А ксиома БиссектрисаГеометрия Основное свойство измерения отрезков Угол Основное свойство измерения углов Основное свойство расположения точек на прямой Теорема Дополнитель- ные лучи А Б Г Д ТУ РОИ

Смежные и вертикальные углы

План Определение смежных углов Построение смежных углов Свойство смежных углов Пример оформления задачи Вертикальные углы Свойство вертикальных углов Построение вертикальных углов Пример оформления задачи Домашнее задание

АО С В

Смежными углами называются два угла, на которые делится развернутый угол его внутренним лучом. O АC В

Определение смежных углов Определение. Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми. А О В С ВОА и ВОС смежные

Cвойство смежных углов С О D F 1. Сколько углов изображено на рисунке? Какие это углы? 2. Существует ли какая-нибудь взаимосвязь между этими углами? (Вспомните свойство измерения углов). 3. Как по-другому можно записать данное равенство? Почему? 4. Для всякой ли пары смежных углов выполняется это равенство? 5. Данные равенства – математическая запись свойства смежных углов. Сформулируйте само свойство смежных углов. Да Теорема. Сумма смежных углов равна СOD и COF смежные, а DOF – развернутый Да, DOF= COD+ COF 180°= СOD+ COF

Дано : ے(а 1 b) и ے (ab)- смежные углы. Доказать : ے (аb)+ ے (а 1 b)=180. Доказать : ے (аb)+ ے (а 1 b)=180 °.Доказательство. 1) Угол (аа 1 ) -___________. 2) Градусная мера угла (аа 1 ) равна __________. 3) Луч b проходит между сторонами угла ______. 4) Сумма градусных мер смежных углов (ab) (а 1 b) равна градусной мере угла ______,т.е._____. aa1a1 b

Дано: АВС и ДВС- смежные углы. Доказать: ے АВС + ے ДВС= 180. Доказать: ے АВС + ے ДВС= 180 °.Доказательство. 1) Угол АВД -__________. 2) Градусная мера угла АВД равна _________. 3) Луч ВС проходит между сторонами угла ______. 4) Сумма градусных мер смежных углов АВС и ДВС равна градусной мере угла ____, т.е.______. A D C B

1) ے(аа 1 ) –развернутый, т.к. лучи ________. 2) ے (аа 1 ) равен 180 по ________. 2) ے (аа 1 ) равен 180 ° по ________. 3) ے (аа 1 )= ے(ас)+ ے (са 1 ),т.к. луч с __________. Значит, ے ( ас)+ ے (са 1 )=180. Значит, ے ( ас)+ ے (са 1 )=180 °. a1a1 a c Дано Теорема. Сумма смежных углов равна 180 0

Пример оформления решения задачи Один из смежных углов на 32 0 больше другого. Найдите величину каждого угла. К О М N Решение: Ответ: 74 0, KOM и KON смежные, KOM - KON = 32°. Дано: Найти: KOM, KON. Пусть КОN = x, тогда КОM = x+32. KOM + KON = 180°(как смежные) Значит, х +32+х =180, 2х = , 2х = 148, х = 148:2, х = 74. КОN = 74°, тогда КОM = 74° +32°=106°.

Вертикальные углы Определение. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого. P O F D K POF и KOD вертикальные, POD и KOF вертикальные

Вертикальными углами называются два угла, если стороны одного являются продолжениями сторон другого А В C D O

Свойство вертикальных углов L O D S N Теорема. Вертикальные углы равны Дано: LOD и NOS –. вертикальные Доказать: LOD = NOS Доказательство: 1) LOD и DON -смежные, LOD + DON=180°, LOD = 180°- DON DON + NOS =180°, NOS = 180°- DON То есть, LOD и NOS имеют равные величины. Значит, LOD = NOS. 2) DON и NOS -смежные,

L O D S N LOD и DON SON и DON LOD и LOS SON и SOL LOD и SON LOS и DON Назвать пары углов - смежные - вертикальные - смежные - вертикальные - смежные

Образец оформления решения задачи При пересечении двух прямых образовалось четыре угла. Один из них равен Найдите величины остальных углов. M O F P K 43 0 Дано: Найти: Решение: Ответ: 137 0, 43 0, МК PF = О МОF = 43° FOK, KOP, POM. 1. KOP = МОF (как вертикальные), KOP = 43° 2. МОF + FOK = 180°(как смежные) FOK = 180°- 43°=137° 3. POM = FOK(как вертикальные) POM =137°

Обучающая самостоятельная работа А СВ D 2. Начертите угол МОК. Постройте смежный с ним: а) угол КОN; б) угол MOR. 3. Запишите пары смежных углов, имеющиеся на рисунке: Е А D C В F 4. Запишите пары вертикальных углов, имеющиеся на рисунке: D В А М С N 1. На рисунке изображены прямые АС и ВD, пересекающиеся в точке О. Дополните записи: ВОС и... - вертикальные, ВОС и... - смежные, СОD и... - вертикальные, СОD и... - смежные.

Задача 1. Найдите углы, полученные при пересечении двух прямых, если один из углов равен Задача 2. Найдите величины смежных углов, если один из них в 5 раз меньше другого. Задача 3. Чему равны смежные углы, если один из них на 30 0 больше другого? Задача 4. Найдите величину каждого из двух вертикальных углов, если их сумма равна Если при решении какой-либо задачи Вам потребовалась помощь, обратитесь к учителю. Если все задачи решены, сообщите об этом учителю. Порешаем?

Задания для самопроверки Задача 1. Определите по рисункам: Задача 2. Один из четырех углов, получающихся при пересечении двух прямых, равен Определите остальные три угла. Задача 3. Определите градусную меру углов, если: а) один из них в 4 раза больше другого; б) один из них на 22 0 больше другого; в) они равны между собой. С В А М К С 42 0 В К Р О Р Н Т L О

Если при выполнении обучающей самостоятельной работы у Вас возникали затруднения или Вы не успели полностью выполнить эту работу, тогда Ваше домашнее задание: 1. знать и уметь доказывать свойства смежных и вертикальных углов; 2.знать определения смежных и вертикальных углов; 3.1, 2, 3, 7 (учебник, с.30-31). Если при выполнении заданий Вы не испытывали затруднений и полностью справились с обучающей самостоятельной работой, тогда Ваше домашнее задание: 1) знать и уметь доказывать свойства смежных и вертикальных углов; 2) знать определения смежных и вертикальных углов; 3) 4(3), 5, 6(1), 8 (учебник, с.30-31). Домашнее задание

Любые два угла, которые получаются при пересечении двух прямых, либо смежные, либо вертикальные Вывод:

1.Смежными углами называются… 2.Вертикальными углами называются… 3. Сумма смежных углов… 4. Вертикальные углы… Выводы

Найдите пары вертикальных углов D В А F C P P R Q K L D D H D F G L LP N M O K M O R M R

Найдите пары смежных углов А В P F D F G D G C D H D C P Q Q A RK L F P C