Работу выполнил: ученик 10 МБ класса МОУ «Лицей 2» Овсянников Илья Научный руководитель: Кузьменкова Наталья Яковлевна

Софизм (от греч. sophisma – уловка, выдумка, головоломка), формально кажущееся правильным, но по существу ложное умозаключение, основанное на преднамеренно неправильном подборе исходных положений. Правильно понятая ошибка – это путь к открытию И.П. Павлов Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в математических софизмах выполняются «запрещённые» действия или не учитываются условия применимости теорем, формул и правил. Иногда рассуждения ведутся с использованием ошибочного чертежа или опираются на приводящие к ошибочным заключениям «очевидности». Встречаются софизмы, содержащие и другие ошибки. Что такое софизм?

История софизмов В истории развития математики софизмы играли существенную роль. Они способствовали повышению строгости математических рассуждений и содействовали более глубокому уяснению понятий и методов математики. Роль софизмов в развитии математики сходна с той ролью, какую играют непреднамеренные ошибки в математических исследованиях, допускаемые даже выдающимися математиками. Именно уяснение ошибок в математических рассуждениях часто содействовало развитию математики. Пожалуй, особенно поучительна в этом отношении история аксиомы Евклида о параллельных прямых. Сформулировать эту аксиому можно так: через данную точку, лежащую вне данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной (что одну прямую, параллельную данной, можно провести – это доказывается). Это утверждение на протяжении более чем двух тысяч лет пытались доказать, вывеси из остальных аксиом геометрии, но все попытки не увенчались успехом. Полученные «доказательства» оказались ошибочными. И всё же, несмотря на ошибочность этих «доказательств», они принесли большую пользу развитию геометрии. Можно сказать, что они подготовили одно из величайших достижений в области геометрии и всей математики – создание неевклидовой геометрии. Честь разработки новой геометрии принадлежит нашему великому соотечественнику Н.И. Лобачевскому и венгерскому математику Яношу Бойяи. Н.И. Лобачевский и сам сначала пытался доказать аксиому параллельных, но скоро понял, что этого сделать нельзя. И путь, идя которым Лобачевский убедился в этом, привёл его к созданию новой геометрии. Этот замечательный вклад в математику был одним из тех, которые прославили русскую науку. Евклид Н.И. Лобачевский

Разбор софизмов прежде всего развивает логическое мышление, то есть прививает навыки правильного мышления. Обнаружить ошибку – это значит осознать её, а осознание ошибки предупреждает от повторения её в других математических рассуждениях. Что особенно важно, разбор софизмов помогает сознательному усвоению изучаемого материала, развивает наблюдательность, вдумчивость и критическое отношение к тому, что изучается. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперёд, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записей и чертежей, за допустимостью обобщений. Всё это нужно и важно. Наконец, разбор софизмов увлекателен. Чем труднее софизм, тем большее удовлетворение доставляет его анализ. Чем полезны софизмы и что они дают?

Виды математических софизмов (для подробного просмотра нажмите на выбранную строку)

Алгебраические софизмы Вот некоторые результаты решения софизмов: (для подробного просмотра нажмите на выбранную строку) Пример 1.1 р. = к. Пример 2.5 = 6 Пример 4.2 · 2 = 5 Пример 5.5 = 1 Пример 3.4 = 8 Пример 6. 4 = 5 Пример 7.Любое число равно его половине Пример 8. Расстояние от Земли до Солнца равно толщине волоска Пример 9.Любое число = 0 Пример 10. Из двух неравных чисел первое всегда больше второго

Пример 1. 1 р. = к. Возьмём верное равенство: 1 р. = 100 к. Возведём его по частям в квадрат. Мы получим: 1 р. = к. ************************************************************************************ Вопрос: В чём ошибка? Ответ (нажмите «Enter»): Возведение в квадрат величин не имеет смысла. В квадрат возводятся только числа.

Пример 2. 5 = 6 Попытаемся доказать, что 5 = 6. С этой целью возьмём числовое тождество: – 45 = – 54. Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки. Получим: 5 (7 + 2 – 9) = 6 (7 + 2 – 9). Разделим обе части этого равенства на общий множитель (заключённый в скобки). Получаем 5 = 6. ************************************************************************************ Вопрос: В чём ошибка? Ответ (нажмите «Enter»): Общий множитель (7 + 2 – 9) равен 0, а делить на 0 нельзя.

Пример 3. 4 = 8 Возьмём систему уравнений: Решим её способом подстановки. Получим: x = ; 4 – y + y = 8, т.е. 4 = 8. ************************************************************************************ Вопрос: В чём здесь дело? Ответ (нажмите «Enter»): Уравнения данной системы несовместны.

Пример 4. 2 · 2 = 5 Имеем числовое равенство (верное): 4 : 4 = 5 : 5. Вынесем за скобки в каждой части его общий множитель. Получим: 4 (1 : 1) = 5 (1 : 1). Числа в скобках равны, поэтому 4 = 5, или 2 · 2 = 5. ************************************************************************************ Вопрос: Где здесь ошибка? Ответ (нажмите «Enter»): Ошибка допущена в вынесении общего множителя за скобки в левой и правой частях тождества 4 : 4 = 5 : 5.

Пример 5. 5 = 1 Из чисел 5 и 1 по отдельности вычтем одно и то же число 3. Получим числа 2 и – 2. При возведении в квадрат этих чисел получаются равные числа 4 И 4. Значит, должны быть равны и исходные числа 5 и 1. ************************************************************************************ Вопрос: В чём ошибка? Ответ (нажмите «Enter»): Из равенства квадратов двух чисел не следует, что сами эти числа равны.

Пример 6. 4 = 5 Имеем числовое равенство (верное): 16 – 36 = 25 – 45 ; 16 – ,25 = 25 – ,25 ; (4 – 4,5) 2 = (5 – 4,5) 2 ; 4 – 4,5 = 5 – 4,5 ; 4 = 5. ************************************************************************************ Вопрос: В чём ошибка? Ответ (нажмите «Enter»): (4 – 4,5) 2 = (5 – 4,5) 2 |4 – 4,5| = |5 – 4,5|.

Пример 7. Любое число равно его половине Возьмём два равных числа a и b, a = b. Обе части этого равенства умножим на a и затем вычтем из произведений по b 2. Получим: a 2 – b 2 = ab – b 2, или (a + b) (a – b) = b (a – b). Отсюда a + b = b, или a + a = a, так как b = a. Значит, 2a = a, a =. ************************************************************************************ Вопрос: В чём ошибка? Ответ (нажмите «Enter»): Нельзя делить на (a – b), так как (a – b) = 0.

Пример 8. Расстояние от Земли до Солнца равно толщине волоска Пусть a (м) – расстояние от Земли до Солнца, а b (м) – толщина волоска. Среднее арифметическое их обозначим через v. Имеем: a + b = 2v, a = 2v – b, a – 2v = – b. Перемножив по частям два последних равенства, получаем: a 2 – 2av = b 2 – 2bv. Прибавим к каждой части v 2. Получим: a 2 – 2av + v 2 = b 2 – 2bv + v 2, или (a – v) 2 = (b – v) 2, т.е. (a – v) = (b – v), и, значит, a = b. ************************************************************************************ Вопрос: Где здесь ошибка? Ответ (нажмите «Enter»): Ошибка как в примере 6.

Пример 9. Любое число = 0 Каково бы ни было число a, верны равенства: (+a) 2 = a 2 и ( – a ) 2 = a 2. Следовательно, (+a) 2 = ( – a ) 2, а значит, +a = – a, или 2a = 0, и поэтому a = 0. ************************************************************************************ Вопрос: В чём ошибка? Ответ (нажмите «Enter»): Ошибка как в примере 6.

Пример 10. Из двух неравных чисел первое всегда больше второго Пусть a и b – произвольные числа и a b. Имеем: (a – b) 2 > 0, т.е. a 2 – 2 ab – b 2 > 0, или a 2 + b 2 > 2 ab. К обеим частям этого неравенства прибавим – 2 b 2. Получим: a 2 – b 2 > 2 ab – 2 b 2, или (a + b) (a – b) > 2 b (a – b). После деления обеих частей на (a – b) имеем: a + b > 2 b, откуда следует, что a > b. ************************************************************************************ Вопрос: Где допущена ошибка? Ответ (нажмите «Enter»): При делении обеих частей неравенства (a + b) (a – b) > 2b (a – b) на (a – b) знак неравенства может измениться на противоположный (если a – b < 0).

Геометрические софизмы Вот некоторые примеры геометрических софизмов: (для подробного просмотра нажмите на выбранную строку) Пример 1.Загадочное исчезновение. Пример 2.Земля и апельсин Пример 4.Два перпендикуляра Пример 5. «Новое доказательство» теоремы Пифагора Пример 3.Искусная починка

Пример 1. Загадочное исчезновение ************************************************************************************ Вопрос: Куда исчезла 13-я линия? Ответ (нажмите «Enter»): У нас есть произвольный прямоугольник, на котором начерчено 13 одинаковых линий на равном расстоянии друг от друга, так, как показано на рисунке 1. Теперь «разрежем» прямоугольник прямой MN, проходящей через верхний конец первой и нижний конец последней линии. Сдвигаем обе половины вдоль по этой линии и замечаем, что линий вместо 13 стало 12. Одна линия исчезла бесследно. N M 13-я линия удлинила каждую из оставшихся на 1/12 своей длины. Рис. 1

Пример 2. Земля и апельсин Вообразим, что земной шар обтянут по экватору обручем и что подобным же образом обтянут и апельсин по его большому кругу. Далее вообразим, что окружность каждого обруча удлинилась на 1м. Тогда обручи отстанут от поверхности тел и образуют некоторый зазор ************************************************************************************ Вопрос: Где зазор будет больше: у апельсина или у Земли? Ответ (нажмите «Enter»): Пусть длина окружности земного шара = C, а апельсина с метрам. Тогда радиус Земли R = C/2 и радиус апельсина r = c/2. После прибавки к радиусам 1 метра окружность обруча у Земли будет C + 1, а у апельсина c + 1. Радиусы их соответственно будут: (C + 1)/2 и (c + 1)/2. Если из новых радиусов вычтем прежние, то получим в обоих случаях одно и то же. (C + 1)/2 - C/2 = 1/2 - для Земли, (c + 1)/2 - c/2 = 1/2 - для апельсина Итак, у Земли и у апельсина получается один и тот же зазор в 1/2 метра (примерно 16 см).

Пример 3. Искусная починка В дне деревянного судна во время плавания случилась прямоугольная пробоина в 13 см длины и 5 см ширины, т.е. площадь пробоины = 65 см 2. Судовой плотник взял квадратную дощечку со стороной квадрата 8 см (т.е. площадь = 64 см 2 ), разрезал её прямыми линиями на четыре части A, B, C, D так, как показано на рисунке 2, а затем сложил их так, что получился прямоугольник, как раз соответствующий пробоине, см. рисунок 3. Этим прямоугольником он и заделал пробоину. Вышло, что плотник сумел квадрат в 64 см 2 обратить в прямоугольник с площадью 65 см 2. ******************************************************* Вопрос: Как такое могло получиться? Ответ (нажмите «Enter»): Легко видеть, что получившиеся при разрезании квадрата треугольники A и B равны между собой. Также равны и трапеции C, D. Меньшее основание трапеций и меньший катет треугольников равны 3 см и поэтому должны совпасть при совмещении треугольника A с трапецией C и треугольника B с трапецией D. В чём же секрет? Дело в том, что точки G, H, E не лежат на одной прямой, tg EHK = 8/3, а tg HGJ = 5/2. Так как 8/3 – 5/2 = 1/6 > 0, то EHK > HGJ. Точно так же линия EFG – ломанная. Площадь полученного прямоугольника действительно равна 65 см 2, но в нём имеется щель в виде параллелограмма, площадь которого в точности равна 1 см 2. Наибольшая ширина щели равна 5 – 3 – (5·3)/8 = 1/8 см. Таким образом плотнику всё равно придётся замазывать небольшую щель. A B CD Рис. 2 Рис. 3 F H G E K J

Пример 4. Два перпендикуляра Попытаемся «доказать», что через точку, лежащую вне прямой, к этой прямой можно провести два перпендикуляра. С этой целью возьмём треугольник ABC (рисунок 4). На сторонах AB и BC этого треугольника, как на диаметрах, построим полуокружности. Пусть эти полуокружности пересекаются со стороной AC в точках E и D. Соединим точки E и D прямыми с точкой B. Угол AEB прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр; угол BDC также прямой. Следовательно, BE AC и BD AC. Через точку B проходят два перпендикуляра к прямой AC. **************************************************** Вопрос: В чём ошибка? Ответ (нажмите «Enter»): A B CED Рис. 4 Рассуждения опирались на ошибочный чертёж. В действительности полуокружности пересекаются со стороной AC в одной точке, т.е. BE совпадает с BD. A B CD

Пример 5. «Новое доказательство» теоремы Пифагора Возьмём прямоугольный треугольник с катетами a и b, гипотенузой c и острым углом, противолежащим катету a. Имеем : a = c sin, b = c cos, откуда a 2 = c 2 sin 2, b 2 = c 2 cos 2. Просуммировав по частям эти равенства, получаем: a 2 + b 2 = c 2 (sin 2 + cos 2 ). Но sin 2 + cos 2 = 1, и поэтому a 2 + b 2 = c 2. ************************************************************************************ Вопрос: В чём ошибка? Ответ (нажмите «Enter»): Ошибки здесь нет. Но формула sin 2 + cos 2 = 1 сама выводится на основании теоремы Пифагора.

1.«Аванта +. Математика». – Москва, изд. «Аванта +», «БЭКМ – 2007». – Москва, Игнатьев Е.И. «Математическая смекалка. Занимательные задачи, игры, фокусы, парадоксы». – Москва, изд. «Омега», Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. «Математическая шкатулка». – Москва, изд. «Просвещение», «Аванта +. Математика». – Москва, изд. «Аванта +», «БЭКМ – 2007». – Москва, Игнатьев Е.И. «Математическая смекалка. Занимательные задачи, игры, фокусы, парадоксы». – Москва, изд. «Омега», Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. «Математическая шкатулка». – Москва, изд. «Просвещение»,1988. выход