Параллельность и перпендикулярность

Параллельные и перпендикулярные прямые играют очень большую роль в жизни человека: особенности их взаимного расположения используют в строительстве, технике, искусстве. Теория параллельных занимает одно из центральных мест в науке «геометрия». Именно свойства параллельных прямых определяют основные свойства изучаемого нами пространства.

Рассматривая основные геометрические фигуры, среди всех углов мы выделили прямой угол, равный 90 градусов. Изобразим прямой угол и продолжим его стороны за вершину. O В А a b Мы получили две прямые, пересекающиеся под прямым углом. Две прямые, пересекающиеся под прямым углом (90°), называются ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫМИ.

Перпендикулярные прямые обладают интересными свойствами. 1. Через точку вне данной прямой можно провести только одну прямую, перпендикулярную этой прямой и пересекающую ее. 2. Если точку взять на самой прямой, то через эту точку проходит бесконечное число прямых, перпендикулярных данной прямой.

Если начертить прямую в тетради, то одна из прямых, перпендикулярных ей, будет лежать в плоскости тетради, а все остальные прокалывать тетрадь в данной точке. Они будут находиться в пространстве (вне плоскости листа); это похоже на дорожный столб, стоящий на перекрестке дорог: столб перпендикулярен каждой дороге (рис. 2). Рис. 2 Рис. 3 Рис. 2 Рис Две прямые на плоскости, перпендикулярные третьей прямой, не могут пересечься одна с другой (рис. 3). Если бы они пересеклись, например, в точке С, то мы получили бы треугольник ABC, у которого два прямых угла, что невозможно. На плоскости такого не может быть.

А вот на сфере перпендикуляры ведут себя иначе. Вспомните экватор и меридианы. Они перпендикулярны друг к другу, но все меридианы пересекаются в одной точке на ПОЛЮСЕ. Однако вернемся к плоскости. Итак, свойство 3 говорит о том, что на плоскости существуют непересекающиеся прямые. Две прямые на плоскости называются ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ, если они не пересекаются. a b

Передвигая, как показано на рисунке, треугольник вдоль неподвижной линейки, получаем множество параллельных между собой прямых. Передвигая, как показано на рисунке, треугольник вдоль неподвижной линейки, получаем множество параллельных между собой прямых. На рисунке 4-в прямые m и n параллельны. На рисунке 4-в прямые m и n параллельны. Этот факт записывается так: mn Этот факт записывается так: mn Читаем: прямая m параллельна прямой n Читаем: прямая m параллельна прямой n Выбор именно такого знака достаточно понятен, Выбор именно такого знака достаточно понятен, не так ли? б)б) Рис. 4 а б Используя линейку и чертежный угольник, можно без труда вычерчивать параллельные прямые

У обычного чертежного угольника один угол прямой. В этом случае с его помощью можно проводить прямые, перпендикулярные данной прямой (рис. 5). Или, как говорят, опускать на данную прямую перпендикуляры или восставлять к ней перпендикуляры. То, что прямые m и n перпендикулярны, записывается так: m n. С помощью циркуля и линейки также можно строить параллельные и перпендикулярные прямые. Предлагаемые ниже способы построения интересны и тем, что число проводимых при построении линий будет наименьшим из возможных. Рис. 5

Проведение параллельных прямых Пусть проведена прямая и дана точка А вне этой прямой (рис. 6). 1. Проведем через точку А любую окружность, пересекающую прямую (рис. 6). 2. Возьмем одну из точек пересечения окружности с прямой точку В, измерим циркулем отрезок АВ и проведем окружность радиусом, равным АВ, с центром в точке В 1. Появится точка А 1. Прямая, проходящая через точки А и А 1, параллельна прямой. Рис. 6

II способ

Проведение перпендикуляра к прямой Пусть проведена прямая и дана точка А вне этой прямой. Рис.7 Для построения перпендикуляра достаточно с помощью циркуля провести через А две произвольные окружности с центрами на прямой (рис.7). Вторая точка пересечения этих окружностей (точка А 1 ) и даст нам вторую точку на перпендикуляре. Подумайте, как провести перпендикуляр (с помощью циркуля и линейки), если точка А лежит на прямой … Поэтапное построение

Следует запомнить еще одно важное свойство перпендикуляра. Если А точка на прямой, а В точка пересечения перпендикулярных прямых и m (рис. 8), то, отрезок АВ есть кратчайшее расстояние от точки А до прямой m m A B Рис. 8 Итак, если мы хотим из точки А по кратчайшему пути попасть на прямую m, то двигаться надо по перпендикуляру к прямой m

Мы все время говорили: «параллельные прямые», «перпендикулярные прямые». Понятно, что на практике мы имеем дело не с прямыми, а лишь с их частями отрезками, лежащими на этих прямых. Отрезки, лежащие на параллельных прямых, также называются ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ, а на перпендикулярных - ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫМИ.

Среди ребер куба можно указать пары параллельных и перпендикулярных ребер. На рисунке 9 изображен куб. Рис. 9 С Три четверки его ребер параллельны между собой. Вот одна из них: АВ || DC || АХВХ || DXCX. 1. Назовите еще две четверки параллельных между собой ребер куба. Ребро АА 1 перпендикулярно ребрам АВ, А 1 В 1, AD и A 1 D 1. Угол между ребром АА 1 и каждым из этих ребер равен 90°. 2. Назовите ребра, перпендикулярные: а) ребру СС 1 ; б) ребру DC.

Ребра АА 1 и ВВ 1 куба лежат в одной плоскости в плоскости передней грани; в этой же плоскости лежат и плоскости передней грани; в этой же плоскости лежат и ребра А 1 В 1 и АВ. Рис. 9 С Через ребра АА 1 и СС 1 также можно провести плоскость АА 1 С 1 С (диагональное сечение куба).

А вот пара ребер АА 1 и D 1 C 1 особенная. Не существует плоскости, которая бы проходила через оба эти отрезка (а также через прямые АА 1 и D 1 C 1 ). Такие отрезки и прямые называются СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ. Какую бы плоскость мы ни провели через АА 1, обязательно прямая D 1 C 1 либо пересечет ее в какой-либо одной точке, либо не пересечет никогда. 3. Найдите еще несколько пар скрещивающихся ребер куба AC 1. Рис. 9 С Обозначение: ab Читают: прямые a и b - скрещивающиеся

За 5 мин привести как можно больше примеров: 1) параллельных прямых 2) перпендикулярных прямых, встречающихся в окружающем нас мире. Участники поочередно называют примеры таких прямых. Игра заканчивается, как только в течение минуты никто не может придумать новый пример. Побеждает тот, чей пример был последним.

Найдите на рисунке 9 какие-либо отрезки с концами в вершинах куба (не являющиеся его ребрами), такие, чтобы они были: а) параллельными; б) перпендикулярными; в) скрещивающимися. Рис. 9 С

Домашнее задание Выполнить все построения, которые выполняли на уроке, выделяя цветом главные этапы и линии, на альбомном листе А-4.

Спасибо за внимание! Желаю удачных построений параллельных и перпендикулярных прямых!

Ресурсы: И.Ф.Шарыгин, Л.Н.Еранжиева. Наглядная геометрия, 5-6 классы. Т.А.Алдамуратова, Т.С.Байшоланов. Математика. Учебник для 6 класса ОШ. Личный архив Волошина Н.Н. ГУ ШГ 5 г.Алматы