Лекция 6 Дисперсия Алексей Викторович Гуденко 22/03/2013

План лекции 1. Дисперсия. Фазовая и групповая скорости. 2. Дисперсия плазмы. Радиоволны в ионосфере. 3. Поляризованный и естественный свет. 4. Закон Малюса. 5. Поляризация при отражении и преломлении света на границе двух диэлектриков. Закон Брюстера. 6. Кристаллооптика

демонстрации поляризация света

Дисперсия волн Фазовая скорость v = λ/T = ω/k Дисперсия – зависимость фазовой от частоты: v = v(ω) – закон дисперсии v = v(λ); n = n(ω); ω = ω(k); ε = ε(p)

Волны на воде Закон дисперсии v = (kσ/ρ + g/k) 1/2 = (2πσ/λρ + λg/2π) 1/2 v min 23 см/с при λ 0 = (4π 2 σ/ρg) 1/2 = 1,7 см (σ = 72 дин/см – поверхностное натяжение воды) Капиллярные волны λ > λ 0 v = (λg/2π) 1/2 v{λ = 100 м} = 12,6 м/с

Закон дисперсии поверхностных волн

Групповая скорость – скорость переноса энергии импульс – суперпозиция волн с разными амплитудами, частотами и фазами. Импульс переносит энергию Скорость переноса энергии – групповая скорость, скорость импульса

Групповая скорость U = dω/dk E 1 = Acos(ωt – kz); E 2 = Acos((ω + dω)t – (k + dk)z); E = E 1 + E 2 = 2A cos ½(tdω – zdk)cos(ωt – kz); A 0 = |2A cos ½(tdω – zdk)| - амплитуда волны A 0max : ½(tdω – zdk) = 0 z max = (dω/dk)t скорость импульса (групповая скорость) U = dω/dk

Формула Рэлея: u = v – λdv/dλ U = dω/dk = d(vk)/dk = v + kdv/dk = v – λdv/dλ u = v – λdv/dλ – формула Рэлея dv/dλ = 0 u = v – нет дисперсии (звук) dv/dλ > 0 – нормальная дисперсия dv/dλ < 0 – аномальная дисперсия

Групповая скорость волн на воде, классической и релятивистской частицы Капиллярные волны: v = (2πσ/ρλ) 1/2 u = v – λdv/dλ = v + ½ v = 1,5 v Гравитационные волны: v = (gλ/2π) u = v – λdv/dλ = v – ½ v = ½ v Классическая частица: ε = ε 0 + p 2 /2m u = = p/m – просто скорость частицы Релятивистская частица ε = (ε p 2 с 2 ) 1/2 ε 2 = ε p 2 с 2 εdε = с 2 pdp u = pc 2 /ε = pc 2 /(ε p 2 с 2 ) 1/2 < c

Дисперсия плазмы mx = - αx + eE 0 cosωt x + ω 0 2 x = (eE 0 /m)cosωt; x = Acosωt A = eE/m (ω 2 - ω 0 2 ) дипольный момент единицы объёма: p = -e 2 NE/m(ω 2 - ω 0 2 ) поляризуемость β = - e 2 N/m(ω 2 - ω 0 2 ) диэлектрическая проницаемость ε = 1 + 4πβ = 1 - 4πe 2 N/m(ω 2 - ω 0 2 ) = 1 - ω pl 2 /(ω 2 - ω 0 2 ) ω pl = (4πe 2 N/m) 1/2 – плазменная частота Показатель преломления n = ε 1/2 = [1 – ω pl 2 /(ω 2 - ω 0 2 )] 1/2 В плазме ω 0 = 0 n = (1 – ω pl 2 /ω 2 ) 1/2

Показатель преломления плазмы n = (1 – ω pl 2 /ω 2 ) 1/2 В плазме могут распространяться волны с частотой ω > ω pl. n < 1 – плазма оптически менее плотная, чем вакуум ! Если ω < ω pl – n = iæ комплексная амплитуда: E = Ae iknz = Ae -kæz cosωt – затухающая стоячая волна Групповая скорость. закон дисперсии v = c/n ω 2 = ω pl 2 + c 2 k 2 ωdω = c 2 kdk uv = c 2 u = cn = c(1 – ω pl 2 /ω 2 ) 1/2

Пульсар CP f 1 = 80 МГц; f 2 = 2000 МГц; Δt = 7 c; N = 0,05 см -3 расстояние до Пульсара L = 2πm e cΔt/Ne 2 f 1 2 f 2 2 /(f 2 2 – f 1 2 ) 2πm e cΔt/Ne 2 f св. лет r кл = e 2 /mc 2 = 2, см.

ионосфера Если ω = ω pl то полное внутреннее отражение происходит при нормальном падении в плазме могут распространяться волны только с частотой ω > ω pl. Для ионосферы Земли концентрация N ~ см -3 ; частота f pl = ω pl /2π = (Ne 2 /mπ) 1/2 1, Гц; λ = с/f = 20 м волны с большей длиной волны отражаются. Дальняя космическая связь возможна на радиоволнах с λ < 20 м. Красивая формула для подсчёта критической λ: λ = с/(Ne 2 /mπ) 1/2 = (mc 2 π/Ne 2 ) = (π/r кл N) 1/2 2 м, где r кл = e 2 /mc 2 = 2, см – классический радиус электрона.

Радиоволны в ионосфере