студентки 5 курса 2 группы физико - математического факультета специальности « Математика, информатика » Удиной Анны Валерьевны МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ТУВИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА АЛГЕБРЫ И ГЕОМЕТРИИ

Гипотеза: Организация учебного процесса по математике с элементами логики и комбинаторики способствуют формированию комбинаторно- логического мышления.

Раскрыть понятие комбинаторно- логического мышления в целом; Озвучить проблему по развитию логического и комбинаторного мышления у девятиклассников; Систематизировать накопленные сведения по исследованию качества знаний; Выявить сильные и слабые стороны комбинаторно-логического развития у учащихся 9 класса.

Понятие о мышлении Мышление - это опосредованное и обобщённое отражение действительности, вид умственной деятельности, заключающейся в познании сущности вещей и явлений, закономерных связей и отношений между ними. [Гальперин П.Я. Введение в психологию] Теоретическая часть

Логическое мышление. Логическое мышление - обеспечение связей в мыслях. Логическое мышление - это мышление, проходящее в рамках формальной логики, отвечающее требованиям формальной логики. [Гусев В.А. Психолого- педагогические основы обучения математике]

Комбинаторный стиль мышления. Комбинаторика - раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. [ Кузьмин О.В. Перечислительная комбинаторика] Комбинаторные задачи требуют сочетания эвристического и алгоритмического стиля мышления. Эвристическая составляющая мышления требуется на этапе восприятия задачи, поиска способа решения, составления алгоритма перебора или выбора элементов, а алгоритмическая составляющая – при четком выполнении алгоритма.

Комбинаторно-логическое мышление – это мышление, реализуемое посредством мыслительных операций, направленного на выделение конечных вариантов рассматриваемых явлений и понятий, дальнейшего процесса преобразования числа выделенных выборов в зависимости от субъектного опыта ученика. [Попова Т.Г. О важности развития комбинаторно-логического мышления старшеклассников]

Новизна исследования: Состоит в изучении влияния учебного процесса на формирование параметров комбинаторного и логического мышления. На данный момент этот вопрос частично изучен в работах Поповой Т.Г. «Развитие комбинаторно-логического мышления не уроках математики». Мною предпринята попытка решения этой проблемы на материале математики 9 класса. Актуальность темы: Под развитием комбинаторно-логического мышления будем понимать мышление, направленное на развитие логических законов, операций при конечной вариативности рассматриваемых явлений, понятий. Актуальность данной работы заключается в том, что на данный период времени в школьное образование внедряются элементы комбинаторики, статистики и т.д. В важности такого рода мышления убеждает нас и новая форма итоговой аттестации учащихся школы - форма ЕГЭ. Разделы А, В и С по математике единого государственного экзамена предусматривает выбор правильного варианта ответа, а также выбор способа решения задач. Необходимость поиска новых эффективных средств развития комбинаторно-логического мышления у школьников обусловлена его значимостью для дальнейшей самореализации личности в современном обществе.

Рассмотрим модели трех ключевых типов задач. Логические задачи Алгоритм решения задач: -изучить содержание задачи, вычленить условия, требования к задаче. -уточнить уровень математических знаний, необходимый для ее разрешения (содержательный компонент); -поиск пути решения задачи: -провести поиск скрытой ошибки (с помощью перехода на другие формы записи производимых математических преобразований; -или рассмотрение тонкостей теоретического обоснования того или иного перехода в математических действиях); -анализ решения задачи (обоснование скрытой ошибки); -соотнесение задачи, скрытой ошибки с личным опытом (рефлексивный компонент); -при необходимости выявить творческий компонент учащихся; Практическая часть

Задача 1. Рассмотрим пошаговую работу над задачей А – множество цифр в числе , а В – множество цифр в числе Какое из высказываний истинно: В А или А В? ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество В называется подмножеством множества А (обозначение: В А), если каждый элемент множества В является также элементом множества А. Пустое множество считают подмножеством любого множества ( А ). Любое множество является подмножеством самого себя (А А). Объяснение: независимо от того сколько чисел содержит множество А, оно состоит из элементов {1, 2, 3}, а множество В состоит из элементов {0, 1, 2, 3}. Поэтому А является подмножеством В. Ответ: А В Возможные ошибки: Ученики, видя, что множество А имеет больше цифр, чем В, торопятся с выводом ответа и допускают сразу же ошибку, говоря, что множество В является подмножеством А. Хотя дело не в количестве цифр, а в количестве присутствующих элементов множеств А и В.

1) Начертите два треугольника так, чтобы их пересечением был: а) отрезок; б) шестиугольник. Задача 2. 2) Начертите два четырехугольника так, чтобы их пересечением был: а) отрезок; б) четырехугольник. Возможные ошибки: -упускают из условия задания основной смысл – « пересечение фигур », не вникают в смысл вопроса; -из-за незнания геометрических фигур; -плохая ориентация на плоскости.

Комбинаторные задачи Перестановки - это комбинации или соединения из n элементов, содержащие все элементы и считающиеся различными, если отличаются порядком элементов. Размещения из n элементов по k - это комбинации или соединения, содержащие k различных элементов и считающиеся различными, если отличаются либо своими элементами, либо порядком элементов. Сочетаниями из m элементов множества A по n элементов называются соединения, содержащие n элементов, а отличаются они хотя бы одним элементом, но не порядком. Алгоритм определения различий между понятиями "сочетание" - "размещение": -вычленение основного множества; -вычленение из основного множества нескольких элементов; -сравнение множеств вычлененных элементов с различными вариантами перестановок; -осуществление необходимого вывода о важности (последовательность) или неважности (подмножество) перестановок в образованных множествах вычлененных элементов; -осуществление окончательного вывода: -порядок не важен - подмножество вычлененных элементов - понятие "сочетание"; -порядок важен - последовательность вычлененных элементов - понятие "размещение".

Задача 3. Сколько двузначных чисел можно составить с помощью цифр 1, 2, 3 и 4? Рассуждения ученика. Первый способ. Сначала запишем все числа, у которых в разряде десятков стоит цифра 1: 11, 12, 13, 14. Затем запишем все числа, у которых в разряде десятков стоит цифра 2: 21, 22, 23, 24. Запишем числа, у которых в разряде десятков стоит цифра 3: 31, 32, 33, 34. Запишем числа, у которых в разряде десятков стоит цифра 4: 41, 42, 43, 44. Получилось 16 чисел: 11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44. Ответ: 16 чисел.

Второй способ. Построение дерева возможностей. Диалог учителя с учениками. Учитель. Сколько существует способов поставить цифру на первое место? Дети. Четыре: цифры 1, 2, 3 или 4. У. Рисуем от корня 4 веточки и записываем рядом с веточкой цифры 1, 2, 3 и 4. Дети выполняют задание. – Цифру 1 мы уже поставили на первое место. Сколько у нас есть способов поставить цифру на второе место? Ответы детей. У. Вторую цифру мы можем выбрать четырьмя способами, это может быть цифра 1, 2, 3 или 4. Рисуем от цифры 1 четыре веточки, под каждой подписываем цифру 1, 2, 3 или 4. Считаем внизу число веточек и получаем ответ на вопрос задачи. Д. Таких чисел 16. У. Есть ли среди записанных чисел число 32? Найдите его. Д. Это десятое число. У. Запишите все полученные числа. Д. 11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44. Ответ: 16 чисел.

Задача 4. « Вороне как – то Бог послал кусочек сыра », брынзы, колбасы, сухарика и шоколада. « На ель Ворона взгромоздясь, позавтракать совсем уж было собралась, да призадумалась » : а) если есть кусочки по очереди, то из скольких вариантов придется выбирать; б) сколько получится « бутербродов » из двух кусочков; в) если съесть сразу три кусочка, а остальные спрятать, то из скольких вариантов придется выбирать; г) сколько получится вариантов, если какой-то кусочек бросить Лисе, а потом ответить на вопрос пункта а)?

Рассуждения учеников: Первый способ. Воспользуемся деревом возможностей: Таким образом мы видим, что каждый элемент выбирается 5 способами, остается 4 элемента, из 4-х элементов мы можем выбирать уже 3 способами и так далее. Получается 2*3=6, 6*4=24, 24*5=120 Ответ: 120 способов. Второй способ. Воспользуемся формулой. Так как элементы можно переставлять и порядок здесь важен, то это перестановка Р n = n! И таким образом Р n = n!=5!=5*4*3*2*1=120 способов. Ответ: 120 способов. Решение: а) если есть кусочки по очереди, то из скольких вариантов придется выбирать;

Первый способ. Комбинируем элементы. 123, 124, 125, 234, 235, 345, 351, 451, 452, 341. Итого получилось 10 способов перестановки кусочков. Ответ: 10 способов. Второй способ. Формула. Так как мы сочетаем элементы, причем элементы не должны повторяться, и порядок не важен, то воспользуемся формулой сочетаний без повторений: C n k = Ответ: 10 способов. б) сколько получится «бутербродов» из двух кусочков; Брошенный кусочек мы можем выбрать 5 вариантами, а остальные оставшиеся 4 кусочка, которые хотят съесть по очередности, выберем 4!=4*3*2*1, тогда решение будет следующим: 5*4!=5*4*3*2*1=120 способов. Также можем воспользоваться деревом возможностей. Ответ: 120 вариантов. г) сколько получится вариантов, если какой-то кусочек бросить Лисе, а потом ответить на вопрос пункта а)?

Первый способ. Также комбинируем кусочки. Те 3 кусочка, которые хотят съесть, мы выбираем из 5 вариантов : 123, 124, 125, 234, 235, 345, 351, 451, 452, 341. Но еще остались спрятанные кусочки, которые мы также выбираем из 5 вариантов. Например, если мы выбрали кусочки 123, то остались 4 и 5, если 124 выбрали, то остались кусочки 5 и 3 и так далее. Образовались еще сочетания, которые представляют спрятанные кусочки: 45, 53, 34, 51, 14, 12, 24, 32, 13, 52. Их тоже 10. Получили следующее: 10+10=20 способов. Ответ: 20 способов. Второй способ. Применим формулу сочетаний без повторений: C n k = Но само решение будет выглядеть следующим образом: Ответ: 20 способов. в) если съесть сразу три кусочка, а остальные спрятать, то из скольких вариантов придется выбирать;

Алгоритм решения задач по теме "Метод включения и исключения" -изучение содержания задачи; -выдвижение гипотезы (гипотез) поиска решения; -осуществление логических рассуждений, связанных с нахождением числа общих элементов всех рассматриваемых множеств, а также числа общих элементов возможных переборов этих множеств: по два, три множества и т.д.; -проверка выдвинутых гипотез других способов решения (критический компонент); -осуществление решения при помощи формулы метода включения и исключения (в зависимости от числа рассматриваемых множеств); -обсуждение результатов и соотнесение с собственным опытом (рефлексивная составляющая) -обсуждение дополнительных вопросов к задаче на усиление логической составляющей (логическая составляющая); -составление и решение аналогичных задач (творческий компонент).

Задача 5. В нашем классе можно изучать по выбору английский и немецкий языки. Английский язык изучают 23, немецкий – 16, а оба эти языка – 5 учащихся. Сколько школьников в нашем классе, если известно, что каждый из них изучает хотя бы один из этих языков? Схема рассуждений и ход решения Шаг 1. Введем обозначения. А - множество учащихся, посещающих курс по английскому, буквой В - множество учащихся, изучающих немецкий. N(A)=23, N(B)=16, N(А В)=5. Шаг 2. Множества А и В имеют общие элементы, т. е. А В = 5. Шаг 3. Число учащихся, посещающих только английский равно 18 ( = 18), число учащихся, посещающих немецкий равно 11 ( = 11). Шаг 4. Общее число слушателей двух курсов равно сумме участников только английского, только немецкого и слушателей обоих языков, то есть равно =34. Шаг 5. Вычисление числа учащихся (другим способом) с применением формулы метода включения и исключения. N(A В) = В) = N(А) + N(В) - N(А В) = = 34. Ответ: в классе 34 ученика.

Задача 6 Множества A, B и C таковы, что n(A)=22, n(B)=14, n(C)=8, n(A B C)=25, n(A B)=5, n(A C)=4, n(B C)=6. Сколько элементов в пересечении множеств А, В и С? Схема рассуждений и ход решения Шаг1. Вспомним правило суммы для двух элементов: N(A В) = N(А) + N(В) - N(А В) Шаг 2. Определим, что дано: -количество элементов каждого множества n(A)=22, n(B)=14, n(C)=8, -пересечения элементов множеств n(A B)=5, n(A C)=4, n(B C)=6, -общее количество элементов всех трех множеств, Шаг 3. Что требуется узнать? Сколько элементов в пересечении множеств А, В и С. Будет обозначаться как n(А В С).

Возможные ошибки: -При появлении третьего множества возникают трудности при составлении формулы. -Возникает путаница в знаках Шаг 4. Для наглядности посмотрим рисунок. Шаг 5. Вычисление числа элементов с применением формулы метода включения и исключения, но только для трех элементов. N(A В С) = N(А) + N(В) + N(C) - N(А В) – N(A C) - N(B C) –N(A B C). Шаг 6. Подставим в формулу числа и определим количество элементов в пересечении всех трех множеств: 25= Х Х=4 Ответ: 4 элемента.

УровниЗнанияУмения 123 Низкий (нулевой) Практическое отсутствие знаний об общенаучных, логических, комбинаторных методах. Бессистемность предметных знаний по математике, достаточно большое число пробелов предметных знаний. Ученик умеет решать только задачи «одного шага» (так называемое «в лоб»), либо решает их по интуиции. Первый Большие затруднения в применении методов научного познания. Владеет только простейшими предметными знаниями. Ученик умеет решать задачи, требующие простейших математических знаний. Второй Знает общенаучные, логические, комбинаторные методы. На среднем уровне владеет предметными знаниями. Ученик осуществляет предварительный анализ условия задачи, находит ключевые компоненты для взаимосвязи и дальнейшего его решения, но не осуществляет до конца ход рассуждений (основная причина: знает методы познания, но не всегда может их применить. То же самое происходит и с предметными знаниями). Третий Знает общенаучные, логические, комбинаторные методы, в несложных ситуациях может их применить. На хорошем уровне владеет предметными, межпредметными знаниями. Ученик осуществляет не только предварительный анализ, но и осуществляет на основе этого синтез о обобщение, поиск оригинальных способов решения задач, осуществляет переход от частной задачи к задаче с большим числом элементов, операций или к обобщенной. Четвертый Знает общенаучные, логические, комбинаторные методы, может их применить. На высоком уровне владеет предметными, межпредметными знаниями. Ученик может переходить от одного вида модели к другой, умеет переформулировать условие задачи с целью осуществления качественного анализа и синтеза, лучшего понимания условия задачи; находить как можно больше вариантов решения задачи; использует межпредметные связи; самостоятельно разрабатывает задачи и осуществляет их решение. ПятыйЗнает общенаучные, логические, комбинаторные методы, в большинстве случаев может их применить. На достаточно высоком уровне владеет предметными, межпредметными знаниями. Ученик может переходить от одного вида модели к другой, умеет переформулировать условие задачи с целью осуществления качественного анализа и синтеза, лучшего понимания условия задачи; находить как можно больше вариантов решения задачи; использует межпредметные связи; самостоятельно разрабатывает задачи и осуществляет их решение; строит модели ранее изученных объектов, а также строит модели на основе новых знаний; умеет переходить к мыслительным операциям после решения задачи с целью осуществления сравнения, классификации, аналогии и т.д. с уже известными моделями решения задачи. Уровень эффективного развития комбинаторно-логического мышления старшеклассников.

Критерий оценок по формированию комбинаторно-логического мышления учащихся 9 «А» класса Государственного лицея республики Тыва Таблица 1. Самостоятельные работы. Наименования работ Учащиеся Уровни эффективного развития комбинаторно-логического мышления у учащихся Самостоятельная работа Бухтояров Никита Васильев Владимир Деге Идермаа Жук Мария Кужугет Шончалай Кукарцев Иван Луцик Альберт Монгуш Алдынай Монгуш Степан Монгуш Аялга Монгуш Чайзат Ондар Тайгана Салчак Евгения Торуш Базаан Хертек Белекма Ховалыг Лилия Шананин Дмитрий Шогжап Луиза Юй Сенги

Наименования работ Учащиеся Уровни эффективного развития комбинаторно-логического мышления у учащихся Домашняя работаОлимпиада ЗаочнаяОчная Бухтояров Никита Васильев Владимир Деге Идермаа Жук Мария Кужугет Шончалай Кукарцев Иван Луцик Альберт Монгуш Алдынай Монгуш Степан Монгуш Аялга Монгуш Чайзат Ондар Тайгана Салчак Евгения Торуш Базаан Хертек Белекма Ховалыг Лилия Шананин Дмитрий Шогжап Луиза Юй Сенги Таблица 2. Домашние работы. Олимпиады.

График уровня развития комбинаторно-логического мышления 9 «а» класса ГЛРТ Ось ОХ – количество самостоятельных работ Ось OY – уровень развития комбинаторно - логического мышления

График уровня развития комбинаторно-логического мышления 9 «а» класса ГЛРТ Ось ОХ – количество домашних работ Ось OY – уровень развития комбинаторно - логического мышления

График уровня развития комбинаторно-логического мышления 9 «а» класса ГЛРТ Ось ОХ – количество олимпиад Ось OY – уровень развития комбинаторно - логического мышления

Оригиналы работ учащихся девятого класса по заочной олимпиаде

Основные выводы исследования: 1. Общие показатели развития комбинаторно-логического мышления девятиклассников неравномерны, в них отражены особенности индивидуального развития каждого ребёнка и выбора профиля обучения. 2. Ярко выражена способность к комбинаторно-логическому рассуждению лишь у учащихся, склонным к точным наукам. Более половины учащихся в классе демонстрируют нормативно ожидаемый уровень в домашних условиях, что говорит о недостаточной адаптации учащихся к новым разделам математики в школе. 3. Лишь 6 учащихся экспериментальной группы могут самостоятельно составлять задачи, решение которых предполагает использование различных способов решения. 4. Необходимым условием для формирования и развития комбинаторно-логического мышления выступали факультативные занятия, которые постепенно давали результаты овладения навыками решения различного рода задач. 5. Благодаря усвоению комбинаторно-логических действий, учащиеся свободно осуществляли перенос различных интеллектуальных, практических, «жизненных» заданий в аналогичные и даже нестандартные ситуации.

Используемая литература: Александров А. Д. « Математика, её содержание, методы и значение » т. 1, М.; изд - во Академии наук СССР, с.; Башмаков М. И. « Планирование учителем своей деятельности » / Вестник СЗО РАО " Образование и культура Северо – Запада России ", Вып. 1, СПб, с.; Башмаков М. И. « Что такое школьная математика ?»/ Математика М.: Издательский дом " Первое сентября ", 48, с.; Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. « Сборник задач по алгебре для 8-9 классов : Учеб. для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики »/ 2- ое изд.- М.: Просвещение, с.: ил.; Гальперин П. Я. « Введение в психологию », издательство Московского университета, 1976 г.-302 с.; Гусев В. А. « Психолого - педагогические основы обучения математике » – М.: ООО Издательство Вербум - М, ООО Издательский центр Академия, 2003 – 115 с.; Давыдов В. В. « Проблемы развивающего обучения : опыт теоретического и экспериментального исследования »: М., Педагогика, 1986 – 281 с.; Зинченко В. П. « Психологические основы педагогики » ( Психолого - педагогические основы построения системы развивающего обучения Д. Б. Эльконина, В. В. Давыдова ): Учеб. Пособие. - М.: Гардарики, с.; Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования. Утверждена Приказом Министра образования 2783 от г, Москва, 2002.; Кузьмин О. В. « Комбинаторные методы решения логических задач », учебное пособие, М.: Дрофа, с.; Кузьмин О. В. « Перечислительная комбинаторика », учебное пособие. М.: Дрофа, с.; Кузьмин, О. В., Попова, Т. Г. « О важности комбинаторно - логического мышления / Проблемы учебного процесса в инновационных школах », Вып.12: Сб. научн. тр./ Под ред. О. В. Кузьмина.- Иркутск : Иркут. ун - т, с.; Окунев А. А. « Как учить не уча ».- СПб : Питер Пресс, с.; Петерсон Л. Г. « Математика. 4 класс. Часть 3». 19. С с.; Попова Т. Г. « Кафедра физики и математики : инновационные образовательные технологии » / авт.- сост. Т. Г. Попова, Г. А. Кругова, О. Г. Закирова ; под ред. О. В. Кузьмина. – Волгоград : Учитель, – 191 с.; Попова Т. Г. « Математика классы. Развитие комбинаторно - логического мышления. Задачи, алгоритмы решений »/ Волгоград : Учитель, с.; Попова Т. Г. « О важности развития комбинаторно - логического мышления старшеклассников »/ Известия РГПУ, (55). – 435 с.; Попова Т. Г. « Педагогическая мастерская на уроках математики ». Сборник научных трудов Вопросы преподавания математики и информатики в школе и ВУЗе, филиал ИГПУ, 2005 г., 5 с.; Попова Т. Г. « Развитие комбинаторно - логического мышления на основе математики »/ Материалы Всероссийской научно - практической конференции « Портфолио современного учителя », номер госуд. Регистрации , регистр. свидет от – М., Издательский дом « Паганель », – 102 с.; Попова Т. Г. « Система элективных курсов по формированию и развитию комбинаторно - логического мышления старшеклассников » / Профильная школа, – 6. – С Издательский дом Паганель, 11 февраля 2011 г.; Попова Т. Г. « Система элективных курсов, направленная на развитие комбинаторно - логического мышления старшеклассников ». Математика класс : учебно - методическое пособие / Т. Г. Попова ; научн. ред. д - р физ.- мат. наук, проф. О. В. Кузьмин. Иркутск : Изд - во Иркут. гос. ун - та, –39 с.; Троякова Г. А. « Элементы теории множеств и математической логики ». Для углубленного изучения математики. Учебное пособие для 9 - х классов с углубленным изучением математики.- Кызыл, издательство Lyceum, с.; Эрдниев П. М., Эрдниев Б. П. « Обучение математике в школе »/ Укрупнение дидактических единиц. Книга для учителя -2 изд. испр. и доп. - М.: АО Столетие, c.;