Определение конуса. МОУ СОШ 256 г.Фокино

Круговым конусом называется тело ограниченное кругом – основанием конуса, и конической поверхностью, образованной отрезками, соединяющими точку, вершину конуса, со всеми точками окружности, ограничивающей основание конуса.

Элементы конуса.

Конус – это тело, которое получается, если коническую поверхность, образованную прямыми, соединяющими фиксированную точку со всеми точками какой–нибудь кривой, ограничить плоскостью.

Прямой круговой конус. Круговой конус называется прямым, если его высота попадает в центр круга.

Все образующие конуса равны между собой и составляют один угол с основанием.

Чему равен угол между образующей и основанием конуса, если известен угол между высотой и образующей. ? 65 0

Конус можно получить, вращая прямоугольный треугольник вокруг одного из катетов. При этом осью вращения будет прямая, содержащая высоту конуса. Эта прямая так и называется – осью конуса.

Конус получен при вращении прямоугольного треугольника S = 14. Радиус основания конуса равен 4. Определите высоту этого конуса. ? 7

Сечения конуса. Если через вершину конуса провести плоскость, пересекающую основание, то в сечении получится равнобедренный треугольник.

Сечение конуса, проходящее через ось, называется осевым. В основании осевого сечения лежит диаметр – максимальная хорда, поэтому угол при вершине осевого сечения – это максимальный угол между образующими конуса. (Угол при вершине конуса).

Найдите площадь осевого сечения, если известны радиус основания конуса и образующая. ? 30

Любое сечение конуса плоскостью, параллельной основанию, - это круг. Сечения конуса.

Через середину высоты конуса провели плоскость, перпендикулярную оси, и получили круг R = 5. Чему равна площадь основания конуса? ? 100π

Задача. Дано: H = R = 5; SAB – сечение; d (O, SAB) = 3. Найти: S ΔSAB

1) В сечении равнобедренный треугольник. Найдем его высоту. ~

2) Определим боковые стороны и основание треугольника, являющегося сечением.

3) Вычислим площадь треугольника.

Вписанная и описанная пирамиды. П ирамидой, вписанной в конус, называется такая пирамида, основание которой – многоугольник, вписанный в основание конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса.

Пусть высота конуса равна 5, а радиус основания – 2. В конус вписана правильная треугольная пирамида. Определите ее объем. ? 5353

П ирамида называется описанной около конуса, если ее основание – это многоугольник, описанный около основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса.

Плоскости боковых граней описанной пирамиды проходят через образующую конуса и касательную к окружности основания, т.е. касаются боковой поверхности конуса.

Вокруг конуса описана правильная четырехугольная пирамида. Радиус основания и образующая конуса известны. Найдите боковое ребро пирамиды. ? 22

Боковая поверхность конуса. П од боковой поверхностью конуса мы будем понимать предел, к которому стремится боковая поверхность вписанной в этот конус правильной пирамиды, когда число боковых граней неограниченно увеличивается.

Теорема. Площадь боковой поверхности конуса равна половине произведения длины окружности основания на образующую. Д ано: R – радиус основания конуса, l – образующая конуса. Доказать: S бок.кон. = π Rl

Доказательство:

Пусть конус будет получен от вращения прямоугольного треугольника с известными катетами. Найдите боковую поверхность этого конуса. ? 20π

Развертка конуса. Р азвертка конуса – это круговой сектор. Его можно рассматривать как развертку боковой поверхности вписанной правильной пирамиды, у которой число боковых граней бесконечно увеличивается.

Зная угол, образованный высотой и образующей конуса, можно вычислить угол сектора, полученного при развертке конуса, и наоборот.

Найдем выражение для градусной меры угла развертки конуса.

По данным рисунка определите, чему равен угол развертки этого конуса. Ответ дайте в градусах. ? 72 0

Дано: полукруг радиусом R = 8. Найти: Н, β ( угол между образующей и основанием.) Задача.

1) Используем формулу, связывающую угол кругового сектора развертки с углом между высотой и образующей конуса. Получим угол между высотой и образующей, а затем найдем угол между образующей и основанием конуса.

2) Найдем высоту конуса, используя определение тангенса угла в прямоугольном треугольнике.

Объем конуса. Дано: R – радиус основания Н – высота конуса Доказать: V кон. = 1/3 S осн. H Теорема. Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Объемом конуса будем считать предел, к которому стремится объем вписанной в этот конус правильной пирамиды, когда число боковых граней неограниченно увеличивается. Доказательство:

Доказательство:

Найдите объем конуса, если радиус его основания равен трем, а образующая равна пяти. ? 12π12π

Д ано: SABC – пирамида, вписанная в конус SA = 13, AB = 5, ے ACB = Найти: V конуса Задача.

1) Найдем радиус конуса по теореме синусов.

2) У пирамиды, вписанной в конус, высота равна высоте конуса и попадает в центр описанной окружности. Найдем высоту пирамиды.

3) Определим объем конуса.