КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ, КАНАЛЫ, ИНФОРМАЦИЯ А. С. Холево Математический институт им. В. А. Стеклова РАН

Немного истории Общее понятие канала Квантовая теорема кодирования Проблема аддитивности Сцепленность квантовых состояний Каналы, разрушающие сцепленность Другие темы

Теория информации Дата рождения: середина XX в, е. Цифровое представление и обработка данных, коды сжатия данных, исправления ошибок,… Концепции: случайный источник, энтропия, канал, код, пропускная способность, … Методы: теория вероятностей, дискретная математика, комбинаторная геометрия,…

К Т И Дата рождения: вторая половина XX в. Математические основы – 1970е. Новая волна (квантовая криптография, коммуникационные протоколы, эффективные алгоритмы) – 1990е Концепции: квантовое состояние, энтропия, канал, пропускные способности, сцепленность… Методы: некоммутативная теория вероятностей, алгебры операторов, полилинейная алгебра, случайные матрицы,…

Передача информации w =1001…11… w =1101…01… кодирование канал декодирование Вероятность ошибки P{ww} Пропускная способность канала состояние на входе S w состояние на выходе S w

Процедура измерения результат y параметры x приготовление динамика измерение Точность измерения Оптимальная процедура ? состояние на входе S x состояние на выходе S x

Статистические состояния систем (dim H

Ф-М словарь Система (носитель информации) = С*-алгебра операторов A B(H) Классическая система = коммутативная алгебра C ( X ) Квантовая система = алгебра всех операторов B(H) Составные системы A B. Гибридные системы

A 11 A kk a 22 a 33 … … … … 0 0 Структура алгебры

Состояния Состояние = линейный положительный нормированный функционал E( X ), X A (математическое ожидание) Выпуклое множество состояний Σ ( A ) A *. Классическое состояние распределение вероятностей P на X Квантовое состояние оператор плотности ρ в H

p1p1 p2p2 … … … … … pkpk ρ =U U* P = [p 1, p 2, …, p k ], p j 0, p j =1 Классические и квантовые состояния

Классический бит 0 1 Квантовый бит q-бит Симплекс Пространство состояний … e Пример: элементарные системы

Классические и квантовые каналы

Канал = линейное положительное нормированное отображение ρρ XX * вполне Φ: A * B * Φ*: B A

Произведение каналов

Структура канала Теорема СтайнспрингаТеорема Стайнспринга: Отображение Φ*: B B (H) в полне положительно Φ* расширяется до *-гомоморфизма π: Следствие:Следствие: [квантовый канал, ]

Открытая квантовая система окружение система U Φ(ρ)Φ(ρ) Φ(ρ)=Tr 0 U(ρ ρ 0 )U* Φ̃(ρ) ρ ρ0ρ0

(Полу)классические каналы A или B коммутативна: положительность Φ полная положительность A и B коммутативны: классический канал = марковский оператор A=C ( X ) : приготовление состояния (кодирование) B=C ( Y ) : измерение (декодирование) разложение единицы:

Теорема кодирования Гипотеза аддитивности Сцепленность против аддитивности

Пропускная способность w=1001…11 классическая информация вероятность ошибки P{ww} w=1101…01 классическая информация: сообщений n кодирование E декодирование D Классическая пропускная способность:

Теорема кодирования (HSW) ансамбль условная выходная энтропия выходная энтропия χ

Гипотеза аддитивности ? ? Что мешает доказать это для квантовых каналов?

Сцепленность квантовых состояний Разделимые состояния в Не-разделимые = сцепленные состояния: Пример:

Сцепленность против аддитивности V ? ! (Hastings, 2008)

Разделимое кодирование классическая информация классическая информация.. n. разделимое сцепленное кодирование декодирование Пропускная способность:

Разделимые кодирование/ декодирование классическая информация классическая информация.. n. разделимое кодирование декодирование Пропускная способность:

Аддитивность: кодирование сцепленными состояниями не увеличивает проп. способность Классические каналы q-битные бистохастические каналы (dim H =2) Деполяризующие каналы и др. (dim H

Каналы, разрушающие сцепленность

Для РС-каналов гипотеза аддитивности выполняется в наиболее сильной форме (Shor; Широков)

Структура РС-канала Т Т. Канал Φ разрушает сцепленность Φ(ρ) = ρ x P ρ (dx), P ρ (B)=Tr ρM(B) X разложение единицы ρ измерение x приготовление ρ M ρ x

Комплементарные каналы Т.

{РС-каналы} ~ = {диагональные каналы}

Построение изометрии V Т Т. Φ РС-канал

Комплементарный канал Φ РС-канал

Бозонные системы Классическая система симплектическое пространство (Z,Δ) Квантование система Вейля в H, ККС: W(z 1 ) W(z 2 ) = exp (iz 1 T Δz 2 ) W(z 2 ) W(z 1 ) Бозонный канал: ( H A,W A ) ( H B,W B )

Открытая бозонная система окружение система квадратичный гамильтониан U Φ(ρ)=Tr 0 U(ρ ρ 0 )U* ρ ρ 0 гауссовское состояние

Критерий РС для бозонных гауссовских каналов Т Т. Бозонный гауссовский канал Φ K,l,α разрушает сцепленность

Пример: аттенюатор/усилитель a 0 : =N a k

Аттенюатор/усилитель a 0 : =N a k ?

Другие направления Весь спектр пропускных способностей квантового канала Квантовые коды, исправляющие ошибки Алгоритмы сжатия квантовой информации Некоммутативная теория статистических решений Количественные характеристики сцепленности Сложность квантовых вычислений Квантовые криптографические протоколы

А. С. Холево КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ, КАНАЛЫ, ИНФОРМАЦИЯ КАНАЛЫ, ИНФОРМАЦИЯ

Использование сцепленности вход выход … … n сцепленное состояние ψ AB ρAρA ρBρB

Пропускная способность Выигрыш C ea (Φ):C(Φ) = 2 для идеального канала Φ=Id для шумного канала Φ Квантовая взаимная информация I(A;B) Аддитивность.

Квантовая информация квантовая информация: ρ n кодирование E декодирование D Квантовая пропускная способность: квантовая информация: ρ

Теорема кодирования выходная энтропия обменная энтропия когерентная информация Супераддитивность Коды, исправляющие ошибки Вычисления, устойчивые к ошибкам

Квантовая информация Q(Φ) Q ( Φ) = Q(Φ) Q (Φ) Q(Φ) … … Q=0 Q>0 Q=0

Пропускные способности с дополнительными ресурсами C C C C ea =2Q ea Q Q Q Q ea

Вместо A* -- предсопряженное пространство A *, порожденное нормальными состояниями Энтропия «почти всюду» бесконечна, всюду разрывна Аналог теоремы кодирования имеет место при ограничениях на входе канала Возникают «непрерывные» ансамбли состояний Важный класс – «системы с непрерывными переменными»

Глобальная эквивалентность С χ (Φ) аддитивна для всех каналов Ĥ(Φ 1 Φ 2 )= Ĥ(Φ 1 )+ Ĥ(Φ 2 ), где Ĥ(Φ)=min ρ H(Φ(ρ)) (Shor) Подход через р-нормы (AH): Φ 1p =max ρ TrΦ(ρ) p ; p>1 мультипликативность p-норм?

Поиски контрпримера Мультипликативность p-норм нарушается: p4,783, dim H =3 (Werner-AH) Φ(ρ)=(d-1) -1 (I- ρ T ) p>2, dim H (Winter); 1

Gaussian channels Canonical variables (CCR) Gaussian environment Gaussian states Gaussian states Energy constraint PROP For arbitrary Gaussian channel with energy constraint an optimal generalized ensemble (GE) exists. CONJ Optimal GE is a Gaussian probability measure supported by pure Gaussian states with fixed correlation matrix. (GAUSSIAN CHANNELS HAVE GAUSSIAN OPTIMIZERS?) Holds for c-c, c-q, q-c Gaussian channels