Глава 1 Дифференциальные уравнения движения Глава 1 Дифференциальные уравнения движения § 1. Прямолинейное движение § 2. Схема решения дифференциальных уравнений движения § 3. Примеры решения задач § 1. Прямолинейное движение § 2. Схема решения дифференциальных уравнений движения § 3. Примеры решения задач

- основной закон динамики Дифференциальные уравнения движения

- векторная форма задания движения - координатный способ задания движения - в естественных координатах

§ 1. Прямолинейное движение сила (или равнодействующая сил) имеет постоянное направление скорость точки в начальный момент времени направлена вдоль силы или равна нулю сила (или равнодействующая сил) имеет постоянное направление скорость точки в начальный момент времени направлена вдоль силы или равна нулю или то т.к.

если сила (или равнодействующая сил) зависит от координаты x, а не от времени t или по условию задачи надо найти зависимость скорости V x от координаты x, то если сила (или равнодействующая сил) зависит от координаты x, а не от времени t или по условию задачи надо найти зависимость скорости V x от координаты x, то тогда и и

Решение основной задачи динамики – нахождение x = f(t) Cила (равнодействующая сил) может зависеть от времени t, положения x и скорости точки v х - общее решение уравнения, Дважды интегрируя это уравнение, находим - частное решение уравнения

§ 2. Схема решения дифференциальных уравнений движения Составить дифференциальное уравнение: - выбрать систему координат и начало отсчета; - изобразить тело в произвольный момент времени и все действующие на него силы; - найти суммы проекций всех сил на оси координат Интегрирование дифференциальных уравнений Нахождение постоянных интегрирования Определение искомых величин и исследование полученных результатов Составить дифференциальное уравнение: - выбрать систему координат и начало отсчета; - изобразить тело в произвольный момент времени и все действующие на него силы; - найти суммы проекций всех сил на оси координат Интегрирование дифференциальных уравнений Нахождение постоянных интегрирования Определение искомых величин и исследование полученных результатов

§ 3. Примеры Задача 1 Груз веса Р, находившийся в покое на гладкой горизонтальной поверхности, начинает двигаться под действием горизонтальной силы, проекция которой на горизонталь равна F x = H sin(kt), где H и k – постоянные величины. Найти закон движения Задача 1 Груз веса Р, находившийся в покое на гладкой горизонтальной поверхности, начинает двигаться под действием горизонтальной силы, проекция которой на горизонталь равна F x = H sin(kt), где H и k – постоянные величины. Найти закон движения

Задача 1 P = mg, F x = H sin(kt), t=0, x=0, V x =0 P = mg, F x = H sin(kt), t=0, x=0, V x =0 x(t) - ? x x y y 0 0 mg N N FxFx FxFx x: - общее решение дифференциального уравнения

Начальные условия: t = 0, x = 0, V x = 0 - частное решение дифф. уравнения - еще одно дифф. уравнение

- общее решение - частное решение дифф. уравнения - решение задачи Начальные условия: t = 0, x = 0, V x = 0 Вывод. На равномерное движение груза со скоростью V = H / (k · m), происходящее по горизонтали вправо, накладывается колебание с амплитудой A = H / (k 2 · m) и периодом – T = 2 · π / k

Задача 2 К твердому телу массы m =1 кг, которое может двигаться вдоль оси x, приложена сила притяжения, проекция которой на ось x направлена по горизонтали налево и равна S x = 2 x. Тело двигалось с начальной скоростью V 0 = 10 м/с вправо. Определить скорость тела, когда оно пройдет путь 5 м

Задача 2 M =1 кг, S x = 2 x, t = 0, x 0 = 0, V 0 =10 м/c, x k = 5 м M =1 кг, S x = 2 x, t = 0, x 0 = 0, V 0 =10 м/c, x k = 5 м V k - ? x x y y 0 0 mg N N SxSx SxSx x:

- общее решение - закон изменения скорости Начальные условия: t = 0, x = 0, V x = 10 м/с Ответ. Скорость тела, когда оно пройдет путь 5 м, будет 7.07 м/с

Задача 3 Лодку с пассажиром, масса которых m = 120 кг, толкают, сообщая начальную скорость V 0 = 2 м/с. Считать силу сопротивления воды при малых скоростях изменяющейся по закону R = µV, где µ = 9.1 кг/с. Найти путь, который пройдет лодка до остановки

Задача 3 m=120 кг, V 0 =2 м/c, R=µV, µ=9.1 кг/с, t=0, x 0 =0, m=120 кг, V 0 =2 м/c, R=µV, µ=9.1 кг/с, t=0, x 0 =0, S - ? t - ? x x y y 0 0 mg N N x: - общее решение дифф. уравнения R R

Начальные условия: t = 0, x = 0, V x = 2 м/с - частное решение дифф. уравнения - еще одно дифф. уравнение

- общее решение - закон изменения скорости Начальные условия: t = 0, x = 0, V x = 2 м/с Ответ. Лодка будет двигаться очень долго и будет стремиться преодолеть путь около 26.6 м

Задача 4 Камень массы m, брошен под углом α к горизонтальной плоскости со скоростью V 0. Определить траекторию движения, горизонтальную дальность полета, высоту полета и время полета камня. Сопротивлением воздуха пренебречь

Задача 4 m, V 0, α, t = 0, X 0 = 0, Y 0 = 0 m, V 0, α, t = 0, X0 = 0,X0 = 0, Y0 = 0Y0 = 0 x(t) - ? y(t) - ? OC - ? H - ? T - ? x(t) - ? y(t) - ? OC - ? H - ? T - ? x x 0 0 mg V0V0 V0V0 C C y y α α H H

x: разделяем переменные интегрируем y: - общие решение дифференциальных уравнений

Начальные условия: t = 0, V x = V 0 cosα, V y = V 0 sinα - частные решения дифференциальных уравнений - еще два дифференциальных уравнения

Общие решения дифференциальных уравнений - частные решения дифференциальных уравнений Траектория движения камня: Уравнение параболы с осью параллельной оси OY Брошенное под углом к горизонту тело движется в безвоздушном пространстве по параболе (Г. Галилей)

Горизонтальная дальность полета: - расстояние ОС Высота полета:

Время полета: расстояние ОС будет одинаковым для обоих случаев Угол наибольшей дальности: При α = 45 О Х будет максимальным

Задача 5 Парашютист в момент раскрытия парашюта имел скорость V 0, направленную вертикально вниз. Найти скорость парашютиста, если проекция силы сопротивления движению на вертикаль R х = –k 2 mV 2, где m – масса парашютиста; k – постоянный коэффициент; V – скорость в проекции на вертикаль

Задача 5 m, V 0, R х =-k 2 mV 2, t=0, x 0 =0 m, V 0, Rх=-k2mV2,Rх=-k2mV2, t=0, x 0 =0 x - ? x x 0 0 mg x: R R - табличный интеграл

- общее решение - частное решение Начальные условия: t = 0, x = 0 потенцируем это уравнение и получим

- закон изменения скорости Ответ. Скорость парашютиста изменяется согласно полученному закону