Содержание 1. Введение. Базовые понятия 2. Аттракторы 3. Хаос 4. Гомоклинические структуры 5. Дикие гиперболические множества 6. Гиперболические и другие аттракторы 7. Приложения

1. Введение Исследование устойчивости, изучение роли инвариантных многообразий, анализ геометрической структуры траекторий, поиск инвариантных мер, расчет инвариантных характеристик и т.п. Основная идея – качественное интегрирование Качественная теория

Предмет качественной теории – сосредоточенные системы, где Основной результат – теорема локального существования и единственности решений:

фазовый поток Таким образом, можно предложить геометрический подход ввести преобразование сдвига, или фазовый поток, Эта функция определена для и

Поток при имеет взаимно обратную функцию той же гладкости. система обратима во времени отображением: Если t дискретно,, то динамическая система называется отображением: диффеоморфизмом Если функции f и f 1 гладкие, то такое отображение называется диффеоморфизмом.

Пусть – некоторое решение. Каким оно будет при ? СИСТЕМЫ диссипативныеконсервативные грубымструктурно устойчивым Говорят, что свойство динамической системы яв- ляется грубым (или структурно устойчивым), если при малых возмущениях системы оно сохраняется.

Диссипация фазовый объем сжимается При t фазовый объем стремится к нулю. аттрактором Это предельное множество называется аттрактором. Как его наглядно представить? 2. Аттракторы 0 t

Рассмотрим маятник в среде: Для почти всех начальных условий его конечное состояние – это устойчивое положе- ние равновесия. Это положение словно бы «притягивает» маятник из почти любого начального состояния.

M Формально это означает следующее: множество начальных условий A Аттрактор Аттрактор A – это подмножество фазового пространства M такое, что A инвариантно относительно F t ; существует окрестность U A, которая сжимается к A под действием F t, A ; A неразложимо. областью притяжения аттрактора U называется областью притяжения аттрактора A. F tF t

Рассмотрим систему: положениями равновесия стационарными точками Точки, в которых, называются положениями равновесия или стационарными точками. Равновесие неустойчивоеустойчивое

1 – действительные и одного знака узел устойчивыйнеустойчивый Пример

2 – действительные и разных знаков седло 3 фокус неустойчивыйустойчивый Пример

4 – чисто мнимые центр устойчивый узел устойчивый фокус Аттракторы:

седло-узел неустойчивое многообразие устойчивое многообразие W uW u W sW s W sW s W uW u седло-фокус неустойчивое многообразие устойчивое многообразие W sW s W uW u W sW s W uW u

Более сложные аттракторы: предельный цикл γ Маятник с возмущением в среде Несколько маятников тор

Седловой цикл: W s и W u – называются устойчивым и неустойчивым многообразиями седлового предельного цикла, соответственно.

В отображении Пуанкаре такой цикл отвечает седлу: Сечение Пуанкаре WuWu WsWs

Устойчивый узел Устойчивый фокус Аттракторы: Устойчивый предельный цикл Устойчивый тор

3. Хаос хаотической Пусть M – метрическое пространство. Система F t : M M называется хаотической, если M F t неустойчиво по отношению к заданию начальных условий ; циклы преобразования F t плотны в M; F t топологически транзитивно.

Гиперболические множества Такие множества служат хорошим примером для понимания «устройства» хаотических систем. Определение.

W s W u Теорема Адамара-Перрона Теорема о локальных многообразиях (Адамара-Перрона): у гиперболической траектории существуют локальное устойчивое W s и неустойчивое W u многообразия. В сечении:

неравномерно гиперболическими Если вдоль траектории γ оценки ухудшаются, т.е. степень сжатия и растяжения в подпространствах E u и E s меняется от точки к точке, то такие множества называются неравномерно гиперболическими. системами Аносова Динамические системы с равномерной гиперболичностью всех траекторий называются системами Аносова.

Подкова Смейла

канторово множествоподкова Смейла Точки p, которые всегда остаются в S, образуют канторово множество. Это – подкова Смейла: Множество содержит циклы всевозможных периодов ; плотную траекторию; несчетное множество непериодических траекторий. ХАОСХАОС

4. Гомоклинические структуры Пусть система имеет седловой цикл с устойчивым и неустойчивым многообразиями: γ W u W s Пересечение и гомоклинической траекторией, отличное от γ, называется гомоклинической траекторией. W s W u

Трансверсальное пересечение Грубая Грубая гомоклиническая траектория Γ. W u Ψ Касание многообразий Негрубая Негрубая гомоклиническая траектория Γ 0.

Куски устойчивого и неустойчивого многообразий Сегмент гомоклинической траектории

Гомоклиническое касание

Такие траектории обладают тем свойством, что двоякоасимптотическими Поэтому гомоклинические траектории называются двоякоасимптотическими.

Из наличия одной гомоклинической траектории следует существование бесконечного их числа: В исходном пространствеВ сечении Траектория Траектория гомоклинической точки q 0.

Рождение подков Рассмотрим малую окрестность U гиперболической точки H : Действие отображения f приводит к тому, что найдутся такие m, n, что и U B S H q положительность энтропии Следствие. Наличие гомоклинической точки влечет положительность энтропии динамической системы. любой малой окрестностисуществует подкова Теорема Смейла-Биркгофа. Если диффеоморфизм имеет гиперболическую точку H и гомоклиническую точку q, то в любой малой окрестности H существует подкова.

Системы с гомоклиническими петлями негрубые. Поэтому при возмущениях петли расщепляются, что может приводить к рождению очень сложной динамики. седло-фокус* Среди динамических систем, имеющих гомоклинические структуры, важное место занимают такие, чей аттрактор содержит петлю состояния равновесия типа седло-фокус*: *Седло-фокус неисчерпаем, так же как и электрон. имеются подковы Смейла Теорема Шильникова: в полной окрестности значений парамет- ра, при котором существует петля седло-фокуса, имеются подковы Смейла.

U – окрестность точки O: W s делит U на U + и Для достаточно малого U + существует отображение Рассмотрим рождение подковы из седло-фокуса Γ.

Отображение преобразует область в «толстую спираль», т.е..

Таким образом, горизонтальные полосы на D отображают- ся на полосы, лежащие внутри двух принадлежащих S 1 спи- ралей, закручивающихся вокруг точки q:

Существует диффеоморфизм и Существует диффеоморфизм и

Таким образом, получим следующую картину: Отображение преобразует исходную полосу D в спираль D 1, которая отображается в D 2 и накладывается на D. подкова Смейла подкова Смейла

5. Дикие гиперболи- ческие множества W u W s областями Ньюхауса Системы с касаниями W s и W u плотны в пространстве динамических систем и образуют области, называемые областями Ньюхауса.

В зависимости от геометрии, в системе возможны только три различных типа гомоклинических касаний. Для каждого из них структура множества Δ траекторий в малой окрестности негрубой кривой Γ 0 может быть качественно различной. I тип -взрывом Такие диффеоморфизмы отвечают границам, отделяющим системы с простым поведением траекторий от областей с хаосом. При переходе через нее сложная динамика возникает «взрывным» образом. Такое явление называется -взрывом.

II тип все траектории, кроме самого касания, – гиперболические Множество Δ траекторий в малой окрестности негрубой кривой Γ 0 в системах такого типа имеет неравномерную гиперболическую структуру, т.е. все траектории, кроме самого касания, – гиперболические.

III тип нетривиальные гиперболические подмножества касания третьего класса существуют в окрестности любой системы с гомоклиническим касанием Множество Δ содержит нетривиальные гиперболические подмножества и, следовательно, системы такого типа обладают хаотической динамикой. При этом касания третьего класса существуют в окрестности любой системы с гомоклиническим касанием.

Этот результат поясняет следующее построение: Действие отображения f приводит к тому, что для некоторого k точка будет принадлежать w s ( H ). Тогда последова- тельные итерации приведут к пересечению с U и к рождению подковы.

При возмущении f(x,a) касания исчезают или появляются пересечения многообразий Происходит качественная перестройка: подковы исчезают если a > 0, то касания отсутствуют и подковы исчезают; подкову при a < 0 отображение имеет трансверсальную гомоклиническую точку и, как следствие, подкову. Происходит качественная перестройка: подковы исчезают если a > 0, то касания отсутствуют и подковы исчезают; подкову при a < 0 отображение имеет трансверсальную гомоклиническую точку и, как следствие, подкову.

Допустим, что устойчивое и неустойчивое многообразия имеют квадратичное касание: Допустим, что устойчивое и неустойчивое многообразия имеют квадратичное касание: диких гиперболических множеств При возмущении такой структуры наблюдаются эффекты, связанные с рождением т.н. диких гиперболических множеств – равномерно гиперболических множеств, устойчивое и неустойчивое многообразия которых имеют квадратичное касание, которое невозможно устранить посредством малых гладких возмущений.

Теореме Ньюхауса: для общих семейств диффео- морфизмов f(x,a) существуют интервалы, где плотны значения параметра a, при которых f(x,a) имеет гомоклинические касания. При касании многообразий рождаются подковы (Смейла) Канторово множество

Пусть L – кривая, проходящая через w u. На этой кривой суще- ствуют канторовы множества Если имеется точка, то она будет точкой касания многообразий. Пусть L – кривая, проходящая через w u. На этой кривой суще- ствуют канторовы множества Если имеется точка, то она будет точкой касания многообразий. Таким образом, для гиперболического инвариантного множества Λ, которое задается диффеоморфизмом f(x,a), устойчивое и неустойчивое многообразия представляют собой произведение канторова множества на отрезок.

Чтобы определить возможность пересечения, необходимо использовать метрическую характеристику канторова множества – его толщину d(K) Чтобы определить возможность пересечения, необходимо использовать метрическую характеристику канторова множества – его толщину d(K) отношение длин интервалов, которые в процессе построения выбрасываются, к длинам остающихся промежутков: 0 1 1/32/3 1/92/97/98/9

Теорема (Ньюхаус, 1970). Если – два канторо- вых множества, которые удовлетворяют неравенству, то. Теорема (Ньюхаус, 1970). Если – два канторо- вых множества, которые удовлетворяют неравенству, то. Доказательство существования касаний, которые не исчезают при возмущениях, сводится к построению канторовых множеств конечной толщины. Теорема (Ньюхаус, 1979). В пространстве гладких динами- ческих систем существуют открытые области, где плотны системы с гомоклиническими касаниями. области Ньюхауса дикими гиперболическими множествами Это – области Ньюхауса. Сами инвариантные гиперболичес- кие множества, содержащие касания, называются дикими гиперболическими множествами.

Сложность динамики систем с гомоклиническими касаниями бесконечно много устойчивых циклов В областях Нюьхауса плотны системы, имеющие бесконечно много устойчивых циклов. счетное множество седловых и абсолютно неустойчивых циклов Здесь существует счетное множество седловых и абсолютно неустойчивых циклов. счетное множество устойчивых и неустойчивых инвариантных торов, сосуществующих со счетным множест- вом седловых, устойчивых и абсолютно неустой- чивых циклов Такие системы имеют счетное множество устойчивых и неустойчивых инвариантных торов, сосуществующих со счетным множест- вом седловых, устойчивых и абсолютно неустой- чивых циклов. бесконечно много устойчивых циклов В областях Нюьхауса плотны системы, имеющие бесконечно много устойчивых циклов. счетное множество седловых и абсолютно неустойчивых циклов Здесь существует счетное множество седловых и абсолютно неустойчивых циклов. счетное множество устойчивых и неустойчивых инвариантных торов, сосуществующих со счетным множест- вом седловых, устойчивых и абсолютно неустой- чивых циклов Такие системы имеют счетное множество устойчивых и неустойчивых инвариантных торов, сосуществующих со счетным множест- вом седловых, устойчивых и абсолютно неустой- чивых циклов.

При гладких возмущениях систем с гомоклиническими касаниями могут рождаться циклы произвольно высоких порядков вырождения. Невозможность полного качественного описания моделей со сложным поведением в рамках конечно- параметрического семейства динамических систем экзотическимиявляются типичными Более того, некоторые динамические свойства, которые казались экзотическими, на самом деле являются типичными для систем с гомоклиническими касаниями. ! Негрубые гомоклинические траектории никогда не бывают изолированными.

6. Гипреболические и другие аттракторы странным Аттрактор динамической системы называется странным, если он отличен от конечного объединения (гладких) под- многообразий пространства M подчеркивается негладкая структура аттрактора: в некотором сечении он представляет собой канторово множество (фрактал).

Странные аттракторы обладают некоторой степенью гиперболичности, однако эта гиперболичность имеет иную форму, нежели равномерная гиперболичность. Такие аттракторы действительно являются сложно устроенными множествами и они не могут быть изучены посредством использования результатов гиперболической теории. счетным числом странных аттракторов подмножества систем, обладающих странными аттракторами В областях Ньюхауса могут быть плотны хаотические системы со счетным числом странных аттракторов. Более того, в окрестности семейства диффеоморфизмов, имеющего гомоклиническое касание устойчивого и неустойчивого многообразий гипреболической точки, могут существовать подмножества систем, обладающих странными аттракторами.

Обычно считается, что динамическая система обладает странным аттрактором, если в ее фазовом пространстве имеется предельное множество, состоящее из хаотичес- ких траекторий. При этом хаотичность может быть обеспечена самыми разными критериями: гомо- и гетероклиничностью, фрактальностью, наличием положительного ляпуновского показателя, непрерывностью спектра, бифуркациями удвоения периода и т.п. Понятие «странный аттрактор» имеет собирательный смысл Таким образом, этот термин является скорее парадигмой, чем характеристикой какого-то математического объекта. Таким образом, этот термин является скорее парадигмой, чем характеристикой какого-то математического объекта.

гиперболическим аттрактором Множество Λ называется гиперболическим аттрактором динамической системы, если Λ – замкнутое топологически транзитивное гиперболическое множество и существует такая окрестность, что. Структурно устойчивое (грубое) множество Гиперболический аттрактор Смейла-Вильямса

Гиперболический аттрактор Плыкина негрубое Аттрактор Лоренца не относится к гиперболическому типу. Это негрубое множество. Аттрактор Лоренца является стохастическим.

не Адекватным математическим образом наблюдаемого разви- того хаотического поведения физической системы может слу- жить предложенный Я.Г.Синаем стохастический аттра- ктор. При этом, однако, определение «стохастический» не ассоциируется с наличием в системе внешних случайных возмущений. Этот термин связывается с существованием инвариантной меры. не Адекватным математическим образом наблюдаемого разви- того хаотического поведения физической системы может слу- жить предложенный Я.Г.Синаем стохастический аттра- ктор. При этом, однако, определение «стохастический» не ассоциируется с наличием в системе внешних случайных возмущений. Этот термин связывается с существованием инвариантной меры. стохастическим Аттрактор динамической системы называется стохастическим, если динамическая система обладает перемешиванием. квазистохастическому типу квазиаттракторамисодержат бесконечное множество устойчивых периодических траекто- рий Однако большинство хаотических аттракторов принадлежит к квазистохастическому типу (т.е. они являются так называе- мыми квазиаттракторами). Такие аттракторы содержат бесконечное множество устойчивых периодических траекто- рий. Примеры: аттракторы Рёслера, Чуа и др. в системах ОДУ

7. Приложения Бильярды – неравномерно гиперболические системы:

Система Дуффинга. В такой системе существуют подковы Смейла.

Небесная механика. Здесь тоже существуют подковы Смейла.

Нелинейный маятник. Здесь наблюдаются гомо- и гетероклинические структуры. фазовое пространство

Основные достижения теории хаотических динамических систем: простые системы могут проявлять случайные свойства доказано, что даже очень простые системы могут проявлять случайные свойства; обосновании эргодический гипотезы Больцмана достигнут значительный прогресс в понимании происхождения случайности в газе твердых сфер и, как следствие, в обосновании эргодический гипотезы Больцмана; решить проблему возникновения необратимости удалось частично решить проблему возникновения необратимости в обратимых детерминированных уравнениях движения; универсальными путями хаос рождается универсальными путями, независимо от природы системы; отличить случайное поведение систем от детерминированного хаоса случайность может быть обусловлена как внутренними свойствами, так и внешними факторами. При этом всегда можно отличить случайное поведение систем от детерминированного хаоса. Основные достижения теории хаотических динамических систем: простые системы могут проявлять случайные свойства доказано, что даже очень простые системы могут проявлять случайные свойства; обосновании эргодический гипотезы Больцмана достигнут значительный прогресс в понимании происхождения случайности в газе твердых сфер и, как следствие, в обосновании эргодический гипотезы Больцмана; решить проблему возникновения необратимости удалось частично решить проблему возникновения необратимости в обратимых детерминированных уравнениях движения; универсальными путями хаос рождается универсальными путями, независимо от природы системы; отличить случайное поведение систем от детерминированного хаоса случайность может быть обусловлена как внутренними свойствами, так и внешними факторами. При этом всегда можно отличить случайное поведение систем от детерминированного хаоса. область исследования, в которой будут открыты новые гармонии Наконец, нельзя не сказать и об эстетической стороне результатов теории хаоса. Как заметил Д.Рюэль, это область исследования, в которой будут открыты новые гармонии.