Схема Бернулли

Определение. Схемой Бернулли называется последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода «успех» и «неудача», при этом «успех» в одном испытании происходит с вероятностью p, «неудача» с вероятностью q =1- p.

Теорема. (Формула Бернулли). Доказательство. Событие Означает, что в серии из n испытаний произошло ровно k успехов. Рассмотрим один из плагоприятствующих событию A исходов. (у – «успех», н – «неудача»)

Т.к. испытания независимы, то вероятность такого элементарного исхода равна Первые k испытаний завершились успехом, а остальные ( n - k ) - неудачей. Другие, благоприятствующие нашему событию исходы, отличаются от данного лишь иным расположением k успехов по n местам. Число благоприятствующих исходов равно числу сочетаний из n элементов по k, а вероятность события A равна сумме вероятностей всех элементарных событий, составляющих данное.

Определение. Набор чисел Называется биномиальным распределением вероятностей и обозначается

Наиболее вероятное число успехов

Номер первого успешного испытания в схеме Бернулли

Выбор без возвращения Из урны наудачу выбирают n шаров Такое распределение вероятностей называется гипергеометрическим

Предельное поведение гипергеометрического распределения

Независимые испытания с несколькими исходами Полиномиальное распределение

Предельные теоремы с схеме Бернулли Теорема Пуассона

Предельная теорема Муавра- Лапласа