Транспортная задача частный случай задачи линейного программирования

Построить экономико-математическую модель следующей задачи: Имеются 3 поставщика и 4 потребителя. Мощность поставщиков и спросы потребителей, а также затраты на перевозку единицы груза для каждой пары «поставщик – потребитель» сведены в таблицу поставок. В каждой клетке стоит коэффициент затрат – затраты на перевозку единицы груза от соответствующего поставщика к соответствующему потребителю.

Транспортная задача Поставщики Мощность поставщико в Потребители и их спрос х 11 2 х 12 5 х 13 3 х х 21 6 х 22 5 х 23 2 х х 31 3 х 32 7 х 33 4 х 34

Транспортная задача Найти объем перевозок для каждой пары «поставщик – потребитель» так, чтобы: мощность всех поставщиков были реализованы; спросы всех потребителей удовлетворены; суммарные затраты на перевозку были минимальными.

Экономико-математическая модель задачи f(х) = 1x 11 +2x 12 +5x 13 +…+7x 33 +4x 34 min

Особенности экономико-математической модели транспортной задачи Система ограничений есть система уравнений, то есть транспортная задача задана в канонической форме. Коэффициенты при переменных системы ограничений равны 1 или 0. Каждая переменная входит в систему ограничений 2 раза.

Два метода нахождения первоначального распределения поставок (опорного плана) Метод северо-западного угла Метод минимальной стоимости (или метод наименьших затрат)

Важно помнить Обязательно вычеркивается только один: или поставщик, или потребитель. Если на очередном шаге решения задачи совпали потребность покупателя и мощность поставщика, то одного (любого) вычеркиваем, а у второго пишем в остатке 0. На следующем шаге решения перевозим 0, тогда эта клетка участвует в плане перевозок. Если этого не сделать, то в плане будет недостаточно клеток, чтобы заполнить таблицу потенциалов.

Алгоритм а) Вписываем в таблицу стоимости перевозок, соответствующих опорному плану; б) Задаем произвольно один из потенциалов и вычисляем остальные, учитывая, что сумма потенциалов равна стоимости перевозки; в) Вычисляем косвенные стоимости (суммируем соответствующие потенциалы и заполняем свободные клетки таблицы), помечаем косвенные стоимости штрихом; г) Находим разницу между стоимостью, заданной в задаче, и косвенной стоимостью;

Алгоритм д) Выберем максимальную отрицательную разность и введем ее в опорный план, то есть увеличивая ее значение на какую-то величину, тогда значение другой переменной должно уменьшиться на эту же величину и так далее, замыкаем цикл. (Этот процесс называется цикл пересчета). е) Если отрицательных значений нет, значит найденный опорный план является оптимальным. ж) Определяем максимальную величину, на которую может быть увеличена клетка, вводимая в опорный план, так чтобы количество перевозки не стало отрицательным.

Важно помнить На каждом шаге решения задачи одна перевозка входит в опорный план и одна выходит из него. Количество клеток, участвующих в плане перевозок, в ходе решения задачи не меняется. Если получается две клетки с одинаковыми минимальными значениями, помеченными знаком «–», то одна выходит из опорного плана, а во второй (в любой) остается 0, то есть клетка участвует в плане перевозок

Важно помнить Метод потенциалов позволяет решать только сбалансированные задачи, то есть задачи, в которых суммарная мощность поставщиков равна суммарному спросу потребителей. На практике такая ситуация встречается редко, поэтому любую транспортную задачу можно привести к сбалансированной.

Задача на недостаток Если в транспортной задаче суммарная мощность поставщиков меньше суммарного спроса потребителей, то такая задача называется задачей на недостаток. Для ее решения необходимо ввести фиктивного поставщика, стоимости перевозок которого будут равны нулю, а мощность равна разности суммарного спроса потребителей и суммарной мощности действительных поставщиков, то есть размеру недостатка.

Задача на избыток Если в транспортной задаче суммарный спрос потребителей меньше суммарной мощности поставщиков, то такая задача называется задачей на избыток. Для ее решения необходимо ввести фиктивного потребителя, стоимости перевозок которого будут равны нулю, а мощность равна разности суммарной мощности поставщиков и суммарного спроса действительных потребителей, то есть размеру избытка.

Когда задача решена, цифры в строке фиктивного поставщика показывают, какое количество продукции, кто из потребителей не получит, так как задача была на недостаток. Когда задача решена, цифры в строке фиктивного потребителя показывают, какое количество продукции, у кого из поставщиков останется, так как задача была на избыток.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ! к.т.н., доц. Калашникова Т.В.