Простейшими диофантовыми уравнениями являются уравнения вида ax + by = c, a 0; b 0 Если с = 0, то решение очевидно х = 0, у = 0. Если с 0, и решение (х 0 ; у 0 ), то целое число ax 0 + by 0 делится на d = (a ; b), поэтому с так же должно делиться на общий делитель a и b. Например: 3х + 6у = 5 не имеет целых решений, так как (3; 6) = 3, а с = 5 не делится на 3 без остатка. Если уравнение ax + by = c имеет решение (х 0 ; у 0 ), и (a ; b) = 1, то все решения уравнения задаются формулами х = х 0 + bn; y = у 0 – an, где nлюбое целое решение. Например: 3х + 5у = 13, (3; 5) = 1, значит уравнение имеет бесконечно много решений, х 0 =1; у 0 =2 х1??? у2???

Большая (великая) теорема Ферма гласит: уравнение вида не имеет решений в натуральных числах. Эта теорема была сформулирована итальянским математиком Пьером Ферма более 300 лет назад, а доказана лишь в 1993 году.

2. Решите в целых числах уравнение: 3х² + 4ху – 7у²= 13. Решение: 3х² - 3ху + 7ху – 7у²= 13, 3х(х – у) +7у(х – у) = 13, (х – у)(3х + 7у) = 13. Так как 13 имеет целые делители ±1 и ±13, 1. х – у = 1, 7х – 7у = 7, х = 2, 3х + 7у= 13; 3х + 7у = 13; откуда у = 1 2. х – у = 13, 7х – 7у = 91, х = 9,2, 3х + 7у= 1; 3х + 7у =1; откуда у=- 3,8. 3. х – у = -1, 7х – 7у = -7, х = -2, 3х + 7у= -13; 3х + 7у = -13; откуда у = х – у = -13, 7х – 7у = -91, х = -9,2, 3х + 7у= -1; 3х +7у= -1; откуда у =3,8. Следовательно уравнение имеет два решения в целых числах: (2;1) и (-2;-1)

3. Решите в целых числах уравнение: 9х² + 4х – ху +3у = 88. Решение: 9х² + 4х – 88 = ху – 3у, 9х² + 4х – 88 = у(х – 3) так как 5 имеет целые делители ± 1и ± 5, то х у