Руководитель – Левченко Светлана Петровна, учитель математики

1.Познакомиться с Платоновыми телами и узнать их историю. 2. Изучить свойства Платоновых тел. 3.Изучить свойства икосаэдра и додекаэдра. 4. Исследовать практическую значимость свойств икосаэдра и додекаэдра. 5. Исследовать, где встречается икосаэдр в природе.

Геометрия как теоретическая наука стала складываться в Древней Греции в период с VII по III век до нашей эры. Известно, правда, и более ранние сведения о геометрии, в частности о многогранниках, но это были отдельные разрозненные факты. Многогранники были известны в Древнем Египте и Вавилоне. Достаточно вспомнить знаменитые египетские пирамиды.

Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности - от двухлетнего ребенка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика.

Что такое многогранник? МНОГОГРАННИК - часть пространства, ограниченная совокупностью конечного числа плоских многоугольников, соединенных таким образом, что каждая сторона любого многоугольника является стороной ровно одного другого многоугольника, причем вокруг каждой вершины существует ровно один цикл многоугольников. Названия многогранников имеют древнегреческое происхождение, в них зашифровано число граней. «Эдра» - грань, «тетра» - четыре, «гекса» - шесть, «окта» - восемь, «додека» - двенадцать, «икоса» - двадцать

Правильным называется такой многогранник, все грани которого равны (или конгруэнтны) между собой и при этом являются правильными многоугольниками. Существует только пять выпуклых правильных многогранников, причём их гранями могут быть только три типа правильных многоугольников: треугольники, квадраты и пентагоны (правильные пятиугольники). В «Началах Евклида» дано строгое тому доказательство.

Эти многогранники принято называть Платоновыми телами, названными так в честь древнегреческого философа Платона, который использовал их в своей космологии. тетраэдр октаэдр икосаэдр куб додекаэдр

Многогранники в философииогоньтетраэдр водаикосаэдр воздухоктаэдр землягексаэдр Вселеннаядодекаэдр Платон Рассмотренные выше правильные многогранники получили название Платоновых тел, так как они занимали важное место в философской концепции Платона об устройстве мироздания.

Четыре многогранника олицетворяли в ней четыре сущности или «стихии». Тетраэдр символизировал Огонь, так как его вершина устремлена вверх; Икосаэдр Воду, так как он самый «обтекаемый» многогранник; Куб Землю, как самый «устойчивый» многогранник; Октаэдр Воздух, как самый «воздушный» многогранник. Пятый многогранник, Додекаэдр, воплощал в себе «все сущее», «Вселенский разум», символизировал все мироздание и считался главной геометрической фигурой мироздания. Таким образом, представление о «сквозной» гармонии бытия древние греки связывали с ее воплощением в Платоновых телах. Влияние знаменитого греческого мыслителя Платона сказалось и на Началах Евклида. Интересно, что они («Начала») начинаются описанием построения правильного треугольника и заканчиваются изучением пяти Платоновых тел. Заметим, что Платоновым телам посвящена заключительная, то есть, 13-я книга Начал Евклида.

Кстати, этот факт, то есть размещение теории правильных многогранников в заключительной книге Начал Евклида, дал основание древнегреческому математику Проклу, который был комментатором Евклида, выдвинуть интересную гипотезу об истинных целях, которые преследовал Евклид, создавая свои Начала. Согласно Проклу, Евклид создавал их не с целью изложения геометрии как таковой, а чтобы дать полную систематизированную теорию построения «идеальных» фигур, в частности пяти Платоновых тел, попутно осветив некоторые новейшие достижения математики!

Простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника. У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер. В тетраэдре три равносторонних треугольника встречаются в одной вершине; при этом их основания образуют новый равносторонний треугольник. Тетраэдр имеет наименьшее число граней среди Платоновых тел и является трехмерным аналогом плоского правильного треугольника, который имеет наименьшее число сторон среди правильных многоугольников. Мы начнем наше рассмотрение с правильных многогранников, гранями которых являются равносторонние треугольники.

Октаэдр имеет 8 треугольных граней, 12 рёбер, 6 вершин, в каждой его вершине сходятся 4 ребра. В октаэдре в одной вершине встречаются четыре треугольника; в результате получается пирамида с четырехугольным основанием. Если соединить две такие пирамиды основаниями, то получится симметричное тело с восемью треугольными гранями – октаэдр. Следующее тело, которое образуется равносторонними треугольниками, называется октаэдром

Теперь можно попробовать соединить в одной точке пять равносторонних треугольников. В результате при дальнейшем соединении треугольников получится фигура с 20 треугольными гранями – икосаэдр Равносторонний треугольник. Число ребер равно 30, число вершин 12. Икосаэдр имеет 59 звёздчатых форм.

Если соединить три квадрата в одной точке и затем добавить еще три, мы получим совершенную форму с шестью гранями, называемую гексаэдром или кубом Частный случай параллелепипеда и призмы.

Двенадцатигранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней, 30 рёбер и 20 вершин. Сумма плоских углов при каждой из 20 вершин равна 324°.

Существуют удивительные геометрические связи между всеми правильными многогранниками. Так, например, куб и октаэдр дуальны, т.е. получаются друг из друга, если центры тяжести граней одного принять за вершины другого и обратно. Аналогично дуальны икосаэдр и додекаэдр. Тетраэдр дуален сам себе. Додекаэдр получается из куба построением «крыш» на его гранях (способ Евклида), вершинами тетраэдра являются любые четыре вершины куба, попарно не смежные по ребру, то есть из куба могут быть получены все остальные правильные многогранники. Сам факт существования всего пяти действительно правильных многогранников удивителен ведь правильных многоугольников на плоскости бесконечно много!

Числовые характеристики Платоновых тел Основными числовыми характеристиками Платоновых тел является число сторон грани m, число граней, сходящихся в каждой вершине, число граней Г, число вершин В, число ребер Р и число плоских углов У на поверхности многогранника. Эйлер открыл и доказал знаменитую формулу: В Р + Г = 2. Эта формула связывает числа вершин, ребер и граней любого выпуклого многогранника. Формула Эйлера

Числовые характеристики Платоновых тел приведены в следующей таблице: Многог ранник Число сторон грани, m Число граней, сходящихся в вершине, n Число граней (Г) Число вершин (В) Число ребер (Р) Число плоских углов на поверхности (У) Тетраэдр Гексаэдр (куб) Октаэдр Икосаэд р Додекаэ др

Икосаэдр и двойственный ему додекаэдр (Рис. 4, 6) занимают особое место среди Платоновых тел. Прежде всего, необходимо подчеркнуть, что геометрия икосаэдра и додекаэдра непосредственно связана с золотой пропорцией. Действительно, гранями додекаэдра являются пентагоны, т.е. правильные пятиугольники, основанные на золотой пропорции. Если внимательно посмотреть на икосаэдр, то можно увидеть, что в каждой его вершине сходится пять треугольников, внешние стороны которых образуют пентагон. Золотая пропорция в икосаэдре и додекаэдре

Существуют глубокие математические подтверждения фундаментальной роли, которую играет золотая пропорция в икосаэдре и додекаэдре. Известно, что эти тела имеют три специфические сферы. Первая (внутренняя) сфера вписана в тело и касается его граней. Обозначим радиус этой внутренней сферы через R i. Вторая или средняя сфера касается его ребер. Обозначим радиус этой сферы через R m. Наконец, третья (внешняя) сфера описана вокруг тела и проходит через его вершины. Обозначим ее радиус через R c. Значения радиусов этих сфер для додекаэдра и икосаэдра, имеющих ребро единичной длины, выражается через золотую пропорцию: RcRc RmRm RiRi Икосаэдр Додекаэдр

Заметим, что отношение радиусов = одинаково как для икосаэдра, так и для додекаэдра. Таким образом, если додекаэдр и икосаэдр имеют одинаковые вписанные сферы, то их описанные сферы также равны между собой. Известны и другие соотношения для икосаэдра и додекаэдра, подтверждающие их связь с золотой пропорцией. Например, если взять икосаэдр и додекаэдр с длиной ребра, равной единице, и вычислить их внешнюю площадь и объем, то они выражаются через золотую пропорцию: ИкосаэдрДодекаэдр Внешняя площадь Объем

Существует много данных о сравнении структур и процессов Земли с правильными многогранниками. Полагают, что четырем геологическим эрам Земли соответствуют четыре силовых каркаса правильных Платоновских тел: Протозою - тетраэдр (четыре плиты), Палеозою - гексаэдр (шесть плит), Мезозою - октаэдр (восемь плит), Кайнозою - додекаэдр (двенадцать плит). Икосаэдро-додекаэдровая теория строения Земли

Существует гипотеза, по которой ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. «Лучи» этого кристалла, а точнее его силовое поле, обусловливают икосаэдро-додекаэдрическую структуру Земли, проявляющуюся в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра. 62 их вершины и середины ребер, называемые узлами, оказывается, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить многие непонятные явления. Если нанести на глобус очаги наиболее крупных и примечательных культур и цивилизаций Древнего мира, можно заметить закономерность в их расположении относительно географических полюсов и экватора планеты. Еще более удивительные вещи происходят в местах пересечения этих ребер: тут располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие.

В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана, здесь шотландское озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой красивой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место. В. Макаров и В. Морозов потратили десятилетия на исследование данного вопроса. Они пришли к выводу, что развитие Земли шло поэтапно, и в настоящее время процессы, происходящие на поверхности Земли, привели к появлению залежей с икосаэдро-додекаэдровым узором. Еще в 1929 году С.Н. Кислицин в своих работах сопоставлял структуру додекаэдра-икосаэдра с залежами нефти и алмазов. В. Макаров и В. Морозов утверждают, что в настоящее время процессы жизнедеятельности Земли имеют структуру додекаэдра-икосаэдра. Двадцать районов планеты (вершины додекаэдра) - центры поясов выходящего вещества, основывающего биологическую жизнь (флора, фауна, человек). Центры всех магнитных аномалий и магнитного поля планеты расположены в узлах системы треугольников. К тому же согласно исследованиям авторов, в настоящую эпоху все ближайшие небесные тела свои процессы располагают согласно додекаэдро-икосаэдровой системе, что замечено у Марса, Венеры, Солнца. Аналогичные энергетические каркасы присущи всем элементам Космоса (Галактики, звезды и т. д.). Нечто похожее наблюдается и в микроструктурах.

Феодарии Скелет одноклеточного организма феодарии (Circogonia icosahedra) по форме напоминает икосаэдр. Скорее всего, такая природная геометризация феодарий вызвана уникальной формой этого многогранника (напоминаем, что он имеет наибольший объём при наименьшей площади), помогающей морскому организму преодолевать давление водной толщи: большинство феодарий живут на морской глубине и служат добычей коралловых рыбок. Но простейшее животное защищает себя двенадцатью иглами, выходящими из 12 вершин скелета. Он больше похоже на звёздчатый многогранник.

Вирусы Исключительностью икосаэдра среди Платоновых тел воспользовались вирусы. По-видимому, тут все дело в экономии экономии генетической информации. Вы можете спросить: а почему обязательно правильный многогранник? И почему именно икосаэдр? Вирусная частица должна весь обмен клетки-хозяина перевернуть вверх дном; она должна заставить зараженную клетку синтезировать многочисленные ферменты и другие молекулы, необходимые для синтеза новых вирусных частиц. Все эти ферменты должны быть закодированы в вирусной нуклеиновой кислоте. Но количество ее ограничено. Поэтому для кодирования белков собственной оболочки в нуклеиновой кислоте вируса оставлено совсем мало места. Что же делает вирус? Он просто использует много раз один и тот же участок нуклеиновой кислоты для синтеза большого числа стандартных молекул строительных белков, объединяющихся в процессе автосборки вирусной частицы. В результате достигается максимальная экономия генетической информации.

Остается добавить, что по законам математики для построения наиболее экономичным способом замкнутой оболочки из одинаковых элементов нужно сложить из них икосаэдр, который мы наблюдаем у вирусов. Так «решают» вирусы сложнейшую (ее называют «изопиранной») задачу: найти тело наименьшей поверхности при заданном объеме и притом состоящее из одинаковых и тоже простейших фигур. Вирусы, мельчайшие из организмов, настолько простые, что до сих пор неясно относить их к живой или неживой природе, эти самые вирусы справились с геометрической проблемой, потребовавшей у людей более двух тысячелетий! Все так называемые «сферические вирусы», в том числе такой страшный, как вирус полиомиелита, представляют собой икосаэдры, а не сферы, как думали раньше. Вирусы, построенные только из нуклеиновой кислоты и белка, могут походить на жесткую палочкообразную или гибкую нитевидную спираль, точнее на правильный двадцатигранник, или икосаэдр. Вирусы

Фуллерены В 1985 году было сделано одно из выдающихся открытий в области химии. Речь идет о так называемых «фуллеренах». Термином «фуллерены» называют замкнутые молекулы типа С 60, С 70, С 76, С 84, в которых все атомы углерода находятся на сферической или сфероидальной поверхности. В этих молекулах атомы углерода расположены в вершинах правильных шестиугольников или пятиугольников, которые покрывают поверхность сферы или сфероида. Центральное место среди фуллеренов занимает молекула С 60, которая характеризуется наибольшей симметрией и как следствие наибольшей стабильностью. Молекула фуллерена С 60 - усеченный икосаэдр с атомами углерода в вершинах. Он имеет 32 грани (12 пятиугольных и 20 шестиугольных), 60 вершин и 90 ребер (60 на границе пяти- и шестиугольников и 30 на границе только шестиугольников). Направляющие ребра такого многогранника образуют некоторое подобие мозаики Пенроуза.

В этой молекуле, напоминающей покрышку футбольного мяча и имеющую структуру правильного усеченного икосаэдра, атомы углерода располагаются на сферической поверхности в вершинах 20 правильных шестиугольников и 12 правильных пятиугольников так, что каждый шестиугольник граничит с тремя шестиугольниками и тремя пятиугольниками, а каждый пятиугольник граничит с шестиугольниками. Термин «фуллерен» берет свое начало от имени американского архитектора Бакминстера Фуллера, который, оказывается, использовал такие структуры при конструировании куполов зданий.

Кристаллы – природные многогранники Все камни состоят из кристаллов. Многие кристаллы имеют удивительно красивые формы многогранников, многие из которых придумал не человек, а природа. И создала она их в виде кристаллов.

Есть среди них скромные кристаллы каменной соли природного хлористого натрия, т. е. обычной поваренной соли. Они встречаются в природе в виде прямоугольных параллелепипедов или кубиков. Простая форма и у кристаллов кальцита - прозрачных косоугольных параллелепипедов. Куда сложнее кристаллы кварца. У каждого кристаллика множество граней разной формы, пересекающихся по рёбрам разной длины. Кристалл кальцита

Симметрия многогранников Химия Правильные многогранники – самые выгодные фигуры. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Взять хотя бы поваренную соль, без которой мы не можем обойтись. Кристаллы поваренной соли ( NaCl ) имеют форму куба.

Кристаллы бора имеют форму икосаэдра

Октаэдр в природе: кристаллы в форме октаэдра Алмаз Алюминиево-калиевые квасцыЗолото

Флюорит Перовскит ОливинМедный купорос Октаэдр в природе: кристаллы в форме октаэдра

В результате выполненной работы мы познакомились с интереснейшим, красивейшим, загадочным миром многогранников. Можно, конечно спросить: «Какая от них польза?». На что позволительно ответить: «А разве все красивое полезно?». В очередной раз мы убедились, что математика – наука, вовсе не оторванная от реального мира. Заключение

1.Венниджер «Модели многогранников» 2.И. М. Смирнова «Геометрия. Учебное пособие для классов гуманитарного профиля». Москва «Просвещение», А.И. Азевич «Двадцать уроков гармонии. Гуманитарно- математический курс». Москва, «Школа-пресс», Е.С. Смирнова, Н.А. Леонидова «Математическое путешествие в мир гармонии» (устный журнал). Москва, «Школа-Пресс». 5.Журнал «Математика в школе» 3, Энциклопедия для детей «Математика». Том11, «Аванта+», Я.И. Перельман «Занимательная геометрия», «Астрель», А.В. Волошинов «Математика и искусство», Москва, «Просвещение», Л.М. Лоповок «Математика на досуге». «Просвещение», Список литературы