Песочный замок Задача 15

Условие задачи Оцените прочность мокрого песка. Какой максимальной высоты можно построить "песочный замок" с заданной площадью основания?

Цели Дать качественное объяснение почему можно построить песочный замок почему замок разрушается Определить как зависит прочность песка и песочного замка от влажности песка от размеров песчинок от степени утрамбовки от формы песочного замка Определить максимальную высоту замка Построить песочный замок максимально возможной высоты

Почему можно построить замок из влажного песка Когда к песку добавляют воду, то между песчинками в местах их соприкосновения друг с другом образуются капиллярные мостики, которые создают притягивающую силу между песчинками из-за поверхностного натяжения. Это полностью меняет свойства песка. Жидкость в пространстве между песчинками изначально собирается рядом с точками соприкосновения песчинок, потому что ее притягивает туда поверхностное натяжение. Кривизна жидкости создает области низкого давления, вызывающие притяжение между песчинками.

Схематическое изображение сил, действующих на неподвижные песчинки В дальнейшем мы будем считать, что сила поверхностного натяжения уравновешивает силу реакции опоры. F a – сила поверхностного натяжения N – сила реакции опоры

F fr - сила трения скольжения F v - сила вязкого трения F a - сила поверхностного натяжения Схематическое изображение сил, действующих на песчинки, когда они движутся

Оптимизация песка Из формулы Лапласа сдвигающее давление – Растягивающее давление (вес песчинки) – Чем меньше средний размер песчинок, тем прочнее будет замок.

Характерные размеры использованного песка R [0,1; 0,3] мм R ср= = 0,2 мм σ 0,05 мм

Влажность песка Наибольшая прочность песка достигается при втором состоянии (мосты между отдельными песчинками) В нем также можно выделить три режима Сухой песок, соединение отсутствует При больших объемах воды жидкостные мостики соединяются и образуют тримеры, тетраэдры и пентамеры. Частично насыщенный – при малых объемах воды образуются жидкостные мостики рядом с точками соприкосновения песчинок При еще больших объемах воды образуются большие кластеры. Если пространство между песчинками полностью заполнено водой, соединение отсутствует. Hornbaker, D. J., Albert, R., Albert, I., Barabasi, A. & Schifer, P. Nature 387, 765 (1997), Arshad Kudrolli. Sticky Sand

Капиллярные мостики (фото под микроскопом) Песчинки окрашивались зеленкой для лучшей видимости. В качестве жидкости использовалась вода. 1 мм

Кластер 1 мм

Возможные режимы соединения Режим выпуклостей Для самых маленьких объемах жидкости капиллярные силы возникают из-за того, что жидкость собирается вокруг одной или нескольких неровностей, которыми соединяются песчинки. Режим шероховатостей Затем, когда толщина мостика будет больше примерного среднего расстояния между неровностями, будет действовать второй режим, когда мостик еще настолько мал, что место соприкосновения жидкости и воды можно считать плоской шероховатой поверхностью. Сферический режим Толщина мостика значительно больше расстояния между неровностями песчинки. Определяющую роль играет кривизна самой песчинки. Шероховатостью ее поверхности можно пренебречь и принять песчинку за сферу. Прочность соединения не зависит от объема воды!

Т.о. мы можем видеть, что максимум прочности соединения соответствует третьему режиму, до начала образования кластеров. Thomas C. Halsey & Alex J. Levine. How Sandcastles Fall Зависимость силы поверхностного натяжения от объема жидкости

Минимальное значение оптимальной концентрации воды Переход от второго к третьему режиму наблюдается при V bond =l r 2 R, где l r – средняя высота выступа. (Thomas C. Halsey & Alex J. Levine. How Sandcastles Fall) Оценим оптимальное соотношение воды и песка в этом случае. R lrlr У нас N min = 2,5% k

Нахождение максимального процентного соотношения воды и песка, соответствующего максимуму прочности (переход к кластерам). R – радиус шара r – толщина мостика φ=arcsin(r/R) l – длина мостика. В дальнейших расчетах мы считаем, что она мала по сравнению с радиусом песчинки. θ – краевой угол между водой и песком. В дальнейшем считаем θ~0 0. Обозначения и допущения l R r θ φ

Нахождение максимального процентного соотношения воды и песка, соответствующего максимуму прочности (переход к кластерам) Слияние песчинок в простейший кластер (треугольный) происходит, как понятно из геометрических соображений, в случае, если φ=π/6. ABC, составленный центрами трех касающихся песчинок (шарики одинакового размера) – равносторонний. φ – половина угла этого треугольника. При дальнейшем увеличении угла φ, связанном с увеличением объема жидкости, количество песчинок, входящих в кластер, увеличивается, соответственно уменьшается прочность соединения. A B C φ

Нахождение максимального процентного соотношения воды и песка, соответствующего максимуму прочности (переход к кластерам) Зная радиус песчинки (R) и угол φ, выразим через них объем мостика k - Количество мостиков на каждую песчинку зависит от плотности упаковки песка (f p ). N – количество песчинок в единице объеме. Отсюда найдем соотношение общего объема воды и объема песка k

Нахождение максимального процентного соотношения воды и песка, соответствующего максимуму прочности (переход к кластерам) Подставив в формулу числовое значение φ=π/6, получаем верхнее значение для оптимальной концентрации воды N opt 4,5%.

Экспериментальная зависимость прочности замка от влажности песка N max = 3,75% Параметры башни: R=3 см H = 6 см

Разрушение на сжатие При разрушении на сжатие максимальная сжимающая сила - Собственный вес конструкции - Условие разрушения: - предел прочности на сжатие мокрого песка Максимальная высота не зависит от радиуса! Экспериментально мы видим, что это не так.

Причины разрушения замка При достижении определенной высоты столб песка разрушается. Находясь в состоянии неустойчивого равновесия и имея низкую прочность на изгиб, замок разрушается под действием собственного веса. Для того, чтобы количественно оценить максимальную высоту замка, необходимо знать модуль упругости для мокрого песка с разными параметрами. Перед F Во время F После F Небольшое возмущение Перед F Во время F Разлом После F Неустойчивое равновесие

Теоретическая оценка максимального модуля упругости Модуль сдвига для куба из влажного песка со стороной L, состоящего из большого количества песчинок, можно найти как: где Δx/L – удлинение, F strain /L 2 – напряжение. Предполагая, что на уровне отдельных частиц капиллярные силы и силы упругости уравновешены для каждой пары частиц, и предполагая контакт двух песчинок контактом двух шаров, можно найти максимальный модуль сдвига. где R – радиус песчинок γ – поверхностное натяжение E – модуль Юнга для песчинок Коэффициент α зависит от утрамбовки. При коэффициенте упаковки f p 0,74 α 0,054 Moller, P. & Bonn, D. The shear modulus of wet granular matter. E

Зависимость коэффициента α от плотности упаковки

Формула для максимальной высоты (модель Гринхилла) E – модуль Юнга для мокрого песка, r – радиус основания, F – фактор формы n – параметр, определяющий, как изменяется радиус замка по высоте(1), H – высота замка с – первый корень функции Бесселя J t, t(m,n) (2) Из формулы следует, что оптимальная форма замка не зависит от параметров песка.

Форма замка при разных значениях n n=0 0

Оптимизация форм-фактора (коэффициента n). График зависимости форм-фактора от коэффициента n. Максимальная высота достигается при n=1,24 (F = 132)

Разрушение отдельных песчинок Средняя прочность природного песка на сжатие: ~9,3МПа. Оценим радиус максимально высокого цилиндрического замка, при котором происходит разрушение песчинок. Подставив усредненные числовые значения, получаем максимальный радиус около 6,8м. Максимальная высота замка при таком радиусе будет около 24,5 м.

Окончательная формула Для конуса F=120 Для цилиндра F= 31,4 E = 3*10 10 Па ρ c = 3400 кг/м 3

Методика проведения эксперимента 1.Промывание и прокаливание песка 2.В песок наливалась вода в необходимом процентном соотношении 3.Влажный песок засыпался в заранее подготовленную форму (бумажный цилиндр, несколько слоев бумаги), место соединения заклеивалось скотчем) 4.Утрамбовка песка. 5.Скотч отдирался и бумагу аккуратно разматывали.

18 см, r = 2 см

22 см, r = 2,5 см

Цилиндр

30 см, r = 2 см

Конус r (см) H (см)

Выводы Тип песка: Характерный размер песчинок – максимально мелкий Плотность песчинок – минимальная Влажность песка - оптимум достигается при соотношении объема воды и объема песка от 2,5 до 4,5%. Форма «песочного замка» - конусообразная фигура, зависимость радиуса от высоты задается формулой Плотность упаковки – чем больше, тем лучше (определяет ɑ ). Метод постройки – засыпание в формы и утрамбовка При нашей плотности утрамбовки H max =4,5*r 2/3 При максимальной плотности утрамбовки H max =10,2*r 2/3