Презентация на тему:Производная. Выполнили ученицы 11»а»класса:Челобитчикова Марина и Святенко Елена.Под руководством учителя математики:Плешаковой О.В г 2010 г

Содержание: 1.Из истории 1.Из истории 2.Понятие производной 2.Понятие производной 3.Дифференцируемость 3.Дифференцируемость 4.Замечания 4.Замечания 5.Геометрический и физический смысл производной 5.Геометрический и физический смысл производной 6.Производные высших порядков 6.Производные высших порядков 7.Способы записи производных 7.Способы записи производных 8.Примеры 8.Примеры 9.Правила дифференцирования 9.Правила дифференцирования 10.Вывод 10.Вывод 11.Интернет-ресурсы 11.Интернет-ресурсы

Из истории: В истории математики традиционно выделяются несколько этапов развития математических знаний: В истории математики традиционно выделяются несколько этапов развития математических знаний:математики Формирование понятия геометрической фигуры и числа как идеализации реальных объектов и множеств однородных объектов. Появление счёта и измерения, которые позволили сравнивать различные числа, длины, площади и объёмы. Формирование понятия геометрической фигуры и числа как идеализации реальных объектов и множеств однородных объектов. Появление счёта и измерения, которые позволили сравнивать различные числа, длины, площади и объёмы.геометрической фигурычислагеометрической фигурычисла Изобретение арифметических операций. Накопление эмпирическим путём (методом проб и ошибок) знаний о свойствах арифметических действий, о способах измерения площадей и объёмов простых фигур и тел. В этом направлении далеко продвинулись шумеро- вавилонские, китайские и индийские математики древности. Изобретение арифметических операций. Накопление эмпирическим путём (методом проб и ошибок) знаний о свойствах арифметических действий, о способах измерения площадей и объёмов простых фигур и тел. В этом направлении далеко продвинулись шумеро- вавилонские, китайские и индийские математики древности.объёмовшумеро- вавилонскиекитайскиеиндийскиеобъёмовшумеро- вавилонскиекитайскиеиндийские Появление в древней Греции дедуктивной математической системы, показавшей, как получать новые математические истины на основе уже имеющихся. Венцом достижений древнегреческой математики стали «Начала» Евклида, игравшие роль стандарта математической строгости в течение двух тысячелетий. Появление в древней Греции дедуктивной математической системы, показавшей, как получать новые математические истины на основе уже имеющихся. Венцом достижений древнегреческой математики стали «Начала» Евклида, игравшие роль стандарта математической строгости в течение двух тысячелетий.древней Греции«Начала» Евклидадревней Греции«Начала» Евклида Математики стран ислама не только сохранили античные достижения, но и смогли осуществить их синтез с открытиями индийских математиков, которые в теории чисел продвинулись дальше греков. Математики стран ислама не только сохранили античные достижения, но и смогли осуществить их синтез с открытиями индийских математиков, которые в теории чисел продвинулись дальше греков. Математики стран ислама Математики стран ислама В XVIXVIII веках возрождается и уходит далеко вперёд европейская математика. Её концептуальной основой в этот период являлась уверенность в том, что математические модели являются своего рода идеальным скелетом Вселенной[L 1], и поэтому открытие математических истин является одновременно открытием новых свойств реального мира. Главным успехом на этом пути стала разработка математических моделей зависимости (функция) и ускоренного движения (анализ бесконечно малых). Все естественные науки были перестроены на базе новооткрытых математических моделей, и это привело к колоссальному их прогрессу. В XVIXVIII веках возрождается и уходит далеко вперёд европейская математика. Её концептуальной основой в этот период являлась уверенность в том, что математические модели являются своего рода идеальным скелетом Вселенной[L 1], и поэтому открытие математических истин является одновременно открытием новых свойств реального мира. Главным успехом на этом пути стала разработка математических моделей зависимости (функция) и ускоренного движения (анализ бесконечно малых). Все естественные науки были перестроены на базе новооткрытых математических моделей, и это привело к колоссальному их прогрессу.[L 1]функцияанализ бесконечно малых прогрессу[L 1]функцияанализ бесконечно малых прогрессу В XIXXX веках становится понятно, что взаимоотношение математики и реальности далеко не столь просто, как ранее казалось. Не существует общепризнанного ответа на своего рода «основной вопрос философии математики»[L 2]: найти причину «непостижимой эффективности математики в естественных науках»[L 3]. В этом, и не только в этом, отношении математики разделились на множество дискутирующих школ. Наметилось несколько опасных тенденций[L 4]: чрезмерно узкая специализация, изоляция от практических задач и др. В то же время мощь математики и её престиж, поддержанный эффективностью применения, высоки как никогда прежде В XIXXX веках становится понятно, что взаимоотношение математики и реальности далеко не столь просто, как ранее казалось. Не существует общепризнанного ответа на своего рода «основной вопрос философии математики»[L 2]: найти причину «непостижимой эффективности математики в естественных науках»[L 3]. В этом, и не только в этом, отношении математики разделились на множество дискутирующих школ. Наметилось несколько опасных тенденций[L 4]: чрезмерно узкая специализация, изоляция от практических задач и др. В то же время мощь математики и её престиж, поддержанный эффективностью применения, высоки как никогда прежде[L 2][L 3][L 4][L 2][L 3][L 4]

Понятие производной: Производной функции f в точке x называется число,к которому стремится разностное отношение. Производной функции f в точке x называется число,к которому стремится разностное отношение.

Дифференцируемость Производная f'(x0) функции f в точке x0, будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция f является дифференцируемой в точке x0 тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна: Производная f'(x0) функции f в точке x0, будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция f является дифференцируемой в точке x0 тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна: Для дифференцируемой в x0 функции f в окрестности U(x0) справедливо представление Для дифференцируемой в x0 функции f в окрестности U(x0) справедливо представление f(x) = f(x0) + f'(x0)(x x0) + o(x x0) f(x) = f(x0) + f'(x0)(x x0) + o(x x0)

Замечания Назовём Δx = x x0 приращением аргумента функции, а Δy = f(x0 + Δx) f(x0) приращением значения функции в точке x0. Тогда Назовём Δx = x x0 приращением аргумента функции, а Δy = f(x0 + Δx) f(x0) приращением значения функции в точке x0. Тогдаприращением Пусть функция имеет конечную производную в каждой точке Тогда определена произво́дная фу́нкция Пусть функция имеет конечную производную в каждой точке Тогда определена произво́дная фу́нкция Функция, имеющая конечную производную в точке, непрерывна в ней. Обратное не всегда верно. Функция, имеющая конечную производную в точке, непрерывна в ней. Обратное не всегда верно. непрерывна Если производная функция сама является непрерывной, то функцию f называют непреры́вно дифференци́руемой и пишут: Если производная функция сама является непрерывной, то функцию f называют непреры́вно дифференци́руемой и пишут:

Геометрический и физический смысл производной Геометрический смысл производной. На г г г г г рррр аааа фффф ииии кккк ееее ф ф ф ф уууу нннн кккк цццц ииии иииивыбирается а а а а а бббб сссс цццц ииии сссс сссс аааа x0 и вычисляется соответствующая оооо рррр дддд ииии нннн аааа тттт аааа f(x0). В окрестности точки x0 выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится сссс ееее кккк уууу щщщщ аааа яяяя (первая светло-серая линия C5). Расстояние Δx = x x0 устремляется к нулю, в результате секущая переходит в к к к к к аааа сссс аааа тттт ееее лллл ьььь нннн уууу юююю(постепенно темнеющие линии C5 C1). Т Т Т Т Т аааа нннн гггг ееее нннн сссс угла α наклона этой касательной и есть производная в точке x0.

Производные высших порядков Понятие производной произвольного порядка задаётся рекуррентно. Полагаем Понятие производной произвольного порядка задаётся рекуррентно. Полагаемрекуррентно Если функция f дифференцируема в x0, то производная первого порядка определяется соотношением Если функция f дифференцируема в x0, то производная первого порядка определяется соотношением Пусть теперь производная n-го порядка f(n) определена в некоторой окрестности точки x0 и дифференцируема. Тогда Пусть теперь производная n-го порядка f(n) определена в некоторой окрестности точки x0 и дифференцируема. Тогда

Способы записи производных В зависимости от целей, области применения и используемого математического аппарата используют различные способы записи производных. Так, производная n-го порядка может быть записана в нотациях: В зависимости от целей, области применения и используемого математического аппарата используют различные способы записи производных. Так, производная n-го порядка может быть записана в нотациях: Лагранжа f(n)(x0), при этом для малых n часто используют штрихи и римские цифры: Лагранжа f(n)(x0), при этом для малых n часто используют штрихи и римские цифры: Лагранжа f(1)(x0) = f'(x0) = fI(x0), f(1)(x0) = f'(x0) = fI(x0), f(2)(x0) = f''(x0) = fII(x0), f(2)(x0) = f''(x0) = fII(x0), f(3)(x0) = f'''(x0) = fIII(x0), f(3)(x0) = f'''(x0) = fIII(x0), f(4)(x0) = fIV(x0), и т. д. f(4)(x0) = fIV(x0), и т. д. Такая запись удобна своей краткостью и широко распространена; Такая запись удобна своей краткостью и широко распространена; Лейбница, удобная наглядной записью отношения бесконечно малых: Лейбница, удобная наглядной записью отношения бесконечно малых: Лейбница Ньютона, которая часто используется в механике для производной по времени функции координаты (для пространственной производной чаще используют запись Лагранжа). Порядок производной обозначается числом точек над функцией, например: Ньютона, которая часто используется в механике для производной по времени функции координаты (для пространственной производной чаще используют запись Лагранжа). Порядок производной обозначается числом точек над функцией, например: Ньютона производная первого порядка x по t при t = t0, или вторая производная f по x в точке x0 и т.д. производная первого порядка x по t при t = t0, или вторая производная f по x в точке x0 и т.д. Эйлера, использующая дифференциальный оператор (строго говоря, дифференциальное выражение, пока не введено соответствующее функциональное пространство), и потому удобная в вопросах, связанных с функциональным анализом:, Эйлера, использующая дифференциальный оператор (строго говоря, дифференциальное выражение, пока не введено соответствующее функциональное пространство), и потому удобная в вопросах, связанных с функциональным анализом:, Эйлерадифференциальный операторфункциональным анализом Эйлерадифференциальный операторфункциональным анализом Конечно, при этом надо не забывать, что служат все они для обозначения одних и те же объектов: Конечно, при этом надо не забывать, что служат все они для обозначения одних и те же объектов:

Примеры: Пусть f(x) = x2. Тогда Пусть f(x) = x2. Тогда Пусть f(x) = | x |. Тогда если то Пусть f(x) = | x |. Тогда если то f'(x0) = sgnx0, f'(x0) = sgnx0, где sgn обозначает функцию знака. Если x0 = 0, то а где sgn обозначает функцию знака. Если x0 = 0, то афункцию знакафункцию знака следовательно f'(x0) не существует следовательно f'(x0) не существует

Правила дифференцирования Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу. ( (производная суммы равна сумме производных) отсюда, в частности, следует, что производная произведения функции и константы равна произведению производной этой функции на константу) Если функция задана параметрически: т то,

Вывод: Производная использовалась с глубоких времен,и применяется до сих пор,в наши дни. Производная использовалась с глубоких времен,и применяется до сих пор,в наши дни. Производная одно из основных понятий дифференциального исчисления. Производная одно из основных понятий дифференциального исчисления.

Источники информации Источники информации Учебник по алгебре класса.Автор:Колмогоров. Большая школьная энциклопедия.Автор:Штейн Е.А