Уравнения математической физики курс лекций Составитель: профессор. кандидат физ-мат наук Водонаева В.К. Дизайн: Бабаев С.К. ( VBproffi ) Куйбышев, 2005 Завершить показ К плану Справка Составитель: ст. преподаватель Бабаева Ф.А.

Справка Справка данное учебное пособие разработано с целью повышения результативности при изучении уравнений математической физики. При изложении материалов авторы (проф. кандидат физ – мат наук В.К. Водонаева, ст. преподаватель Ф.А. Бабаева ) использовали свой многолетний опыт преподавания математических дисциплин. Цель: при проектировании этого пособия было решено уделить равное внимание как самому дизайну, так и навигации по пособию. Именно с этой целью были созданы – ссылки, при использовании которых вы можете переместиться в тот или иной раздел. В самом начале вы можете закончить работу, нажав одноимённую кнопку в левом углу. Если вы желаете продолжить изучение, то следует нажать на кнопку К плану, которая немедленно отобразит план изучения, минуя справочный материал. План представляет из себя меню, в котором вы можете выбрать ту или иную интересующую Вас тему, или же провести обучение по порядку установленному авторами. Назад Инструкции: Вперёд

Рабочий план ВВВВ ыыыы вввв оооо дддд у у у у рррр аааа вввв нннн ееее нннн ииии яяяя м м м м аааа лллл ыыыы хххх п п п п оооо пппп ееее рррр ееее чччч нннн ыыыы хххх к к к к оооо лллл ееее бббб аааа нннн ииии йййй м м м м ееее мммм бббб рррр аааа нннн ыыыы 1 2 Далее Меню ММММ ееее тттт оооо дддд Д Д аааа лллл аааа мммм бббб ееее рррр аааа п п оооо сссс тттт рррр оооо ееее нннн ииии яяяя р р р р ееее шшшш ееее нннн ииии яяяя з з з з аааа дддд аааа чччч ииии К К К К оооо шшшш ииии д д д д лллл яяяя уууу рррр аааа вввв нннн ееее нннн ииии яяяя к к к к оооо лллл ееее бббб аааа нннн ииии яяяя б б б б ееее сссс кккк оооо нннн ееее чччч нннн оооо йййй с с с с тттт рррр уууу нннн ыыыы уравнения математической физики

§ 4. Вывод уравнения малых поперечных колебаний мембраны § 4. Вывод уравнения малых поперечных колебаний мембраны Далее Назад 1 Возьмем на поверхности мембраны элемент площади, который проектируется на плоскость в некоторую область, где. Пусть область- прямоугольник, где ( рис. 2).

§ 4. Вывод уравнения малых поперечных колебаний мембраны Далее Назад 2 Обозначим через силу натяжения, которая действует на этот элемент мембраны, тогда. Учитывая, что в рассматриваемом случае перемещение вдоль осей координат отсутствует, получим, что проекции силы натяжения на эти оси равны нулю:

§ 4. Вывод уравнения малых поперечных колебаний мембраны § 4. Вывод уравнения малых поперечных колебаний мембраны Далее Назад 3 По теореме о среднем и при учете произвольности выбранной площадки имеем:т.е. натяжение не меняется при изменении и, оно может зависеть только от Площадь некоторого элемента мембраны, проектирующегося на плоскостьв областьс границей и площадью, в рассматриваемом нами случае в момент времени можно записать в виде поверхностного интеграла А это значит, что при колебании мембраны не происходит ее растяжение, откуда по закону Гука следует независимость натяжений от времени

§ 4. Вывод уравнения малых поперечных колебаний мембраны § 4. Вывод уравнения малых поперечных колебаний мембраны Далее Назад 4 Итак, мы получили, что натяжение не зависит от переменныхт. е. Изменение количества движения приравняем импульсу вертикальных составляющих сил натяжения и внешних действующих сил с плотностью, в результате получим интегральное уравнение колебаний мембраны или, учитывая, что, получим (13)

§ 4. Вывод уравнения малых поперечных колебаний мембраны Далее Назад 5 гдеповерхностная плотность мембраны, плотность внешней силы на единицу площади.Предположим, что функция имеет непрерывные частные производные второго порядка по своим аргументам, тогда по формуле Гаусса - Остроградского криволинейный интеграл запишется в виде (14) Учитывая соотношение (14), интегральное уравнение (13) можно записать следующим образом:

§ 4. Вывод уравнения малых поперечных колебаний мембраны Далее Назад 6 или перенося все интегралы в левую часть последнего равенства и учитывая свойство интеграла, получим откуда имеем а это значит, что или (15) Если мембрана однородная, т. е., то уравнение колебаний мембраны (14)

§ 4. Вывод уравнения малых поперечных колебаний мембраны Далее Назад 7 примет вид(16) гдеплотность силы, отнесенной к единице массы мембраны, Если внешняя возмущающая сила отсутствует или мала настолько, что ею можно пренебречь, то получим уравнение свободных колебаний мембраны (17)

§ 5. Метод Даламбера построения решения задачи Коши для уравнения колебания бесконечной струны § 5. Метод Даламбера построения решения задачи Коши для уравнения колебания бесконечной струны Далее Назад 8 При изучении колебаний очень длинной струны говорят, что рассматриваются колебания неограниченной струны, возникающие где-то в ее середине. В этом случае концы струны уже не оказывают влияние на колебания струны, поэтому граничные условия можно исключить при решении задачи о свободных колебаниях неограниченной струны. Рассмотрим метод Даламбера построения решения краевых задач для уравнений гиперболического типа. Пусть дано уравнение колебания неограниченной струны (18) при начальных условиях(19) где

§ 5. Метод Даламбера построения решения задачи Коши для уравнения колебания бесконечной струны § 5. Метод Даламбера построения решения задачи Коши для уравнения колебания бесконечной струны Далее Назад 9 и- заданные достаточно гладкие функции. Данная задача называется задачей Коши или задачей с начальными условиями. Уравнение (18) запишем в виде (20) и приведем его к каноническому виду. Учитывая, чтонайдем следовательно, уравнение (18) является уравнением гиперболического типа. Составим уравнение характеристик (21)

§ 5. Метод Даламбера построения решения задачи Коши для уравнения колебания бесконечной струны Далее Назад 10 Из уравнения (21) по формуле, имеем или два уравнения: т. е. получим дифференциальные уравнения с разделенными переменными (22) Интегрируя уравнения (22), получим два семейства характеристик уравнения (18) (23) Введем новые переменные (24)

§ 5. Метод Даламбера построения решения задачи Коши для уравнения колебания бесконечной струны Далее Назад 11 Частные производные второго порядка, входящие в данное уравнение (18), вычислим по полученным выше формулам: куда подставим частные производные первого и второго порядков по переменным Тогда получим которые подставим в уравнение (18) и получим каноническое уравнение или(25)

§ 5. Метод Даламбера построения решения задачи Коши для уравнения колебания бесконечной струны Далее Назад 12 Проинтегрируем уравнение (25), записав его в виде, тогда или(26) гдепроизвольная непрерывная функция от Проинтегрируем уравнение (26) по, где произвольная непрерывнаяфункция от, тогда получим (27) где Подставим в уравнение (27) значенияисоотношений (24) и получим общее решение данного уравнения (18) (28)

§ 5. Метод Даламбера построения решения задачи Коши для уравнения колебания бесконечной струны Далее Назад 13 Найдем функции так, чтобы функция удовлетворяла начальным условиям (19), т. е. с учетом (28) имеем или (29) (30) где при нахождении производной по переменнойот функции имеем

§ 5. Метод Даламбера построения решения задачи Коши для уравнения колебания бесконечной струны Далее Назад 14 откуда Рассмотрим уравнение (30), которое можно переписать следующим образом Разделив наобе части последнего уравнения, получим соотношение (31) которое справедливо при любом значении Проинтегрируем уравнение (31) по переменнойв границах от нуля до, тогдаили

§ 5. Метод Даламбера построения решения задачи Коши для уравнения колебания бесконечной струны Далее Назад 15, если ввести обозначение: то получим где С - постоянная.(32) Решим совместно уравнения (29) и (32), т. е. складывая и вычитая эти уравнения, получим, откуда найдем

§ 5. Метод Даламбера построения решения задачи Коши для уравнения колебания бесконечной струны Далее Назад 16 (33) (34) Заметим, что соотношения (33) и (34) имеют место при любом вещественном значении, тогда они справедливы и при вещественных значенияхи, которые можно подставить в уравнения (33) и (34) вместо x и получить (35) (36)

§ 5. Метод Даламбера построения решения задачи Коши для уравнения колебания бесконечной струны Далее Назад 17 Найденные значения ииз (35) и (36) подставим в общее решение (28) и получим решение задачи Коши для уравнения (18) при начальных условиях (19), т. е. (37) Полученное соотношение (37) называют формулой Даламбера. Пример 1. Найдите решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям Решение. Приведем данное уравнение к каноническому виду. Учитывая, чтонайдем следовательно, данное уравнение является уравнением гиперболического типа. Составим уравнение характеристик

§ 5. Метод Даламбера построения решения задачи Коши для уравнения колебания бесконечной струны Далее Назад 18 или откуда получим Проинтегрируем полученные уравнения и получим два семейства характеристик:и Сделаем замену переменных, положив, тогда,

§ 5. Метод Даламбера построения решения задачи Коши для уравнения колебания бесконечной струны Далее Назад 19 Подставим полученные значения частных производных искомой функции в новых переменных в заданное уравнение После приведения подобных членов, получим или, которое проинтегрируем по или гдепроизвольная непрерывная функция от, тогда получим

§ 5. Метод Даламбера построения решения задачи Коши для уравнения колебания бесконечной струны Далее Назад 20 гдеПодставим в полученную искомую функцию значенияииз соотношений: получим общее решение данного уравнения Найдем функциитак, чтобы функция удовлетворяла начальным условиям: По формуле Даламбера для данных начальных условий имеем, где т. к. из данного уравнения с учетом канонического уравнения имеем

§ 5. Метод Даламбера построения решения задачи Коши для уравнения колебания бесконечной струны Далее Назад 21 или Тогда