Гауссова кривая Закон больших чисел Выполнила: Ромашева Мария, ученица 11Б класса МОУ «Гимназия 11»

Явление статистической устойчивости ; Во многих, различных по своей природе статистических наблюдениях статистическая устойчивость может быть описана с помощью одной единственной функции. Эта функция введена великим немецким математиком К.- Ф. Гауссом.

График функции y= (x) называют гауссовой кривой

Гистограммы распределения большого объема информации незаменимы в случаях, когда ряд данных состоит из очень большого количества чисел. Если ширина вертикальных столбцов гистограммы достаточно мала, а основания столбцов в объединении дают некоторый промежуток, то сама гистограмма похожа на график некоторой непрерывной функции, заданной на этом промежутке. Иногда такую функцию называют выравнивающей функцией.

Графики функций выравнивающих гистограммы похожи друг на друга. Все эти кривые распределения получаются из гауссовой кривой. Ее часто называют кривой нормального распределения.

Для наглядной демонстрации действии гауссова закона распределения иногда используют специальное устройство доску Гальтона

Существует способ приближенных вычислений вероятности P n (k) наступления k « успехов » в n независимых повторениях эксперимента с помощью гауссовой функции. Для гауссовой функции имеются подробные таблицы ее значений. Эти таблицы составлены для значений аргумента х с шагом 0,01.

Алгоритм использования функции у = ( х ) в приближенных вычислениях проверить справедливость неравенства npq >10; вычислить x k по формуле x k = ; по таблице значений гауссовой функции вычислить (x k ); предыдущий результат разделить на

Пример 1 Вероятность рождения мальчика примем равной 50%. Найти вероятность того, что среди 200 новорожденных будет : а ) 110 мальчиков ; б ) 80 мальчиков.

Решение : n- 200 р = q = 0,5 npq = 50; 50 > 10 7,07. а ) число « успехов » k =110, б ) k = 80 а ) x k = б ) x k =

Используя таблицы вычисляем ответы а)а) б)б)

Вероятности P n (k), как правило, весьма малы. Поэтому при большом числе n в схеме Бернулли для числа k « успехов » устанавливают не одно точное значение, а некоторые рамки, в пределах которых разрешено меняться числу k. Вероятность того, что число « успехов » k в n испытаниях Бернулли находится в пределах от k 1 до k 2, обозначают так : P n (k 1 k k 2 ).

Функция Ф ( х )

График функции у = Ф ( х )

Алгоритм использования функции у = Ф ( х ) в приближенных вычислениях проверить справедливость неравенства npq 10; вычислить х 1 и х 2 по формулам : по таблице вычислить значения Ф ( х 1 ) и Ф ( х 2 ); найти разность Ф ( х 2 ) - Ф ( х 1 )

Пример 2 Политика П. поддерживает в среднем 40% населения. Какова вероятность того, что из 1500 случайно опрошенных людей политика П. поддерживают : от 570 до 630 человек ?

Решение : p=0,4 q=0,6 npq=360, 360>10 19 k 1 =570; k 2 =630

Пример 3 Известно, что 75% учеников начальной школы не имеют четвертных троек. Случайным образом выбрали 300 учеников. Какова вероятность того, что : « троечников » среди них будет более 99;

Решение : n=300 p=0,25 q=0,75 =7,5 100 k 300

Допустим, что мы провели n независимых повторений испытания с двумя исходами и пусть « успех » мы наблюдали ровно k раз. Тогда число k / n естественно назвать частота « успеха ». Насколько же частота « успеха » в n испытаниях Бернулли отличается от вероятности p « успеха » в одном испытании ? Использование функций и Ф позволяет доказать, что при достаточно большом числе n повторений испытания с двумя исходами числа k / n и р практически совпадут.

Пример 4 Известно, что 90% жителей некоторой страны ни разу не ели авокадо. Случайным образом выбрали п жителей и выяснили число k тех из них, которые не ели авокадо. Насколько большим должно быть п, чтобы с вероятностью более 60% можно было утверждать, что частота k/n отличается от 0,9 не более чем на 0,01?

Решение : p=0,9 q=0,1

Закон больших чисел Для каждого положительного числа r при неограниченном увеличении числа n независимых повторений испытания с двумя исходами вероятность того, что частота k/n появления « успеха » отличается менее чем на r от вероятности p « успеха » в одном отдельном испытании, стремится к единице