В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, значит NC=CM, то есть треугольник MCN- равнобедренный. А в равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно углы MNC и NMC равны. А так как сумма углов треугольника равна 180 0, то: Решение: Диагонали прямоугольника KMNP пересекаются в точке С.Найдите угол MNC, если угол MCN равен Ответ: 67 0

Решение: Через точку А окружности с центром О проведена касательная АВ. Найдите радиус окружности, если ОВ= 8,угол АОВ равен так как сумма острых углов треугольника равна так как катет, лежащий напротив угла в 30 0 равен половине гипотенузы. 2 Ответ:

3 Внешний угол при основании равнобедренного треугольника равен Найдите угол между боковыми сторонами этого треугольника. Решение: Углы BCA и BCD-смежные, а сумма смежных углов равна как углы при основании равнобедренного треугольника. - так как сумма углов треугольника равна Ответ:

1).Из,, по теореме Пифагора: Используя данные, указанные на рисунке, найдите высоту CH. - в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Решение: Ответ: 7, ).

5 Длина окружности равна.Найдите радиус этой окружности. Ответ:14,5 Решение.

Используя данные, указанные на рисунке, найдите АС, если известно, что АВ||CD. 6 - как накрест лежащие, при параллельных прямых АВ и CD и секущих AC и BD). Решение. Ответ:25 Из подобия следует: ; АС=АО+ОС=10+15=25 - по двум углам,

3). Из,, по теореме Пифагора: Найдите боковую сторону равнобедренной трапеции, если её основания равны 9 и 19,а высота равна 12. 1). Построим высоты BH и BN, получим прямоугольник HBCN. Решение. 5 Ответ: ). В нём HN=BC=9. Из равенства следует: - по гипотенузе и острому углу.

В АВ=ВК, как углы при основании равнобедренного треугольника. В параллелограмме ABCD на стороне ВС отмечена точка К так, что ВК=АВ. Найдите, если - как накрестлежащие, при параллельных прямых AD и ВС и секущей АК. Решение. 2) ). -так как в параллелограмме противоположные углы равны. 3). Ответ:

В равностороннем треугольнике все углы по Сторона равностороннего треугольника MLN равна 6см. Найдите скалярное произведение векторов и. Ответ: 18 Решение.

А 1 А 5 -сторона правильного треугольника, вписанного в окружность. Найдем её по формуле: Радиус окружности,описанной около правильного двенадцатиугольника А 1 А 2 А 3 А 4 А 5 А 6 А 7 А 8 А 9 А 10 А 11 А 12 равен. Найдите длину диагонали A 1 A Ответ: 15 Решение.

А Имеется лист фанеры прямоугольной формы, длина и ширина которого соответственно равны 10 дм и 5 дм.Из него, как показано на рисунке, вырезаны две одинаковые части в форме равнобедренных треугольников. Сколько кг краски потребуется, чтобы покрасить получившуюся фигуру, если длина отрезка АВ = 6 дм, а на 1 дм 2 поверхности расходуется 0,012 кг краски? D С В С1С1 D1D1 1

Площадь фигуры равна сумме площадей двух равных трапеций ABCD и ABC 1 D 1.. Высота каждой трапеции h= 5:2=2,5.. D С В С1С1 D1D1 Решение S фигуры =20+20=40(дм 2 ) (кг)-потребуется краски. А Ответ:0,48кг 1). 2). 3). 4).

Укажите, какие из перечисленных ниже утверждений верны. 1). Все углы ромба -острые. 2). Все высоты ромба равны. 3). Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. 4). Радиус окружности, вписанной в ромб, равен стороне этого ромба. 5). В ромбе с углом 60 0 одна из диагоналей равна его стороне. 1212

- так как и односторонние при AD||BC и секущей АВ. Если угол 2- острый, то угол 1 будет тупой. 1 ). «Все углы ромба - острые» -не верно. Доказательство. А D С В

3). «Диагонали ромба взаимно перпендикулярны» - верно, по свойству диагоналей ромба. А D С В AC BD

2). «Все высоты ромба равны»- верно. Доказательство. - по гипотенузе и острому углу (АВ=ВС, т.к. в ромбе все стороны равны,, т.к. в ромбе противоположные углы равны.) Из равенства треугольников следует, что ВН=ВN,так как они лежат напротив равных углов А и С.

4). «Радиус окружности, вписанной в ромб, равен стороне этого ромба»– не верно. Доказательство. Центр окружности, вписанной в ромб, лежит в точке пересечения диагоналей. Из точки О построим перпендикуляр ОК к стороне АD. ОК- радиус вписанной в ромб окружности. ОК

5). « В ромбе с углом 60 0 одна из диагоналей равна его стороне» - (верно) Сумма углов треугольника равна градусов, значит : А D C B АВ=ВС, значит: В треугольнике АВС все углы по 60 0, значит он равносторонний и АС=АВ=СВ. - так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Доказательство.

BPи DK- высоты параллелограмма ABCD, проведенные из вершины тупых углов, причем точка Р лежит между точками В и С. Отрезки ВР и DК пересекаются в точке О. Докажите, что треугольники СКD и СРВ подобны, а углы КОВ и ВСD равны. 1313

- по двум углам, - общий, так как DK и BP-высоты., (по 1-му признаку подобия).

, так как отрезки ОК и ОВ лежат на высотах DK и ВР, так как, если стороны одного угла перпендикулярны сторонам другого угла, то такие углы равны.

В равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС вписана окружность. Она касается стороны АВ в точке М. Найдите радиус этой окружности, если АМ= 10 и ВМ=

2). АВ=АМ+ВМ=10+15=25 3).АС= АВ=25, как боковые стороны равнобедренного треугольника ). Пусть окружность касается сторон треугольника в точках М,Н и N, тогда АМ= АN=10, ВМ=ВН=15, как отрезки касательных, проведенных из одной точки. 4). NС=АС-АN=25-10= ). НС=NС=15 -как отрезки касательных, проведенных из одной точки. Решение.

5).В. По теореме Пифагора АВ 2 =АН 2 +ВН ).ВС=ВН+НС=15+15=30 8).Р=АВ+АС+ВС= =80 7).

Ответ: 7,5 9).

Высоты треугольника АВС пересекаются в точке Н, а медианы – в точке М. Точка К – середина МН. Найдите площадь треугольника АКС, если известно, что АВ=6,СН=3, ВАС=

45 0 1). По условию, высоты пересекаются, значит точка Н их пересечения расположена внутри этого треугольника. В Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника треугольника равна Значит: -так как напротив равных углов лежат равные стороны. 6 2). Решение. Доп. построение: Построим ММ1|| КК1||НН1.

Р ) В и 4). В (см. п.1) ).

Они – прямоугольные и имеют общий угол L, значит: - по двум углам. По свойству медианы: 6). Рассмотрим: и

Получили: КК 1 -средняя линия трапеции ММ 1 Н 1 Н Так как ММ 1 || КК 1 ||НН 1 (по построению) и К – середина МН, то К 1 - середина М 1 Н 1 (по теореме Фалеса). 7). 8). Ответ: 5,625