МГУ им. М.В.Ломоносова

Содержание 1. Введение 2. Энтропия и размерность 3. Показатели Ляпунова 4. Анализ временного ряда 5. Анализ электрокардиограмм Содержание 1. Введение 2. Энтропия и размерность 3. Показатели Ляпунова 4. Анализ временного ряда 5. Анализ электрокардиограмм

Два основных подхода к исследованию природных процессов: 1. Моделирование 2. Анализ данных Идентификация Идентификация изучаемого процесса 1. Введение

xnxn n Конечная реализация: временной ряд l >1. Задача прогноза: предсказать или порождающий механизм неизвестен При этом порождающий механизм неизвестен Задача идентификации: определить свойства системы. Исследуемый процесс :

Формализация понятия «временной ряд» Измерения: отображение множества натуральных чисел в некоторое множество. Основной пример: эволюция динамической системы с компактным пространством состояний X, определяемое отображением Временные реализации имеют вид.

Задачи: Разделение случайного и детерминированного сигналаРазделение случайного и детерминированного сигнала Определение эффективного числа степеней свободыОпределение эффективного числа степеней свободы Выявление скрытой динамики системы (периодических и квазипериодических составляющих)Выявление скрытой динамики системы (периодических и квазипериодических составляющих) Разладка. СегментацияРазладка. Сегментация Возможность управление ситуациейВозможность управление ситуацией ПрогнозПрогноз Разделение случайного и детерминированного сигналаРазделение случайного и детерминированного сигнала Определение эффективного числа степеней свободыОпределение эффективного числа степеней свободы Выявление скрытой динамики системы (периодических и квазипериодических составляющих)Выявление скрытой динамики системы (периодических и квазипериодических составляющих) Разладка. СегментацияРазладка. Сегментация Возможность управление ситуациейВозможность управление ситуацией ПрогнозПрогноз

Разладка Резкое изменение свойств наблюдаемого ряда (размерности, энтропии, показателей Ляпунова), происходящее в неизвестный заранее момент времени.

Априорная ? Апостериорная

ЭНТРОПИЯ ПРОЦЕССА 2. Энтропия и размерность Основные вопросы Прогноз развития ситуации. Как отличить случайность от хаоса? Каково число степеней свободы? Какие характеристики нужны для этого? Основные вопросы Прогноз развития ситуации. Как отличить случайность от хаоса? Каково число степеней свободы? Какие характеристики нужны для этого?

Энтропия S – мера беспорядка в системе. Пример, когда S растет: P i – вероятности оказаться системе в состоянии i.

На раздаче в баре совершено убийство; яд находится водном из 1200 стаканов. Сколько надо сделать проб для определения, в каком стакане яд? Эта задача прояснит смысл энтропии Если положение шара заранее неизвестно и мы его узнаём, то тем самым мы увеличиваем суммарную информацию на 1 бит. Необходимо два вопроса, т.е. максимальное количество информации 2 бит. Или от числа возможных состояний, которое равно 4. Рост беспорядка связан с ростом незнания о состоянии системы:

средняя скорость потери информации о состоянии динамической системы с течением времени Поскольку беспорядок есть понятие теории информации, энтропию, показывающую, насколько система хаотична (неупорядочена), можно определить соотношением Шеннона: это средняя скорость потери информации о состоянии динамической системы с течением времени. Как рассчитать энтропию и другие характеристики реального наблюдаемого процесса, т.е. временного ряда?

Размерность D – геометрическая характеристика. Она показывает, сколько переменных необходимо взять, чтобы однозначно описать систему. D = 1 x РАЗМЕРНОСТЬРАЗМЕРНОСТЬ

D = 1, 2 или 3

Каковы энтропия и размерность случайного, регулярного и хаотического процессов? Эти величины характеризуют сложность. Для случайных систем Для хаотических процессов 0 < H

– независимые величины преобразование Бернулли 1 Это детерминированное преобразование порождает случайные последовательности для почти любого н/у.

Для любой дифференцируемой динамической системы с компактным пространством состояний энтропия либо, либо Теорема Теорема (F.Takens). хаотической Система называется хаотической, если в пространстве ее состояний существует такое подмножество положительной меры, что для почти любой траектории с выполняется

Как рассчитать энтропию H и размерность D реального процесса, т.е. временного ряда? xnxn n Временной ряд

(n,ε) -разделенными Назовем (n,ε) -разделенными два отрезка, и, траектории длины n, если существует, такое, что.

Пусть – множество отрезков длины, отличающихся на, и – количество элементов в. Мера того, как растет при, размерностью называется размерностью ряда. Размерность определяет минимальное число переменных, необходимое для однозначного описания системы.

энтропией Мера того, как растет при увеличении n, называется энтропией процесса: горизонте предсказуемости горизонте предсказуемости ! Энтропия говорит о

«Проклятие» размерности Неожиданный пример: r 1

Ряды могут обладать инвариантностью относительно преобразования масштаба.

Это означает, что минутные данные после преобразования масштаба не должны отличаться от часовых. f ( f ( f ( … (x))) X n+1 = f (X n )

Шум Каждая точка окружена «облаком»:

Здесь наклон с возрастанием размерности не меняется Здесь наклон с ростом увеличивается

3. Показатели Ляпунова W s WuWu Основное свойство траекторий:

Для однородных подмножеств Теорема Я.Песина: ξ(t)ξ(t) x1(t)x1(t) x2(t)x2(t) ξ(0) Показатели Ляпунова

Как найти энтропию наблюдаемого процесса? 4. Анализ временного ряда К 1 – энтропия Колмогорова-Синая, K 2 – корреляционная энтропия (нижняя граница К 1 ).

Корреляционный интеграл, m – размерность пространства. Таким образом, K 2 – энтропию можно найти как предел логарифма отношения корреля- ционных интегралов.

K 2 -энтропия Предельную зависимость K 2 можно представить в виде

Функциональный метод Корреляционный интеграл Метод ложных соседей Как найти D ? Необходимо ввести спектр размерностей D q

Зафиксируем одну из последовательностей, начинающуюся с номера Определим Наличие функциональной зависимости: Функциональный метод При выполняется

Система Лоренца

Метод ложных соседей

5. Анализ электрокардиограмм В данной части приведены результаты, полученные в Рентгенохирургическом центре интервенционной кардиологии Главного военного клинического госпиталя им. акад. Н. Н. Бурденко совместно с группой кардиохирургов во главе с проф. А.В.Ардашевым. Все больные перед проведением исследования в течение 12 ч. не курили, не употребляли напитков, содержащих кофеин; в течение 36 часов не употребляли алкоголь; за 1 ч. до исследования рекомендовался легкий прием пищи. Исследование проводилось после 15-минутного отдыха в горизонтальном положении в условиях покоя в тихой комнате при спокойном освещении от до

изучить практическую значимость харак- теристик, известных из теории временных рядов. Задача: изучить практическую значимость харак- теристик, известных из теории временных рядов. Для кардинального лечения разного рода аритмий был использован достаточно прогрессивный метод радиочастотной абляции (РЧА) сердечной ткани. Фазовый портрет сердечного ритма практически здорового человека

Фазовый портрет ритма пациентов, страдающих атриовентрикулярной тахикардией. Исходные количественные характеристики, рассчитанные на основе анализа ритмов у больных с АВТ и лиц контрольной группы ПараметрыБольные с АВУРТ (n=25) Группа контроля (n=20) D0D0 2,45 0,262,48 0,18 D1D1 2,55 0,342,52 0,32 Н 0,18 0,080,66 0,29 D2D2 2,52 0,212,54 0,26 большей упорядоченности ритма Результаты свидетельствуют о большей упорядоченности ритма у больных с данными нарушениями сердечного ритма.

Фазовый портрет ритма пациентов, страдающих атриовентрикулярной тахикардией, в первые сутки после РЧА. Изменение характеристик хаотичности сердечного ритма у больных с атриовентрикулярной тахикардией после РЧА ПараметрыИсходноЧерез 6 ч.Через 24 ч. Через 2 мес. Через 6 мес. Через 12 мес. D0D0 2,45 0,262,56 0,272,64 0,142,70 0,262,56 0,162,49 0,19 D1D1 2,55 0,342,48 0,382,52 0,342,55 0,352,37 0,352,41 0,44 Н 0,18 0,080,47 0,400,28 0,160,42 0,140,42 0,220,43 0,26 D2D2 2,52 0,212,44 0,262,42 0,272,45 0,242,45 0,292,46 0,15 увеличении степени хаотичности Происходит увеличении степени хаотичности колебаний

Сравнение количественных мер хаотичности сердечного ритма у пациентов с рецидивами и без рецидивов после РЧА Пара- метр ы Под- группа ИсходноЧерез 6 ч. Через 24 ч. Через 2 мес. Через 6 мес. Через 1 год D0D0 А 2,47 0,252,60 0,232,51 0,272,49 0,262,52 0,222,42 0,40 Б 2,50 0,302,63 0,212,60 0,222,55 0,222,60 0,152,44 0,18 D1D1 А 2,51 0,342,43 0,322,46 0,332,42 0,362,36 0,382,41 0,33 Б 2,44 0,412,43 0,402,50 0,422,38 0,422,37 0,43 2,45 Н А 0,57 0,140,38 0,140,48 0,110,56 0,150,66 0,250,62 0,28 Б 0,37 0,170,35 0,140,21 0,090,50 0,210,61 0,220,70 0,2 D2D2 А 2,55 0,262,47 0,302,56 0,292,52 0,172,45 0,312,41 0,22 Б 2,45 0,322,55 0,352,52 0,132,49 0,232,52 0,262,44 0,2 А – подгруппа пациентов без рецидивов; Б – подгруппа пациентов с рецидивами. А – подгруппа пациентов без рецидивов; Б – подгруппа пациентов с рецидивами.

Фазовый портрет ритма пациентов, страдающих трепетанием предсердий. ПараметрыГруппа пациентов с ТП до РЧА (n=23) Группа клинического сравнения (n=20) D0D0 2,61 0,30 2,48±0,18 D1D1 2,28 0,36 2,52±0,32 H 0,47 0,25 0,66±0,29 D2D2 2,53 0,19 2,54±0,26 большей упорядоченности сердечного ритма Показатели свидетельствуют о большей упорядоченности сердечного ритма у больных с ТП.

Фазовый портрет ритма пациентов, страдающих трепетанием предсердий, в первые сутки после РЧА. ПараметрыИсходноЧерез 6 ч. Через 24 ч. Через 2 мес. Через 6 мес. Через 1 год DFDF 2,61 0,302,47 0,242,55 0,312,67 0,192,75 0,162,62 0,32 DIDI 2,28 0,362,59 0,312,65 0,352,59 0,262,66 0,342,26 0,33 H 0,47 0,150,32 0,090,42 0,090,54 0,230,83 0,250,71 0,40 DCDC 2,53 0,192,52 0,142,54 0,222,66 0,162,48 0,352,53 0,17