«Математические модели в расчетах на ЭВМ» Основное содержание курса лекций Преподаватель: Уразбахтина Анжелика Юрьевна

Общая характеристика математических методов для инженерных расчетов на ЭВМ Применение математических методов и ЭВМ при проектировании способствует повышению технического уровня и качества проектируемых объектов, сокращению сроков разработки и освоения их в производстве. Автоматизация проектирования особенно эффективна, когда от автоматизации выполнения отдельных инженерных расчетов переходят к использованию автоматизированных информационных систем (АИС) или систем автоматизированного проектирования (САПР).

Задачи, решаемые с помощью математических моделей, заложенных в АИС или САПР: Моделирование и мониторинг разработки месторождений; Информационные технологии в проектировании объектов обустройства месторождений; Стандартизация и техническое регулирование; Комплексные решения для корпоративных информационных систем.

Математическое обеспечение АИС или САПР Математического обеспечения (МО) это математические модели (ММ), методы и алгоритмы, по которым разрабатывается программное обеспечение (ПО) АИС или САПР, и которые позволяют осуществлять автоматизированное проектирование. Разработка математических моделей и алгоритмов является самым сложным этапом создания АИС или САПР, от которого в наибольшей степени зависят производительность и эффективность системы, и качество проекта.

Математические модели: основные понятия Под математической моделью (ММ) объекта и его элементов понимают систему математических отношений, описывающих с требуемой точностью изучаемый объект и его поведение в реальных или производственных условиях. При построении ММ используют различные математические средства описания объекта – теорию множеств, графов, вероятностей, математическую логику, математическое программирование, дифференциальные или интегральные уравнения и т.д.

Математические модели: основные понятия Структура ММ – общий вид математических отношений модели без конкретизации числовых значений фигурирующих в ней параметров. Математическая модель описывает зависимость между исходными (входными) данными и искомыми величинами.

Схема обобщенной математической модели

Данные математических моделей X,Y - множество входных данных (переменные); X совокупность варьируемых переменных; Y независимые переменные (константы). L - математический оператор, определяющий операции над входными данными; это полная система математических операций, описывающих численные или логические соотношения между множествами входных и выходных данных; G(X,Y) и S(X,Y) - множество выходных данных (переменных); представляет собой совокупность критериев оценки моделируемого объекта или целевых функций улучшения объекта.

Входные данные математических моделей Множество независимых переменных Y определяет среду функционирования объекта, т.е. внешние условия, в которых будет работать проектируемый объект. Это могут быть: технические параметры объекта, не подлежащие изменению в процессе проектирования; физические возмущения среды, с которой взаимодействует объект проектирования; тактические параметры, которые должен достигать объект проектирования. Разделение входных параметров по степени важности влияния их изменений на выходные данные называется ранжированием.

Методы получения математических моделей Получение математических моделей (ММ) - процедура неформализованная, т.е. основные решения, касающиеся выбора вида математических соотношений, характера используемых переменных и параметров, принимает человек (проектировщик) ММ. Разработка ММ обычно выполняется специалистами конкретных областей с помощью традиционных экспериментальных исследований. Методы получения математических моделей делят на теоретические и экспериментальные.

Теоретические методы разработки ММ - основаны на изучении физических закономерностей протекающих в объекте процессов, определении соответствующего этим закономерностям математического описания, обосновании и принятии упрощающих предположений, выполнении необходимых выкладок и приведении результата к принятой форме представления модели.

Экспериментальные методы разработки ММ - методы основаны на использовании внешних проявлений свойств объекта, фиксируемых во время эксплуатации однотипных объектов или при проведении целенаправленных экспериментов.

Схема порядка моделирования

Цели моделирования ММ нужна для того, чтобы понять, как устроен конкретный объект, какова его структура, основные свойства, законы развития и взаимодействия с окружающим миром (понимание); ММ нужна для того, чтобы научиться управлять объектом (или процессом) и определить наилучшие способы управления при заданных целях и критериях (управление); ММ нужна для того, чтобы прогнозировать прямые и косвенные последствия реализации заданных способов и форм воздействия на объект (прогнозирование).

Примеры целей моделирования 1.Какой режим эксплуатации технического объекта выбрать для того, чтобы он был безопасным и экономически наиболее выгодным? 2. Как составить график выполнения сотен видов взаимозависимых работ на объекте, чтобы они закончились в максимально короткие сроки? 3. Проследить (предсказать) экологические и климатические последствия прорыва крупного нефтепровода. 4. Проследить (предсказать) социальные последствия изменений цен на нефть.

Программное обеспечение ЭВМ, используемое на различных этапах математического моделирования Пакет MATLAB Система MATLAB предназначена для выполнения инженерных и научных расчетов и высококачественной визуализации получаемых результатов. Эта система применяется в математике, вычислительном эксперименте, математическом и имитационном моделировании. Используя пакет MATLAB можно как из кубиков построить довольно сложную математическую модель, или написать свою программу.

Программное обеспечение ЭВМ, используемое на различных этапах математического моделирования MATHCAD Универсальный математический пакет, предназначенный для выполнения инженерных и научных расчетов, математического моделирования. Ориентирован на естественный математический язык и непрограммирующего пользователя. Пакет объединяет в себе: редактор математических формул, интерпретатор для вычислений, библиотеку математических функций, процессор символьных преобразований, текстовый редактор, графические средства представления результатов, возможности структурного программирования.

Аналитические математические модели Аналитические модели представляют собой явно выраженные зависимости выходных параметров от входных или внутренних параметров. Пример линеаризованной аналитической математической модели: ММ= где, - параметры моделируемого объекта; ограничения, накладываемые на функционирование объекта окружающей средой; - целевая функция моделирования.

Формулировка задачи линейного программирования (ЗЛП) Реализуются линеаризованные математические модели с помощью линейного программирования, Симплекс-метода и др.: «Имеется некоторая величина, являющаяся линейной функцией ряда переменных, которые, в свою очередь, должны удовлетворять ограничениям, выраженным в виде системы линейных равенств или неравенств. Требуется отыскать такие неотрицательные значения переменных, удовлетворяющих системе ограничений, при которых величина, являющаяся их линейной функцией, принимала бы наименьшее или наибольшее значение.»

Пример решения задачи линейного программирования Постановка задачи. Найти минимум целевой функции: при указанных ограничениях: где х и y объем добычи нефти и газа; a и b трудоемкость добычи нефти и газа; (1)- ограничение по количеству резервуаров; (2) - ограничение по количеству используемого оборудования; (3) - ограничение по количеству используемых месторождений.

Решение задачи линейного программирования 1. Неравенства (1)…(3) преобразовывают в равенства: 2. Строят 3 графика по равенствам из п. 1 3.Заштриховывают область, соответствующую неравенствам (1…3)

Решение задачи линейного программирования 4.Находят точки пересечения 3-х графиков, их заносят в матрицы х и у, вычисляют значения G (x, y), определяют наименьшее значение целевой функции G (x, y) и соответствующие значения х и у. Ответ: G min=8,665 при х=2,333 и y=1,333. Область возможных решений xyG(x,y)G(x,y) ,3331,3338, ,42,410 1,62,3510,25

Требования к математическим моделям К математическим моделям предъявляют требования по точности, экономичности и универсальности. Экономичность ММ определяется затратами ресурсами, требуемых для ее реализации, например, времени или памяти ЭВМ. Универсальность ММ определяется возможностью ее использования для анализа большего количества типовых объектов и их элементов. Точность (адекватность) ММ характеризует полноту отображения в модели свойств реального объекта. Все эти требования противоречивы, вследствие этого обычно ищут компромиссное решение.

Формы представления ММ Помимо линеаризованной и аналитической форм, ММ можно представлять в виде словесных алгоритмов, матриц решений и блок-схем. (Принципы построения блок-схем и словесных алгоритмов вы должны знать из курса «Информатики» ) А здесь хотелось бы упомянуть о матрицах решений для ММ. Матрицы решений или табличные алгоритмы (ТА) представляют собой таблицы, фиксирующие определенные способы принятия решений. Иначе говоря, ТА это декларативное представление алгоритма, позволяющее непроцедурным образом выразить алгоритм и записать его в базу знаний, минуя стадию программирования. Принятие решений выполняется с помощью универсального модуля, который выбирает таблицу из базы знаний, обрабатывает ее и принимает решение, соответствующее входным данным.

Пример записи ММ в виде табличного алгоритма Имеется справочная информация: Требуется преобразовать ее в табличную форму ММ для решения на ЭВМ. Параметр конструкцииИнтервалы параметров объекта, мм Решение 1 при Решение 2 при Решение 3 при Диаметр круглого сечения DZ max Размер под ключ шестигранного сечения DZ max Размер под ключ четырехгранного сечения DZ max Материал – сталь. Диаметр наружной резьбы DR max Материал – пластик. Диаметр наружной резьбы DR max Длина LZ max 60 90

1. Составляется комплекс условий применимости (КУП) для принятия решения: 2. где М – материал (0 – сталь, 1 – другие материалы); ФП – форма (0 – круглый, 4 – четырехгранник, 6 – шестигранник). И теперь заполняется ТА ММ. ФП=DZM=M=DRLZРешение

Порядок разработки ММ 1. Выбор свойств объекта, которые подлежат отражению в модели. Он основан на анализе возможных применений модели и определяет степень ее универсальности. 2. Сбор исходной информации о выбранных свойствах объекта (входной, выходной информации. Источниками ее являются: опыт и знания человека, разрабатывающего модель; содержание научно- технической литературы; описания прототипов – имеющихся ММ для элементов, близких по своим свойствам к исследуемому; результаты экспериментального измерения параметров и т.п. 3. Синтез структуры ММ в виде алгоритма, блок-схемы, аналитической формы, матрицы решения. Синтез структуры – это поиск и упорядочивание аналитических, логических и других зависимостей для преобразования входных параметров в выходные. 4. Расчет числовых значений параметров ММ (разработка тестового или контрольного примера). На этом этапе решается задача минимизации погрешности математической модели. 5. Оценка точности и адекватности ММ. Здесь устанавливается степень расхождения с тестовым примеров или с реальным объектом. 6. Разработка и оформление документации к ММ завершает ее проектирование.

Проверка правильности ММ Проверка правильности ММ заключается в разработке и проведении набора тестов и определении относительной погрешности E ОТН : где G i, Gt i значения, полученные в результате моделирования, и значения из тестовых примеров, соответственно; n – количество тестов. E ОТН

Пример разработки ММ в аналитической форме и словесного алгоритма Постановка задачи: Кусок проволоки данной длины L согнуть в виде прямоугольника так, чтобы площадь прямоугольника была наибольшей. Этап 1. Анализ требований. На рисунке представлен прямоугольник и его стороны: а – длина прямоугольника, b – ширина прямоугольника. Периметр прямоугольника L=2a+2b Площадь прямоугольника S=a b, эта функция будет являться целевой функцией поиска значений параметров а и b. b a

Пример разработки ММ в аналитической форме и словесного алгоритма Этап 2. Разработка ММ. Математическая модель (ММ) для решения задачи имеет вид: Сформулируем словесный алгоритм: 1.Ввести значение L. 2.Вычислить =L/ Назначить a= ; S max =0; a max =0; b max =0;. 4.Вычислить b=(L 2a)/2. 5.Вычислить S= a b. 6.Если S S max, то a max =a; b max =b; S max =S. 7.Вычислить a=a+. 8.Если a

ММ в виде блок-схемы

Этап 3. Проектирование и определение спецификаций. Спецификация параметров к алгоритму ММ НаименованиеОбозначение в алгоритме Обозначение в программе Ед. изм.ДиапазонСтатус параметра Тип 1 Длина проволокиllм1..300ВходнойНе целый 2 Длина прямоугольникаaaм1..300РасчетныйНе целый 3 Ширина прямоугольника bbм1..300РасчетныйНе целый 4 Площадь прямоугольника SSм² РасчетныйНе целый 5 Шаг итераций dм0, РасчетныйНе целый 6 Длина прямоугольника с наибольшей площадью a max amм1..300ВыходнойНе целый 7 Длина прямоугольника с наибольшей площадью b max bmм1..300ВыходнойНе целый 8 Наибольшая площадь S max Smм² ВыходнойНе целый

Этап 4. Расчет тестовых примеров. Тестовые примеры рассчитывают вручную и представляют в таблице: Этап 5. Реализация ММ. Например, в редакторе электронных таблиц EXCEL (приведена лишь часть электронной таблицы) Номе р те ст а LРезультат a max b max S max L Расчетные данные ММ abS Результат моделирования в EXCEL совпадает со значениями из тестового примера

Регрессионные линейные математические модели Регрессионные ММ применяются для исследования зависимости изучаемой переменной Y от различных факторов X и отображения их взаимосвязи в форме регрессионной математической модели. В регрессионных моделях зависимая (объясняемая) переменная Y может быть представлена в виде функции где - независимые (объясняющие) переменные, или факторы. ММ регрессии можно использовать не только для анализа, но и для прогнозирования явлений различной природы. Формулировка линейной регрессионной задачи для одного факторного признака: Коэффициенты модели и вычисляются с помощью метода наименьших квадратов (МНК) в матричной форме.

Метод наименьших квадратов (МНК) в матричной форме для определения коэффициентов регрессионных ММ = = где

Пример определения коэффициентов регрессионной ММ Требуется восстановить аналитическую зависимость плотности стали от температуры в виде линейной регрессионной ММ. Измерены следующие данные: Для реализации МНК используем MATHCAD. Получена ММ Y p=7723,89-0,276 X Марка сталиПлотность стали γ,кг/см 3, при температуре, °С Х Графики исходных данных и регрессионной ММ

Многокритериальные ММ В предыдущих параграфах мы рассматривали одну целевую функцию моделирования, но в реальных задачах их может быть несколько. Такие задачи называют многокритериальными. Для реализации ММ на ЭВМ требуется множество целевых функции свести к одной формуле. Например, аддитивный критерий объединяет (свертывает) несколько целевых функций в одну: где i важность i -ой целевой функции для заказчика моделирования, выраженная в весовых коэффициентах; m количество целевых функций. Недостатки аддитивного критерия субъективный подход к выбору весовых коэффициентов и все целевые функции должны стремиться либо к min, либо к max. В случае, когда одни целевые функции стремятся к min, другие - к max, применяется минимаксный метод.

Комплексная целевая функция моделирования где m – количество альтернативных вариантов решения; P i,j текущее значение i-го параметра для j-го варианта; i весовые коэффициенты значимости; max(P i,j ) или min(P i,j ) наилучшее значение i-го параметра, наблюдаемое у множества анализируемых альтернатив; k – количество параметров проектируемого объекта, входящих в комплексную оценку. Каждый из параметров «стремится» к своему оптимальному значению opt. Решение сводится к поиску наибольшего значения целевой функции F из m вариантов.

Пример использования комплексной оценки Задача: Требуется оценить несколько проектов по нескольким параметрам Наименование P i,j, ед. изм. х j=1j=2j=3j=4j=5 i optЗначения opt Величина запаса, м 3 (i=1) 0,760,780,750,810,80,15max0,81 Площадь неразработанной территории, м 2 (i=2) 0,230,320,250,30,310,35min0,23 Инвестиции в проект, руб. (i=3) ,15max12 Текущий объем добычи, м 3 (i=4) ,25max85 Маршрут на транспортировку нефти и газа, км (i =5) ,08min250 Бальная оценка качества добываемой нефти (i=6) 1,21,121,251,21,230,02max1,25 Общие удельные затраты C j, руб _- Пример расчета эффективности 1 варианта W 1 = 0,15 0,76/0,81+0,35 0,23/0,23+0,15 11/12+0,25 72/85+0,08 250/270+0,02 1,2/1,25 =0,9332. Результаты расчетов эффективности W и целевых функций F остальных вариантов занесем в таблицу.

Пример использования комплексной оценки Наименование12345 Значения эффективности W 0, , , , , Значения целевой функции F 0, , , , , Результаты расчета Для наглядности представления результатов моделирования строится диаграмма значений комплексной целевой функции по вариантам Вывод: лучший – 3-й вариант, так как значение целевой функции здесь достигает максимума.