является точечной оценкой среднего значения генеральной совокупности Ошибкой оценки называют разность между оцениваемым параметром генеральной совокупности и оценкой, рассчитанной на основе выборки. Ошибка оценки обычно неизвестна, поскольку неизвестен параметр. Ошибка оценки = Параметр – Оценка
Несмещенность, состоятельность и эффективность Несмещенность оценки означает, что ее математическое ожидание равно значению оцениваемого параметра генеральной совокупности. Эффективность оценки означает, что статистика, используемая в качестве точечной оценки параметра генеральной совокупности имеет минимальную стандартную ошибку. Состоятельность оценки означает, что по мере увеличения объема выборки ее значение приближается к значению оцениваемого параметра генеральной совокупности.
Числовые характеристики статистического распределения Для выборки можно определить ряд числовых характеристик. Пусть статистическое распределение выборки объема n имеет вид: Выборочным средним называется среднее арифметическое всех значений выборки: Выборочной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений значений выборки от выборочной средней :
Числовые характеристики статистического распределения Выборочное среднее квадратичное отклонение выборки определяется формулой: В качестве описательных характеристик вариационного ряда используется медиана, мода, размах вариации.
Задача Десять абитуриентов проходят тестирование по математике. Каждый из них может набрать от 0 до 5 баллов. В результате тестирования группа абитуриентов набрала баллы: 5, 3, 0, 1, 4, 2, 5, 4, 1, 5. Найти изученные характеристики выборки.
Доверительный интервал и доверительная вероятность Доверительный интервал – вычисленный на основе выборки интервал значений признака, который с известной вероятностью содержит оцениваемый параметр генеральной совокупности. Например: «Мы на 95% уверены, что доля людей которым известна наша торговая марка находится где-то между 23,2% и 38,0%».
Доверительный интервал и доверительная вероятность Доверительная вероятность (или уровень доверия) – это вероятность того, что доверительный интервал содержит значение оцениваемого параметра. Доверительную вероятность принято устанавливать на уровнях 90%, 95% и 99%. Чем выше доверительная вероятность, тем более широкий и менее полезный интервал мы получим.
Форма записи доверительного интервала
Доверительный интервал для среднего
Описание задачи
Метод
Доверительный интервал
Алгоритм
Найдем самые используемые z-значения
Самые используемые z-значения
Пример
Решение
Объем выборки для оценки среднего
Пример
Решение
t- критерий Стьюдента для случая несвязных выборок
t- критерий Стьюдента для случая несвязных выборок
t- критерий Стьюдента для случая несвязных выборок
Задача
Решение