ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ЛЕКЦИЯ 4: ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ, ТЕОРЕМА О ВИРИАЛЕ

1. Теорема Бернулли: условия применимости Теорема Бернулли – результат применения теоремы об изменении кинетической энергии к установившемуся движению жидкости. Это – основная теорема гидродинамики, имеющая многочисленные приложения при изучении течения воды в реках, каналах, трубах, при исследовании действия воды в водяных двигателях и т. д. Теорема Бернулли имеет дело с идеальной жидкостью: 1) Несжимаемой 2) Невязкой ВАЖНО: Работа внутренних сил в идеальной жидкости равна нулю! Теорема Бернулли имеет дело с установившемся течением: в каждой точке пространства, наполненного жидкостью, явления не изменяются с течением времени; направление и величина скорости в этой точке, величина давления у этой точки остаются постоянными во все время движения.

2. Теорема Бернулли: изменение кинетической энергии Изменение кинетической энергии за время dt Q –объемный расход жидкости [м 3 /c] – плотность жидкости [кг/м 3 ] – плотность жидкости [кг/м 3 ]

3. Теорема Бернулли: работа внешних сил 1) Работа сил тяжести 2) Работа сил давления 3) Работа сил со стороны стенок трубы равна нулю Предполагается, что трения жидкости о стенки нет, значит силы нормальны к стенке. Скорости частиц жидкости касательных к стенке. Скалярное произведение есть ноль.

4. Теорема Бернулли: результат При установившемся движении несжимаемой жидкости сумма геометрической, скоростной и пьезометрической высот остается неизменной для частиц одной и той же трубки тока. высота, на которую поднимается тело, брошенное вверх со скоростью высота столба жидкости с давлением p у основания столба

5. Пример: течение в трубе переменного сечения a bcd

6. Пример: истечение из сосуда Если Теорема Торичелли (1644) S1S1S1S1 S2S2S2S2 К-т сжатия потока

7. Пример: трубка Пито Трубка Пито Трубка Прандтля Применяются при измерении скорости потока

8. Пример: трубка Вентури Применяются при измерении расхода жидкости в трубе S1S1S1S1 S1S1S1S1 S2S2S2S2 S2S2S2S2

9. Теорема о вириале - среднее за время Левая часть обращается в ноль если выполнено одно из условий 1. Интервал не ограничен, а функция ограничена 2. Движение периодическое с периодом вириал системы При выполнении условий 1 или 2 среднее за время значение кинетической энергии равно ее вириалу

10. Пример: замкнутая гравитационная система Теорема о вириале Сохранение энергии Указывает в какой пропорции начальная энергия «делится в среднем» между кинетической и потенциальной энергией во время движения замкнутой гравитационной системы Задача : пусть тогда

11. Пример: упругая цепочка - потенциальная энергия системы

12. Пример: упругая цепочка