Исследование эффектов «старения» и нарушения флуктуационно- диссипативной теоремы в двумерной ХY модели методами Монте-Карло Попов И.С., Алексеев С.В., Прудников П.В., Прудников В.В. Кафедра теоретической физики Омский государственный университет имени Ф.М.Достоевского

Эффекты старения Эффекты старения – эффекты замедления релаксационных процессов с увеличением возраста системы. (1) t – время наблюдения; t w время ожидания («возраст» образца); При t < t w : (2) При t > t w : (3) 2

Двумерная XY-модель Гамильтониан однородной модели: (4а) (4б) Гамильтониан структурно неупорядоченной модели: (5а) (5б) где спин в i-м узле; фаза i-го спина; число заполнения i-го узла (1 – есть спин, 0 - дефект); 3

Термодинамика двумерной XY-модели Основной вклад в термодинамику дают: 1)Спиновые волны [1]. 2)Топологические особенности вихри [2,3]. Рис.1. Вихри с топологическим зарядом m=+1 (слева) и m=1 (справа). _____________________ [1] Березинский В.Л. // ЖЭТФ [2] Kosterlitz J.M., Thouless D. J. // J. Phys. C: Solid State Phys [3] Коршунов С.Е. // УФН

Фазовый переход Березинского-Костерлица- Таулесса Корреляционная функция [1]: (10) Т < T KT : ~ (11) Т > T KT : ~ (12) Температура фазового перехода T KT [4]: p=1,0: T KT = 0,893(5); p=0,9: T KT = 0,681(9); p=0,8: T KT = 0,485(5); _____________________ [1] Березинский В.Л. // ЖЭТФ [4] Прудников В.В., Прудников П.В., Алексеев С.В. // Вестн. Ом. ун-та С

Динамика ХY-модели В данной работе методами компьютерного моделирования исследуются неравновесная динамика двумерной XY-модели при температурах TT KT посредством расчета временных зависимостей характеристик системы при реализации алгоритма Метрополиса [5]: 1) Формируем начальную конфигурацию. 2) Производим случайное пробное изменение в начальной конфигурации. 3) Вычисляем ΔE – изменение энергии системы, обусловленное пробным изменением начальной конфигурации. 4) Если ΔE0, то принимаем новую конфигурацию. 5) Если ΔE>0, то вычисляем вероятность перехода W=exp(-ΔE/T). 6) Генерируем случайное число r в интервале (0,1). 7) Если r W, то принимаем конфигурацию, в противном случае сохраняем предыдущую конфигурацию. 8) Определяем требуемые значения физических величин. 9) Повторяем пункты 2-8 для получения достаточного числа конфигураций. За один шаг по времени принимается шаг Монте-Карло на спин (MKS/s), за время которого каждому спину системы была дана возможность изменить своё состояние. ________________________ [5] Metropolis N., Rosenbluth A.W., Rosenbluth M.N., Teller A.H., Teller E. Journal of Chemical Physics V N. 6. -P. 1087–1092,

Автокорреляционная функция (АКФ) В данной работе исследование эффектов старения в производится на основе анализа временного поведения АКФ системы: Для упорядоченной системы: (12а) Для структурно неупорядоченной системы: (12б) статистическое усреднение; […] – усреднение по различным примесным конфигурациям; 7

Исследование двухвременной зависимости автокорреляционной функции Рассматривалась плоская решетка, содержащая N=L 2 узлов с линейным размером L=256. Для однородных исследовались эффекты старения для различных температур для трех значений времени ожидания: t w =100, 500 и 1000 MCS/s. Для структурно неупорядоченных систем использовались большие времена ожидания. Системе задавался старт из начального упорядоченного состояния и состояния с малым значением намагниченности. Для каждой температуры T и каждого времени ожидания t w проводилось усреднение получаемых временных зависимостей: 1)по 1000 статистическим прогонкам для системы без дефектов. 2)по 200 примесным конфигурациям, каждая из которых усреднялась по 25 статистическим прогонкам для неупорядоченной системы. 8

Рис. 2. Временная зависимость автокорреляционной функции упорядоченной системы из начального состояния с малой намагниченностью при температуре T=0,5: 1 - tw=1000, 2 - tw=500, 3 - tw=100. 9

Рис. 3. Временная зависимость автокорреляционной функции упорядоченной системы из начального состояния с малой намагниченностью при температуре T=0,7: 1 - tw=1000, 2 - tw=500, 3 - tw=

Рис. 4. Временная зависимость автокорреляционной функции упорядоченной системы из начального состояния с малой намагниченностью при температуре T=0,89: 1 - tw=1000, 2 - tw=500, 3 - tw=

Рис. 5. Временная зависимость автокорреляционной функции упорядоченной системы из начального упорядоченного состояния: 1 - tw=100, 2 - tw=500, 3 - tw=

Табл. 1. Показатели АКФ для асимптотических временных интервалов для структурно однородной системы, эволюционировавшей из начального упорядоченного состояния T/JT/Jη t w =100t w =500t w =1000 [0;60][1000;10000][0;60][1000;10000][0;100] [10000;20000 ] 0,1 0,0161(6) 0,0093(2)0,0045(1)0,0097(1)0,0044(1)0,0096(2)0,0048(1) 0,2 0,0334(5)0,0185(4)0,0091(1)0,0197(3)0,0093(1)0,0190(3)0,0093(1) 0,3 0,0522(4)0,0279(6)0,0139(1)0,0296(5)0,0139(1)0,0287(4)0,0152(1) 0,4 0,0716(6)0,0379(8)0,0193(1)0,0400(6)0,0203(1)0,0389(5)0,0206(1) 0,5 0,0938(7)0,0486(9)0,0250(1)0,0512(8)0,0245(1)0,0499(6)0,0263(1) 0,6 0,1163(10)0,0603(10)0,0313(1)0,0635(9)0,0322(1)0,0620(6)0,0356(1) 0,7 0,1456(11)0,0738(13)0,0388(1)0,0774(10)0,0397(1)0,0759(7)0,0425(1) 0,8 0,1805(10)0,0903(12)0,0477(8)0,0948(12)0,0483(1)0,0931(8)0,0534(1) 0,89 0,2480(4)0,1112(15)0,0623(9)0,1176(40)0,0649(2)0,1164(9)0,0597(2) 13

Табл. 2. Показатели АКФ для различных асимптотических временных интервалов для структурно однородной системы, эволюционировавшей из начального состояния с малой намагниченностью T/J tw=100tw=500tw=1000 [0,50][5000,20000][0,50][5000,20000][0,100][5000,20000] 0,1 0,039(1)0,549(1)0,023(2)0,492(8)0,020(1)0,44(61) 0,2 0,062(1)0,580(5)0,041(8)0,521(1)0,039(3)0,46(59) 0,3 0,084(4)0,584(5)0,057(8)0,46(32)0,057(5)0,52(06) 0,4 0,106(8)0,578(5)0,080(9)0,51(77)0,063(1)0,47(91) 0,5 0,126(4)0,580(4)0,095(5)0,53(25)0,081(7)0,48(12) 0,6 0,151(1)0,594(2)0,110(7)0,53(78)0,100(1)0,49(68) 0,7 0,180(6)0,583(8)0,130(8)0,53(99)0,117(5)0,49(29) 0,8 0,217(5)0,580(4)0,160(7)0,54(91)0,141(8)0,49(75) 0,89 0,271(3)0,756(1)0,199(4)0,68(92)0,182(4)0,63(28) 14

Табл. 3. Показатели АКФ для асимптотических временных интервалов для структурно однородной системы, эволюционировавшей из начального состояния с малой намагниченностью, построенные в координатах корреляционной длины ξ~t/ln(t) T/J tw=100tw=500tw=1000 [0,60][1000,20000][0,60][5000,20000][0,100][1000,20000] 0,1 0,022(4)0,430(8)0,015(1)0,432(3)0,013(9)0,397(9) 0,2 0,041(2)0,461(3)0,026(5)0,457(8)0,024(6)0,41(54) 0,3 0,049(9)0,473(1)0,038(5)0,464(3)0,035(1)0,41(32) 0,4 0,064(1)0,484(1)0,050(9)0,461(8)0,046(4)0,42(73) 0,5 0,087(3)0,492(1)0,062(6)0,475(1)0,058(4)0,42(92) 0,6 0,096(1)0,499(3)0,078(1)0,479(7)0,071(6)0,44(32) 0,7 0,121(1)0,503(2)0,095(7)0,481(6)0,086(8)0,44(23) 0,8 0,148(1)0,514(9)0,117(3)0,489(8)0,106(5)0,44(37) 0,89 0,184(1)0,612(3)0,146(9)0,614(7)0,135(7)0,56(44) 15

Скейлинговая зависимость автокорреляционной функции от корреляционной длины Автокорреляционная функция структурно однородной модели обладает следующей скейлинговой зависимостью от корреляционной длины ξ~t/ln(t) [5]: (14) η(Т)=Т/2πρ S – показатель спада корреляционной функции; (14) ________________________ [5] Berthier L., Peter C. W. Holdsworth and Mauro Sellitto. // J. Phys. A: Math. Gen. 34 (2001) 1805–

Рис. 6. Скейлинговая функция Ф при Т=0,2. 17

18 Рис. 7. Скейлинговая функция Ф при Т=0,3.

19 Рис. 8. Скейлинговая функция Ф при Т=0,4.

Табл.4. Значения показателя λ скейлинговой зависимости автокорреляционной функции от корреляционной длины Ф(х) = 1 при малых значениях х; Ф(х) ~ х λ при больших х; Результат λ(0,3)= 0,5384(9) в пределах статистической погрешности совпадает результатом работы [5], где было получено λ(Т/J=0,3)=0,54. _______________________ [5] Berthier L., Peter C. W. Holdsworth and Mauro Sellitto. // J. Phys. A: Math. Gen. 34 (2001) 1805–1824. [6] Прудников В.В., Прудников П.В., Алексеев С.В. // Вестн. Ом. ун-та С T/Jη [6] λ 0,10,010,5216(3) 0,20,020,5428(5) 0,30,030,5384(9) 0,40,040,5267(4) 0,50,050,5188(9) 0,60,060,5200(8) 0,70,070,4983(8) 0,80,090,4812(9) 0,890,110,6151(3) 20

Дефекты структуры Большинство реальных систем содержат дефекты структуры, которые могут оказывать заметное влияние на поведение системы, в том числе и вблизи температуры фазового перехода. Согласно критерию Харриса [7] предсказывается, что в двумерной XY-модели влияние дефектов структуры должно быть несущественным близи критической температуры T KT. __________________ [7] Harris A.B. Effect of random defects on the critical behaviour of Ising models.// J. Phys. C V. 7. P

Рис. 9. Сравнительный график временной зависимости автокорреляционной функции для системы с дефектами и системы при старте из состояния с малой намагниченностью при Т=0,1. 22

Рис. 10. Сравнительный график временной зависимости автокорреляционной функции для системы с дефектами и системы при старте из состояния с малой намагниченностью при Т=0,2. 23

Рис. 11. Поведение автокорреляционной функции при старте из начального упорядоченного состояния при температуре T=0.4, времени ожидания t w =10000 MCS/s и различных спиновых концентрациях: 1 – p=0.8, 2 – p=0.85, 3 – p=0.9, 4 – p=0.95.

Рис. 12. Поведение автокорреляционной функции при старте из начального упорядоченного состояния при температуре T=0.4, времени наблюдения t-t w =50000 MCS/s, спиновой концентрации p=0.9 и различных временах ожидания: 1 - t w =1000, 2 - t w =10000, 3 - t w =50000 MCS/s.

Рис. 13. Поведение автокорреляционной функции при старте из начального упорядоченного состояния при t w =10000 MCS/s для различных спиновых концентраций и температур: 1 - p=0.95; 2 - p=0.9; 3 - p=0.85; 4 - p=0.8 при T/J=0.4; 5 - p=0.95; 6 - p=0.9; 7 - p=0.85; 8 - p=0.8 при T/J=0.1.

Табл. 5. Показатели АКФ для различных асимптотических временных интервалов для системы из начального состояния с малой намагниченностью для случая концентрации спинов p=0,95 T/J t w =100t w =500t w =1000 [0,60][1000,20000][0,60][5000,20000][0,100][1000,20000] 0,1 0,020(51)0,2414(4)0,014(03)0,2099(2)0,013(56)0,1878(9) 0,2 0,040(81)0,3008(9)0,0277(4)0,2672(4)0,0260(8)0,2414(4) 27 Табл. 6. Аналогичные показатели для АКФ, построенной в координатах корреляционной длины ξ~t/ln(t). T/J t w =100t w =500t w =1000 [0,50][5000,20000][0,50][5000,20000][0,100][5000,20000] 0,1 0,038(55)0,2669(8)0,0229(5)0,2353(3)0,0200(3)0,2106(4) 0,2 0,063(67)0,3373(2)0,041(63)0,2996(1)0,039(37)0,2706(8)

Рис. 14. Начальная конфигурация положения вихря и дефекта 28

Рис. 15. Конфигурация спустя 70 MKS/s 29

Рис. 16. Конфигурация спустя 150 MKS/s 30

Рис. 17. Конфигурация спустя MKS/s 31

Рис. 18. Пиннинг антивихря 32

Флуктуационно-диссипативная теорема Флуктуационно-диссипативная теорема – соотношение, устанавливающее связь между спектром флуктуаций физических величин в равновесной диссипативной среде и её обобщёнными восприимчивостями, т.е. параметрами, характеризующими её реакцию на внешнее воздействие [8]. (15) (18) (16) (19) (17) где черта над выражением – усреднение по распределениям случайных полей h; Проводилось усреднение получаемых временных зависимостей автокорреляционной функции и восприимчивости по 2000 реализаций случайных полей для каждого из выбранных значений времени ожидания t w. ________________________ [8] Зубарев. Д.Н., Морозов В.Г., Рёпке Г. Статистическая механика неравновесных процессов. В 2 т. Т.I. – М.: Физико-математическая литература,

T=0.1 T=0.2 T=0.3 T=0.4 Рис. 19. Графики зависимости флуктуационно-диссипативного отношения для различных температур при старте системы из начального упорядоченного состояния

Рис. 20. Графики зависимости флуктуационно-диссипативного отношения для различных температур при старте системы из начального состояния с малой намагниченностью 35

Рис. 21. Временная зависимость автокорреляционной функции в эксперименте по проверке ФДТ при старте системы из начального состояния с малой намагниченностью 36

Рис. 22. Временная зависимость восприимчивости в эксперименте по проверке ФДТ при старте системы из начального состояния с малой намагниченностью 37

Табл. 6. Коэффициенты наклона параметрической зависимости восприимчивости и АКФ при старте системы из начального состояния с малой намагниченностью ~ twtw Временной интервал Коэффициент наклона k 100[1000,10000] 0,058(3) 500[2000,8000] 0,057(1) 1000[3000,8000] 0,051(2) 38

Выводы: В исследуемой системе наблюдаются эффекты старения и нарушения ФДТ. Сопоставление значений показателя η(T) со значениями показателей временной зависимости автокорреляционной функции на разных временных этапах эволюции даёт хорошее согласие с результатами аналитических расчётов. Выявлена существенная разница в поведении эволюции системы из начального упорядоченного состояния и состояния с малой намагниченностью как для однородной системы, так и структурно неупорядоченной. Из вида скейлинговой зависимости A(t,t w ) следует, что на начальном временном участке определяющую роль играют спин-волновые эффекты, а взаимодействие пар вихрь-антивихрь начинают сказываться на дальнем временном интервале. Этим и обусловлено столь существенное отличие поведения системы, стартовавшей из начального состояния с малым значением намагниченности. 39

В поведении A(t,t w ) для неупорядоченных систем из начального упорядоченного состояния было выделено наличие начального этапа замораживания. Наличие дефектов привело к существенному замедлению динамики релаксации. Влияние дефектов на динамику неупорядоченной системы из начального состояния с малой намагниченностью привело к существенному замедлению динамики релаксации на дальнем временном интервале. Влияние дефектов на динамику системы связано с пиннингом пар вихрь- антивихрь и замедлением спиновой диффузии. На основе измерения временной зависимости восприимчивости и автокорреляционной функции определена временная зависимость флуктуационно-диссипативного отношения для различных температур. Показано, что на временах t - tw >tw происходит нарушение ФДТ с отношением X(t,tw) > 1 для начального упорядоченного состояния и X(t,tw) < 1 для начального состояния с малой намагниченностью. Нарушение ФДТ явно связано с эффектами старения вследствие зависимости графиков полученных характеристик от времени ожидания t w.

Термодинамика вихрей Энергия одного вихря [3]: (7) модуль жесткости; линейный размер системы; Энтропия одного вихря: (8) Свободная энергия: (9) При величина = 0. _____________________ [3] Коршунов С.Е. // УФН