Последствия ошибок в спецификации моделей Замещающие переменные

Последствия ошибок спецификации модели Возможные ошибки спецификации модели: 1. Неправильный выбор вида уравнения регрессии 2. В уравнение регрессии включена лишняя (незначимая) переменная 3. В уравнении регрессии пропущена значимая переменная

Последствия ошибок спецификации модели 1.Неправильный выбор вида функции в уравнении Пусть на первом этапе была сделана спецификация модели в виде: (1.1) в которой функция f F (x,a 0,a 1 ) выбрана не верно Предположим, что y T =f T (x,a 0,a 1 ) – правильный вид функции регрессии Тогда справедливо выражение: (1.2)

Последствия ошибок спецификации модели Из выражения (1.2) следует: (1,3) Иными словами, математические ожидания эндогенной переменной, полученные с помощью функций f T и f F не совпадают, т.е. первая предпосылка теоремы Гаусса- Маркова M(ulx)=0 не выполняется Следовательно, в результате оценивания такой модели параметры а 0 и а 1 будут смещенными

Последствия ошибок спецификации модели Симптомы наличия ошибки спецификации первого типа: 1. Несоответствие диаграммы рассеяния, построенной по имеющейся выборке виду функции, принятой в спецификации 2. В динамических моделях длительно сохраняется знак у смежных (по номеру t уравнений наблюдений) значений оценок случайных возмущений Именно этот симптом и улавливается статистикой DW Дарбина–Уотсона! В силу данного обстоятельства тесту Дарбина– Уотсона в эконометрике придается большое значение.

Пример исправления ошибки первого типа Задача. Построить модель относительной стоимости подержанных автомобилей фирмы Ситроен Прода- жа p%p% Кол- тво лет Прода- жа p%p% Кол- во лет Прода- жа p%p% Кол- во лет

Пример исправления ошибки первого типа 1. Линейная модель2. Нелинейная модель

Последствия ошибок спецификации модели 2. В уравнение регрессии включена лишняя переменная Пусть на этапе спецификации в модель включена «лишняя» переменная, например, X 2 (2.1) «Правильная» спецификация должна иметь вид: (2.2)

Последствия ошибок спецификации модели Последствия: 1. Оценки параметров а 0, а 1, а 2 останутся несмещенными, но потеряют свою эффективность (точность) 2. Увеличивается ошибка прогноза по модели как за счет ошибок оценок коэффициентов и σ u, так и за счет последнего слагаемого Это особенно опасно при больших абсолютных значениях регрессора

Последствия ошибок спецификации модели Диагностика: В моделях множественной регрессии необходимо для каждого коэффициента уравнения проверять статистическую гипотезу H 0 : a i =0 Вспомним, что для этого достаточно оценить дробь Стьюдента и сравнить ее значение с критическим значением распределения Стьюдента, которое вычисляется по значению доверительной вероятности и значению степени свободы 2 = n – (k+1)

Последствия ошибок спецификации модели 3. В модели не достает важной переменной Последствия такие же, как и в первом случае: получаем смещенные оценки параметров модели. Для устранения необходимо вернуться к изучению особенностей поведения экономического объекта, выявить опущенные переменные и дополнить ими модель Вот тут и возникают неприятности!

Замещающие переменные Проблемы в использовании переменных: 1. Не возможно получение данных по переменной 2. Не возможно измерить количественно переменную Такие ситуации характерны для переменных социально-экономического характера (качество образования и т.п.) Выход из ситуации – подбор переменной заместителя

Замещающие переменные Определение. Переменные, которые вводятся в эконометрические модели вместо тех переменных, которые не поддаются измерению, называются замещающими. Требование. Замещающая переменная должна коррелировать с переменной, которую она замещает. Если Cor(x,x pr )=1, то x pr – называют совершенным регрессором В качестве замещающей переменной часто используется время и лаговые переменные

Замещающие переменные Пример. Рассмотрим модель связывающую расходы потребителей на питание (y) с личным располагаемым доходом (х) и относительной ценой продовольствия (р) (4.1) Предположим, что нет доступа к данным о располагаемом личном доходе (х) Если эту переменную не учитывать, то оценки оставшихся параметров будут смещенными, а соответствующие тесты не корректны Предположим, что log(x) имеет временной тренд

Замещающие переменные Тогда уравнение (4.1) можно записать в виде: Регрес соры Оценки коэффициентов R2R2R2R2 b1b1b1b1 b2b2b2b2 b3b3b3b3 Log(x), log(p) 0.64(0.03) (0.12) 0.99 Log(p), t (0.13) (0.001) 0.98 Log(p) 2.04 (0.33) 0.63

Замещающие переменные В общем случае, пусть «правильная» модель: Предположим, что х 1 не доступна для наблюдений Введем переменную z, которая связана с х 1 (4.2) где: λ и μ неизвестные коэффициенты (4.4) (4.3) После оценки модели (4.4) нет формальной возможности получить значения λ, μ, а 1

Проблемы с использованием замещающих переменных Пример построения производственной функции Кобба-Дугласа Индексы реального объема производства, в промышленности США в гг. ГодYKL YKL Спецификация модели Оценка модели [d L ; d U ] = [1,26; 1,44]

Проблемы с использованием замещающих переменных Проверка адекватности модели Для проверки адекватности взяты данные за 1922г (Y 1922 = 240; K 1922 = 431; L 1922 = 161). Для этого вычисляем величины и делаем точечный прогноз значения y 0 = ln(Y 1922 /L 1922 ) = 0,399: Критическое значение критерия Стьюдента t крит (0.99,21)=2.8 Тогда доверительный интервал:

Построение функции Кобба-Дугласа Модель оказалась не адекватной Дальнейшие возможности: - проверить возможность исключения незначимых параметров -попытаться изменить вид модели - исследовать возможность включения дополнительной переменной Делаем все по порядку

Построение функции Кобба-Дугласа 1.Проверка возможности исключения параметров Проверяем статистическую гипотезу Н 0 : b i =0, t крит (0.95,21)=2.1 Вывод: b 0 =ln(a 0 )=0,следовательно, a 0 =1

Построение функции Кобба-Дугласа Исследуется спецификация модели вида: (5.2) Оценка модели (5.2) по тем же данным есть:

Построение функции Кобба-Дугласа Проверка адекватности модели (5.2) Вновь вычисляются необходимые величины: Сделаем точечную проверку адекватности для доверительных вероятностей 0.99 и 0.95 t крит (0.99,21)=2.8, t крит (0.95,21)=2.1

Построение функции Кобба-Дугласа 2. Введем дополнительную переменную Модели (5.1) и (5.2) не учитывают влияние технического прогресса на уровень выпуска продукции Учтем это влияние с помощью замещающей переменной t – время следующим образом Введем переменную E t –эффективность единицы труда Et зависит от квалификации, образования и др. личных качеств работников Простейшая модель технологического процесса (5.3)

Построение функции Кобба-Дугласа С учетом технологического процесса спецификация модели принимает вид: (5.4) где: a 3 = (1-a 1 ) · ln(1+g) 0 В логарифмическом виде модель (5.4) имеет вид: (5.5)

Построение функции Кобба-Дугласа Оценка модели (5.5) по тем же данным приняла вид: Из (5.6) легко видеть, что оценки коэффициентов b 0 =ln(a 0 ) и а 1 оказались незначимыми (гипотезы Н 0 :b 0 =0 и H 0 :a 1 =0 не отвергаются исходными данными) Но это приводит к абсурду: можно не затрачивая ни капитал ни труд производить продукцию (5.6)

Построение функции Кобба-Дугласа Вопрос. Почему статистические данные «не пустили» в модель время как заместитель технического прогресса? Ответ. Переменная К (капитальные затраты) так же являются функцией времени. В результате введения в модель еще переменной времени привело к мультиколинеарности матрицы коэффициентов наблюдения (матрица Х) Выражение стало не устойчивым из-за неустойчивости обратной матрицы

Построение функции Кобба-Дугласа Вывод. Последствием неаккуратного использования замещающих переменных приводит к нарушению обязательного условия МНК о не вырожденности матрицы коэффициентов уравнений наблюдений При использовании замещающих переменных необходим предварительный анализ степени корреляции между экзогенными переменными

Построение функции Кобба-Дугласа 3. Проверка возможности изменить вид модели Откажемся от жесткого условия линейной однородности (а 1 +а 2 =1) производственной функции Тогда модель примет вид: (5.7) Оценка модели (5.7) в конечном итоге получилась следующей: