Ещё идут старинные часы

Задачи, которые приводятся в этой подборке- самые разные как по уровню сложности, так и по подходам к решению. Единственное, что их «роднит»,- в условиях задач обязательно встречается слово «часы».Задачи эти редкие. Источники условий задач – всевозможные сборники и пособия для кружковой работы со школьниками, журнал «Квант», газета «Математика», материалы различных олимпиад. В том случае когда источник известен, приводится ссылка на него, но некоторые задачи перешли в разряд «фольклорных», и сослаться на автора или источник нет возможности.

Задача 1 Задание: Ежедневно Он подходил к городским часам в 4 часа. Она же приходила туда, когда воображаемая биссектриса между часовой и минутной стрелками проходила через цифру 6. Когда приходила Она?

Решение По условию углы 1 и 2 равны. Так как часовая показывает время между 4 и 5 часами, то минутная стрелка расположена между цифрами 7 и 8, то есть искомое время между 4ч35мин и 4 ч40мин. Уточняя, получим, что часовая стрелка находится между 4 7/12 ч и 4 8/12 ч. В силу симметрии для показания t минутной стрелки получим следующее неравенство 35+5*7/12

Задача 2 Задание: Куранты бьют 6 раз за 30 с. Сколько секунд они бьют 12 раз? Решение: Промежуток между боем часов равен 30/6-1=6 с. Тогда 12 раз часы бьют в течении 6*(12-1)=66 с. Ответ: 66 секунд

Задача 3 Задание: Когда секундная стрелка на часах прошла 1 с, минутная стрелка прошла 6 мин. Тем не менее часы исправны. Как это объяснить? Решение: Речь идёт о секунде времени и угловых минутах. Действительно, за 1 ч минутная стрелка проходит 360°, за 1 мин-6°, а за 1 с в 60 раз меньше, то есть 6 угловых минут.

Задача 4 Задание: Сколько раз в сутки стрелки часов совпадают? Решение: Начнём с положения 12:00 или 00:00. В течение первого часа минутная стрелка, пройдя круг, ни разу не совпадёт с часовой. Затем минутная стрелка будет совпадать с часовой один раз в течение каждого часа (примерно в 13:05, в 14:10 и т.д.). За двенадцатый час минутная стрелка совпадёт с часовой лишь в 12:00, но эту точку мы отнесли к следующему кругу. Значит, всего стрелки совпадают лишь одиннадцать раз за полный оборот часовой стрелки, а в сутки-22 раза. Ответ: 22 раза

Задача 5 Задание: Сколько раз в сутки стрелки часов направлены противоположно(то есть угол между ними равен 180°)? Решение: Начиная с 6:00 стрелки направлены противоположно первый раз в 6:00, во второй раз, около 7:05, в третий раз, около 08:10,…,в десятый раз, около 3:49, в одиннадцатый раз, около 4:54, в двенадцатый раз- в 6:00, но это уже было первый раз. Итого: одиннадцать раз за 12 часов, а в сутки – 22 раза Ответ:22 раза

Задача 6 Задание: Сколько раз в сутки стрелки часов перпендикулярны? Решение. Пусть но кратчайшей дуге стрелки уда­ ляются (минутная стрелка дальше по ходу стрелок). Тогда, начиная с 12:00, стрелки перпендикулярны в первый раз, когда часовая стрелка расположена в промежутке от 12:00 до 1:00, во второй раз от 1:00 до 2:00 и т.д.; всего 11 раз за полный оборот часовой стрелки, то есть в сутки 22 раза. Пусть, наоборот, стрелки часов сближаются. Рассуждая аналогично, получим 22 раза в сутки. В итоге: 44 раза стрелки перпендикулярны. Ответ: 44 раза.

Задача 7 Задание: Часы показывают 14:00. Через сколько минут минутная стрелка догонит часовую? Решение. Пусть х искомое время (в часах), ско­рость минутной стрелки 1 оборот в час, скорость часовой стрелки -1/12 оборота в час. За х ч минутная стрелка пройдет x оборотов, а часовая x/12 оборота, но для того, чтобы стрелки совпали, путь, пройденный минутной стрелкой, должен быть на 2/12 оборота больше. Получим уравнение x-1/12x=2/12, решив которое найдем х = 2/11 ч, то есть 120/11 мин, или 10 10/11 мин. Ответ: через 10 10/11 мин.

Задача 8 Задание: Одни часы отстают на 6 мин, а другие спешат на 3 мин в сутки. Сейчас их показания совпадают. Через сколько суток они снова совпадут? Решение. Одни часы отстают на б мин, другие спе­шат на 3 мин в сутки. Значит, за одни сутки расхож­дение увеличивается на 9 мин и через некоторое вре­мя составит 12 ч и не будет распознано. Чтобы уз­нать, когда это произойдет, нужно 12 ч разделить на 9 мин, результат 80 суток. Ответ: через 80 суток.

Задача 9 Задание (Задача аналогична задаче 1, но способ реше­ния другой.) Через сколько минут после полудня биссектриса между часовой и минутной стрелками укажет на 13 мин?

Решение Пусть а угол между 12:00 и часовой стрелкой, В угол между 12:00 и минутной стрел­ кой (рис. 2); тогда угол между 12:00 и биссектрисой угла равен а+в/2= 6° 13 (за 1 мин положение стрелки изменяется на 6°). Так как минутная стрелка идет в 12 раз быстрее, то в=12а, и а+12а/2=78°, откуда а=12°, в=144°, что соответствует 2/5 ч, или 24 мин Ответ: через 24 мин

Задача 10 Задание: Сейчас стрелки часов совпадают. Через сколь­ко минут угол между ними будет 180°? Решение. Пусть скорость часовой стрелки х, тогда скорость минутной стрелки 12.x, а скорость удаления стрелок друг от друга 11х, у время в минутах, при котором выполняется равенство 11ху =30 мин. Найдем, чему равно значение 12ху, то есть сколько времени потребовалось минутной стрелке, чтобы преодолеть угол в 180°. 12xy=12/11*30=360/11 мин что составляет 32 8/11 мин. Ответ: через 32 8/11 мин.

Задача 11 Задание: Электронные часы показывают время ab:cd:ef, a-f произвольные цифры от нуля до девяти. Сколь­ко раз в сутки показания часов представлены двумя цифрами, каждая из которых повторяется три раза? Решение. 1-й случай. Варианты этого случая: 00:ХХ:ХХ, 11:ХХ:ХХ и 22:ХХ:ХХ, X неизвест­ ная цифра. Первые две цифры зафиксированы, тре­тья цифра (0, 1 или 2) может расположиться в четы­рех позициях, и так как 1 < X < 6, то число комбина­ций будет 3-4-5, то есть 60 вариантов.

Задача 11.Продолжение 2-й случай. Теперь рассмотрим варианты ab:XX:XX, где а {0; 1}, 6 b 9; таких вариантов восемь, в каждом только одна комбинация ab:ab:ab, так как цифра больше 5 не может представлять десятки минут или секунд. 3-й случай. Все остальные варианты (их 13): ab:XX:XX, где а {0; 1; 2}, 0 < b < 5, могут иметь следующий вид: ab:aa:bb;ab:ab:ab; ab:ab:ba; ab:ba:ab;ab:ba:ba; ab:bb:aa. Всего возможно 6 13 = 78 вариантов. Таким образом, общее количество вариантов составляет , или 146. Ответ: 146 вариантов.

Задача 12 Задание: На электронных часах высвечивается время: часы и минуты. Сколько времени в сутки на их табло присутствует хотя бы одна цифра 2? Найдите соответствующее время для остальных цифр: 0, 1, 3, 4,...,9.

Решение Решение. На первом месте цифра 2 бывает в течение 4 часов от 20:00 до 00:00. В остальные 20 часов она бывает: а) 2 часа на втором месте от 2:00 до 3:00 и от 12:00 до 13:00; б) в оставшиеся 18 ч цифра 2 бывает на третьем месте по 10 мин каждый час; в) а остальные 50 мин часа еще по 5 мин на четвертом месте. Итого, по 15 мин в каждый из 18 часов, то есть 4 ч 30 мин. Всего получаем ,5 = 10,5 ч. Рассуждая аналогично, получим время показа цифры на табло для всех случаев. Ответ: для цифры 2 10,5 ч; 0 и 1 по 16 ч; 3 8,25 ч; 4 и 5 по 7,5 ч; для остальных по 4,2 ч.

Задача 13 Задание Разделите циферблат часов на равные (по сумме чисел) части. Приведите все способы. Решение. Сумма всех чисел на циферблате равна 78. Найдем такую комбинацию х * у=78, где х и у натуральные числа, х > 12 (поскольку число 12 так­же входит в какую-то часть), у > 1 число частей. Воспользуемся тем, что Варианты: 1) х « 39, у - 2; 2) х = 26, у - 3; 3) х - 13, у =6.

Задача 14 Задание: Сколько раз в сутки угол между стрелками часов равен данному углу а? Решение. 1. Случай, когда а = 0 (стрелки совпадают), рассмотрен в задаче 4. 2.Случай, когда а = 180°, рассмотрен в задаче 5. 3.Рассмотрим случай, когда а отличается от крайних значений, то есть 0 < а < 180°.

Решение а)Пусть по кратчайшей дуге стрелки удаляются (минутная стрелка дальше по ходу). Тогда (начиная с 12:00) угол между стрелками будет равен а в первый раз, когда часовая стрелка расположена в промежутке от 12:00 до 1:00, во второй раз от 1:00 до 2:00 и т.д., всего 11 раз за оборот часовой стрелки, или 22 раза в сутки. б)Пусть, наоборот, стрелки часов сближаются. Рассуждая аналогично, получим еще 22 раза в сутки. В итоге, всего за сутки угол между стрелками будет равен (х 44 раза. Частный случай этой задачи рассмотрен в задаче 6. Ответ: 22 раза при а равном 0 или 180° и 44 раза при других значениях а.

Задача 15 Задание: Имеются песочные часы на 3 мин и на 5 мин. Отмерьте с их помощью промежуток времени в 1 мин. Решение. Запустим часы одновременно. Когда пройдут 3 мин, перевернем эти часы, начнем новый отсчет времени. Когда пройдут 5 мин, на трехминут­ных часах к этому времени останется песка ровно на 1 мин. Конец отсчета времени когда «остановят­ся» трехминутные часы. Действительно, 2*3-5 = 1. Замечание. Можно рассмотреть эту задачу в об­щем виде: пусть первые часы на х мин, вторые на у мин. Отмерить z мин. Решение этой задачи сводит­ся к решению диофантова уравнения z=nx- mу.

Задача 16 Задание: (Задача заочной олимпиады для абитуриентов мехмата МГУ, 1999 г.) Минутную стрелку обломили так, что она перестала отличаться от часовой. Сколь­ко раз в сутки можно ошибочно считать время с ча­сов с такими стрелками, если при этом не разрешает­ся наблюдать за ходом часов?

Решение Разобьем циферблат на 12 часовых секторов (рис. 4). Пусть а угол между часовой стрелкой и лучом, направленным к началу сектора, в котором находится часовая стрелка, (в угол между минутной стрелкой и лучом, направленным к началу сектора, в котором находится минутная стрелка; оба угла измеряются в долях от величины сектора в 30°, значения а и в находятся в интервале [0; 1). Обозна­чим: п номер сектора, в котором находится часовая стрелка, т номер сектора, в котором находится минутная стрелка, тип целые числа от 1 до 12.

Решение Те случаи, когда часовую и минутную стрелки можно перепутать, описываются уравнениями в - 12а - (m - 1), а = 12в - (n - 1), откуда находим а=(12(m-1)+(n-1))/143 Учитывая область значений т и n, получим, что за 12 часов возможны 12*12, или 144 случая. Исключим те случаи, когда стрелки часов совпадают, следовательно, время перепутать нельзя. При m = n значения а и в совпадают и показания часов считываются однозначно. Таких случаев 12. Значит, за 12 часов стрелки можно перепутать 132 раза, а за сутки 264 раза.

Решение Эту задачу можно решить «на пальцах». Сосчитаем такие положения за 1 час, начиная с 12:00. В пер­вый раз можно ошибочно считать время примерно в 12:06, во второй раз в 12:11 и т.д., всего 11 раз. За каждый последующий час можно ошибочно считать время по 11 раз, всего 132 раза. Таким образом, в сутки можно ошибиться 264 раза. Ответ: 264 раза.

Задача 18 Задание: Один чудаковатый часовщик смастерил странные часы. От полуночи до часу ночи они шли нормально, показывая верное время, но затем часовая стрелка начинала идти со скоростью минутной, а минутная со скоростью часовой. Через час стрелки вновь менялись скоростями, и так каждый час. Укажите все моменты времени, когда часы показывают верное время.

Решение Отметим показания часов через каждый час после полуночи: 00 ч 00 мин, 1 ч 00 мин, 1 ч 05 мин, 2 ч 05 мин, 2 ч 1.0 мин и т.д. Таким образом, начало нечетного часа (2k - 1) будет показано как (k - 1) ч 5(k - 1) мин, а начало четного часа 2k будет показано как k ч 5(k - 1) мин. Через 24 ч обе стрелки совпадут на отметке 12. Первый час часы показывают верное время, затем каждый нечетный час они идут с пра­вильными скоростями стрелок из неправильного по­ложения и потому не могут показывать верное вре­мя. Рассмотрим положения стрелок во время четного часа. Через x мин часовая стрелка будет показывать k +x/5 а минутная 5(k - 1) + x/12. На «нормальных» часах в это время часовая стрелка будет показывать 2k x/60, а минутная х мин. Если «сумасшедшие» часы показывают верное время, то k+x/5=2k-1+x/60 и 5(k-1)+x/12=x

Решение Оба уравнения дают одно и то же решение: x=(60(k-1))/11.Таким образом, «сумасшедшие» часы показывают верное время в течение часа с 00 ч 00 мин и еще в 10 моментов времени: 3ч 60/11 мин, 5ч 120/11 мин,…,21ч 600/11мин. Ответ: 3ч 60/11 мин, 5ч 120/11 мин,…,21ч 600/11мин.

Задача 18 Задание: В 12:00 будильник установили правильно, и он пошел, отставая на 1 мин в час. Когда этот бу­дильник показал 13:00, его завели, но после этого он почему-то стал спешить на 1 мин в час. Какое время будет на самом деле в момент, когда этот будильник покажет 14:00? Решение. Так как сначала будильник отставал на 1 мин в час, то его скорость была 59/60 от нормальной, значит, 13:00 будильник показал в 13 и 1/59 ч, или в 13 ч 60/59 мин. Затем будильник спешил на 1 мин в час, и скорость его была 60/59 от нормальной, значит, 14:00 он показал через 59мин от предыдущего завода, то есть в 14ч и 1/59 мин. Ответ: 14 ч 1/59 мин.

Задача 19 Задание: (Предлагалась на городской олимпиаде по математике в 2002 г.: в условии нет слова «часы», но к измерению времени задача имеет прямое отношение.) Как с помощью двух бикфордовых шнуров, которые горят неравномерно, но ровно одну минуту каждый, отмерить интервал времени продолжительностью 45 с? Решение. К сожалению, длина шнура измеряется не в единицах длины, а в «секундах горения», и мы не можем воспользоваться ножницами для определения середины шнура. Временной интервал в 30 с можно измерить, если поджечь шнур с двух сторон, а 15 с, если поджечь с двух сторон половину шнура (в единицах продолжительности горения!). Итак, процедура получения интервала в 45 с будет такая: 1) зафиксировать время t1: первый шнур поджечь с двух сторон, второй только с одной; 2) в момент времени, когда первый шнур прогорит полностью, поджечь с другой стороны второй шнур; зафиксировать время t окончания горения второго шнура; t2 – t1 = 45 с.

Кириллов Виталий