МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ МОРДОВИЯ МОУ «ИНСАРСКАЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА 1» Конкурс проектно – исследовательских работ «Интеллектуальное будущее Мордовии – 2008» Секция: математика Научный руководитель: Чудаева Е. В., учитель математики Автор работы: ЛУКИНА НИНА, 9 кл;

ВНИМАНИЕ! При использовании наших материалов помните о соблюдении авторских прав!

решение уравнений, содержащих неизвестную под знаком модуля способы решения уравнений ознакомление учащихся с теоретическими основами решения уравнений с модулем, рекомендациями к решению, алгоритмирование процесса решения уравнений содержащих неизвестную под знаком модуля

1)Работа с литературными источниками. 2) Математическое моделирование постановки задачи для построения графического образа линий, входящих в данное уравнение. 3) Эксперимент: исследование различных подходов и методов решения уравнений; исследование изменения вида кривой, в зависимости от параметров входящих в её уравнение.

ВВЕДЕНИЕ ГЛАВА 1. Решение уравнений. 1.1.Определение модуля. Решение по определению 1.2. Решение уравнений по правилам 1.3. Задачи с несколькими модулями. Последовательное и параллельное раскрытие модулей 1.4. Метод интервалов в задачах с модулями 1.5. Вложенные модули 1.6. Модули и квадраты 1.7. Модули неотрицательных выражений ГЛАВА 2. Функционально-графический способ решения задач Графики простейших функций, содержащих знак абсолютной величины 2.2. Построение графиков уравнений, содержащих знак модуля 2.3. Графическое решение уравнений, содержащих знак модуля 2.4. Графическое решение задач с параметром и модулем ЗАКЛЮЧЕНИЕ ЛИТЕРАТУРА ПРИЛОЖЕНИЕ. Исследование вида графического образа заданного неравенством, в зависимости от параметров a и b

1.1.Определение модуля. Решение по определению. По определению, модуль, или абсолютная величина, неотрицательного числа a совпадает с самим числом, а модуль отрицательного числа равен противоположному числу, то есть – a: Запишем решение простейших уравнений в общем виде: Пример. Решить уравнение |x –3| = 3 – 2x. Рассматриваем два случая. При x – 3> 0 уравнение принимает вид x – 3 = 3 – 2x, откуда x = 2. Но это значение не удовлетворяет неравенству x – 3 > 0, потому не входит в ответ исходного уравнения. При x – 3 < 0 получаем 3 – x = 3 – 2x и x = 0. Этот корень удовлетворяет соответствующему условию x – 3 < 0. Итак, ответ к исходному уравнению: x = 0. Ответ: х = 0.

2-е правило: |f(x)| = g(x) 1-е правило: |f(x)| = g(x) ЗАМЕЧАНИЕ. Фигурные скобки обозначают системы, а квадратные – совокупности. Решения системы уравнений – это значения переменной, одновременно удовлетворяющие всем уравнениям системы. Решениями совокупности уравнений являются все значения переменной, каждое из которых есть корень хотя бы одного из уравнений совокупности Решение уравнений по правилам

|f(x)| = |g(x)| Пример. Решить уравнение |x 2 – x – 6| = |2x 2 + x – 1|. Решение. Мы уже знаем, что рассматривать (целых 4) варианта распределения знаков выражений под модулями здесь не нужно: это уравнение равносильно совокупности двух квадратных уравнений без каких-либо дополнительных неравенств: Которая равносильна: Первое уравнение совокупности решений не имеет (его дискриминант отрицателен), второе уравнение имеет два корня. Ответ:

Третий способ освобождения от модуля – замена переменной Пример. Решить уравнение: Решение. Заметим, что, тогда уравнение примет вид: Пусть, тогда решим квадратное уравнение: Его корни, условию удовлетворяет первый корень. Возвращаясь к переменной х, получаем уравнение решая которое находим: Ответ:.

Задачи с несколькими модулями. Два основных подхода к решению. Сначала один из модулей изолируется в одной части уравнения (или неравенства) и раскрывается одним из описанных ранее методов. Затем то же самое повторяется с каждым из получившихся в результате уравнений с модулями и так продолжается, пока мы не избавимся ото всех модулей. Можно снять сразу все модули в уравнении или неравенстве и выписать все возможные сочетания знаков подмодульных выражений. При снятии модуля может получить один из двух знаков – плюс или минус. Эти области определяются знаками выражений под модулями. «последовательное» раскрытие модулей «параллельное» раскрытие модулей

Решение. Уединим второй модуль и раскроем его, пользуясь первым способом, то есть просто определением абсолютной величины: К полученным двум уравнениям применяем второй способ освобождения от модуля: Ответ: -1; Наконец, решаем получившиеся четыре линейных уравнения и отбираем те их корни, которые удовлетворяют соответствующим неравенствам : Пример. Решить уравнение:

Лишь первый и третий из этих корней удовлетворяют соответствующим неравенствам, а значит, и исходному уравнению. Пример. Решить уравнение: Решение. Рассмотрим 4 возможных набора знаков выражений под модулями. Ответ: -1;

Метод интервалов в задачах с модулями. Пусть имеется уравнение, в которое входят три модуля от линейных выражений; например: |x – a| + |x – b| + |x – c| = m. Первый модуль равен x – a при x ³ a и a – x при x < a. Второй равен x – b или b – x при x ³ b и x < b соответственно. Аналогично раскрывается и третий модуль. Нарисуем эти области и возьмем их пересечения. В частности, если все выражения под модулями рациональны, то достаточно отметить на оси их корни, а также точки, где они не определены, то есть корни их знаменателей. Отмеченные точки и задают искомые промежутки знакопостоянства.

. Пример. Решить уравнение: Решение. Найдем нули функции x+2=0 или x+3=0, откуда x=-2, x=-3. Рассмотрим 3 возможных набора знаков выражений под модулями. Решаем задачу на каждом интервале: Итак, данное уравнение не имеет решений. Ответ:

Вложенные модули Последовательное раскрытие модулей наиболее эффективно в "задачах-матрешках", где внутри одного модуля находится другой, а то и несколько. Пример. Решить уравнение: Решение. Освободимся от внешнего модуля, получим: Второе уравнение совокупности решений не имеет, так как модуль всегда положителен, а первое уравнение равносильно совокупности: Ответ: 0; 2.

Модули и квадраты Существует простой и быстрый способ освобождения от знака модуля в уравнениях вида |f(x)| = |g(x)|: Он основан на двух очевидных соображениях. Во- первых, из двух неотрицательных чисел то больше, квадрат которого больше, а если квадраты равны, то и числа равны: a > b a 2 > b 2 ; a = b a 2 = b 2. Во-вторых, квадрат модуля числа равен квадрату самого числа: |a| 2 = a 2. Поэтому допускается такое равносильное преобразование: Эту же идею можно применить к уравнениям или неравенствам, одна часть которых равна нулю, а другая содержит разность модулей как сомножитель. В такой задаче разность модулей можно заменить разностью квадратов тех же выражений:

Модули неотрицательных выражений. Пример 1. Решить уравнение: Решение. Нетрудно догадаться, что все выражения, стоящие под знаком второго, третьего и т.д. модулей положительны. И поскольку модуль положительного выражения равен самому этому выражению, получим Ответ: 0 Пример 2. Решить уравнение: Решение. Воспользуемся тождеством, и получим уравнение, решая которое методом интервалов получим ответ Ответ:

Графическое решение уравнений, содержащих знак абсолютной величины. Решить уравнение : 3| x + 2 | + x 2 + 6x + 2 = 0. Для решения уравнения графическим способом, надо построить графики функций Парабола пересеклась с «уголком» в точках с координатами (-4; 6) и (-1; 3), следовательно, решениями уравнения будут абсциссы точек: Ответ:

Графическое решение уравнений, содержащих знак абсолютной величины. Решить равнение: | 4 – x | + | (x – 1)(x – 3) | = 3. Для решения уравнения графическим способом, надо построить графики функций Парабола пересеклась с «уголком» в точках с координатами (1; 0), (2; 1) и (4; 3), следовательно, решениями уравнения будут абсциссы точек: Ответ:

Графическое решение уравнений, содержащих знак абсолютной величины. Решить графически уравнение Для решения уравнения графическим способом, надо построить графики: -22 Эти графики пересекаются в двух точках (-2; -3) и (2; 3), следовательно, исходное уравнение имеет два решения Ответ:

Найти все значения а, при которых уравнение Данное уравнение равносильно совокупности Выражая параметр а, получаем: График этой совокупности – объединение уголка и параболы. пересекает полученное объединение в трех точках. имеет ровно три корня? Ответ: х а а = -1 Прямая

В процессе работы над темой «Решение уравнений содержащих неизвестную под знаком модуля» мы: Изучили литературу по данному вопросу. Познакомились с алгебраическим и графическим подходом к решению уравнений, содержащих неизвестную под знаком модуля. Исследовали количество решений уравнения, в зависимости от параметров входящих в её условие. и пришли к выводу: 1. В ряде случаев при решении уравнений с модулем, возможно, решать уравнения по правилам, а иногда удобнее воспользоваться геометрический способ решения, который, к сожалению, не всегда применим, из-за сложности изображения линий входящих в условие задачи. 2. При решении уравнений, содержащих модуль и параметр, графический способ является более наглядным и сравнительно более простым.