Практикум по решению нестандартных уравнений и неравенств Лысенко Надежда Анатольевна, Остапенко Лилия Анатольевна

Актуальность развивается творческое и логическое мышление формируются способности нестандартно мыслить проявляется самостоятельность умение применять способы решения задачи в практической деятельности использовать полученные знания и умения в решении прикладных и практических задач развивается творческое и логическое мышление формируются способности нестандартно мыслить проявляется самостоятельность умение применять способы решения задачи в практической деятельности использовать полученные знания и умения в решении прикладных и практических задач

Основные задачи подготовить учащихся к итоговой аттестации; подготовить учащихся к поступлению в ВУЗ; научить различным приемам при решении уравнений; приобщить учащихся к работе с математической литературой подготовить учащихся к итоговой аттестации; подготовить учащихся к поступлению в ВУЗ; научить различным приемам при решении уравнений; приобщить учащихся к работе с математической литературой

Какая же задача называется нестандартной?

Нестандартные задачи – это такие, для которых в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющих точную программу их решения» (Фридман Л.М., Турецкий Е. Н. ) Нестандартные задачи – это такие, для которых в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющих точную программу их решения» (Фридман Л.М., Турецкий Е. Н. )

Уравнения

Содержание 1 Понятие уравнения и его свойства 2 Методы решения уравнений Метод разложения на множители Метод введения новой переменной Функционально-графический метод 3 Приложение Элективный курс «Решение нестандартных уравнений» 1 Понятие уравнения и его свойства 2 Методы решения уравнений Метод разложения на множители Метод введения новой переменной Функционально-графический метод 3 Приложение Элективный курс «Решение нестандартных уравнений»

Метод разложения на множители Пример 1. Решить алгебраическое уравнение : (х-a)³+(х-b)³=(2х-a-b)³. Соберём все члены в левой части уравнения и сумму кубов (х-a)³+(х-b)³ разложим на множители. После этого в левой части можно выделить общий множитель 2х-a-b: (2х-a-b)((х-a)²-(х-a)(х-b)+(х-b)²-(2х-a-b)²)=0, (2х-a-b)(-3х²+3(a+b)х-3ab)=0. Отсюда х =(a+b):2, х=a, х=b. Ответ:(a+b ):2; a; b. Пример 1. Решить алгебраическое уравнение : (х-a)³+(х-b)³=(2х-a-b)³. Соберём все члены в левой части уравнения и сумму кубов (х-a)³+(х-b)³ разложим на множители. После этого в левой части можно выделить общий множитель 2х-a-b: (2х-a-b)((х-a)²-(х-a)(х-b)+(х-b)²-(2х-a-b)²)=0, (2х-a-b)(-3х²+3(a+b)х-3ab)=0. Отсюда х =(a+b):2, х=a, х=b. Ответ:(a+b ):2; a; b.

Пример 2. Решите дробно-рациональное уравнение: Представим уравнение в таком виде Приведем разности в левой и правой частях этого уравнения к общим знаменателям: (х-6) ( - )=0 Пример 2. Решите дробно-рациональное уравнение: Представим уравнение в таком виде Приведем разности в левой и правой частях этого уравнения к общим знаменателям: (х-6) ( - )=0

Приравняем нулю каждый из множителей в левой части последнего уравнения. Получим х – 6 =0 или 8х= 66, учитывая при этом, что х=-9, х=-6, х=-15, х= -8. Тогда Ответ: 6,-33/4. Приравняем нулю каждый из множителей в левой части последнего уравнения. Получим х – 6 =0 или 8х= 66, учитывая при этом, что х=-9, х=-6, х=-15, х= -8. Тогда Ответ: 6,-33/4.

Пример 3.Решите уравнение: Возведем обе части уравнения в куб: (х-1)(2х-1)=(1-х)³, (х-1)(2х-1+(х-1)²)=0, (х-1)х²=0. Отсюда х=1, х=х=0. Проверка по первоначальному уравнению показывает, что значение х=1 ему удовлетворяет, а значение х=0 – не удовлетворяет. Ответ: 1. Пример 3.Решите уравнение: Возведем обе части уравнения в куб: (х-1)(2х-1)=(1-х)³, (х-1)(2х-1+(х-1)²)=0, (х-1)х²=0. Отсюда х=1, х=х=0. Проверка по первоначальному уравнению показывает, что значение х=1 ему удовлетворяет, а значение х=0 – не удовлетворяет. Ответ: 1.

Введение новой переменной Пример 4. Решите уравнение: (х-1)(х-2)(х-4)(х-8)= 4х 2. (х²-9х+8)(х²-6х+8)=4х². (x-9+ )(x-6+ )=4 Введем подстановку: х-9+ =у. y(у+3)=4, у 2 +3у-4=0; у 1 =1, у 2 =-4. х,=5 Ответ: 5. Пример 4. Решите уравнение: (х-1)(х-2)(х-4)(х-8)= 4х 2. (х²-9х+8)(х²-6х+8)=4х². (x-9+ )(x-6+ )=4 Введем подстановку: х-9+ =у. y(у+3)=4, у 2 +3у-4=0; у 1 =1, у 2 =-4. х,=5 Ответ: 5.

Пример 5.Решите уравнение: (х+3)+(х+5)=16. Положим х+4=y,т. к. =х+4. Имеем: (y-1)+(y+1)=16. Теперь нужно в левой части уравнения (y-1) и ( y+1) возвести в квадрат, а затем то, что получилось, ещё раз возвести в квадрат. После упрощений образуется биквадратное уравнение: y+6y²-7=0. Его корни y, =. Отсюда х=-3, х=-5. Ответ: -3; -5. Пример 5.Решите уравнение: (х+3)+(х+5)=16. Положим х+4=y,т. к. =х+4. Имеем: (y-1)+(y+1)=16. Теперь нужно в левой части уравнения (y-1) и ( y+1) возвести в квадрат, а затем то, что получилось, ещё раз возвести в квадрат. После упрощений образуется биквадратное уравнение: y+6y²-7=0. Его корни y, =. Отсюда х=-3, х=-5. Ответ: -3; -5.

Пример 6. Решите уравнение: Отнимем от обеих частей уравнения для того, чтобы получить в левой части квадрат разности: А теперь очевидная подстановка = у. Ответ:. Пример 6. Решите уравнение: Отнимем от обеих частей уравнения для того, чтобы получить в левой части квадрат разности: А теперь очевидная подстановка = у. Ответ:.

Пример 7. Решите уравнение: х 2 +8х+8=4(х+2) Положим =t. При, х+1=t 2. (t 2 -1) 2 +8(t 2 -1)+8=4(t 2 -1)t, t 4 -2t t =4t 3 +4t, t 4 -4t 3 +6t 2 -4t+1=0. Последнее уравнение имеет четырехкратный корень t=1. t-1) 4 =0. Если t=1, то х=0. Ответ: 0. Пример 7. Решите уравнение: х 2 +8х+8=4(х+2) Положим =t. При, х+1=t 2. (t 2 -1) 2 +8(t 2 -1)+8=4(t 2 -1)t, t 4 -2t t =4t 3 +4t, t 4 -4t 3 +6t 2 -4t+1=0. Последнее уравнение имеет четырехкратный корень t=1. t-1) 4 =0. Если t=1, то х=0. Ответ: 0.

Функционально-графический метод Пример 8.Решите уравнение: Найдём область определения D уравнения. Она совпадает с множеством всех решений системы неравенств Решением первого неравенства является множество, второго отрезок. Следовательно, область D состоит всего из двух точек -0 и 1. Значение х=0 не удовлетворяет уравнению, значение х=1- удовлетворяет. Ответ: 1. Пример 8.Решите уравнение: Найдём область определения D уравнения. Она совпадает с множеством всех решений системы неравенств Решением первого неравенства является множество, второго отрезок. Следовательно, область D состоит всего из двух точек -0 и 1. Значение х=0 не удовлетворяет уравнению, значение х=1- удовлетворяет. Ответ: 1.

Пример 9. Решите уравнение: Очевидно один корень уравнения х=2. Имеет ли оно другие корни? Левая часть уравнения есть возрастающая функция, как сумма трех возрастающих функций. Но монотонная функция каждое свое значение (в данном случае значение 7) принимает в единственной точке, поэтому других корней у уравнения нет. Ответ: 2. Пример 9. Решите уравнение: Очевидно один корень уравнения х=2. Имеет ли оно другие корни? Левая часть уравнения есть возрастающая функция, как сумма трех возрастающих функций. Но монотонная функция каждое свое значение (в данном случае значение 7) принимает в единственной точке, поэтому других корней у уравнения нет. Ответ: 2.

Тема «Решение нестандартных уравнений» Цель: Расширение и углубление знаний по математике; развитие интеллектуальных способностей, логического мышления и познавательного интереса. Тема «Решение нестандартных уравнений» Цель: Расширение и углубление знаний по математике; развитие интеллектуальных способностей, логического мышления и познавательного интереса.

Тема и содержание Ча сы Форма контроля 1 Алгебраические уравнения. (Разложение на множители. Замена переменной. Уравнения с параметрами. Возвратные уравнения и уравнения, решаемые тем же способом, что и возвратные. Искусственные приёмы.) 8 Самостоятельное решение заданий ЕГЭ части В и части С из сборников 2 Дробно-рациональные уравнения. (Сведение к алгебраическому. Замена переменной. Метод группировки.) 4 Тестирование 3Иррациональные уравнения. (Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Введение новых переменных. Умножение обеих частей уравнения на одну и ту же функцию. Решение с помощью неравенств. Искусственные приёмы.) 8 Самостоятельное решение конкурсных задач Учебно–тематический план

4 Тригонометрические уравнения. (Разложение на множители. Метод подстановки. С помощью неравенств. Уравнения с обратными тригонометрическими функциями. Искусственные приёмы. ) 8 Самостоятель ное решение конкурсных задач 5 Уравнения и неравенства смешанного типа. (Метод оценки. Использование монотонности функций. Графический способ.) 4 Самостоятель ное решение заданий ЕГЭ из части В и части С 6Итоговое занятие.2 Защита проектов, рефератов, творческих работ

Содержание 1 Числовые неравенства и их свойства Понятие неравенства Свойства неравенств 2 Основные методы установления истинности числовых неравенств Сравнение чисел с помощью составления разности Сравнение чисел с помощью составления отношения и сравнение с 1 Текстовые задачи на сравнение чисел 1 Числовые неравенства и их свойства Понятие неравенства Свойства неравенств 2 Основные методы установления истинности числовых неравенств Сравнение чисел с помощью составления разности Сравнение чисел с помощью составления отношения и сравнение с 1 Текстовые задачи на сравнение чисел

3 Доказательства неравенств Метод перехода к равносильному неравенству Метод вставки или метод усиления неравенств 4 Доказательства неравенств с помощью теоретических (опорных) неравенств Доказательства неравенств со взаимно – обратными числами Неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим (неравенство Коши) Неравенство Бернулли Векторные неравенство Коши – Буняковского Доказательство неравенств с помощью производной 3 Доказательства неравенств Метод перехода к равносильному неравенству Метод вставки или метод усиления неравенств 4 Доказательства неравенств с помощью теоретических (опорных) неравенств Доказательства неравенств со взаимно – обратными числами Неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим (неравенство Коши) Неравенство Бернулли Векторные неравенство Коши – Буняковского Доказательство неравенств с помощью производной

Числовые неравенства и их свойства Понятие неравенства Свойства неравенств Свойство 1. Если a > b и b > c, то a > c. Свойство 2. Если а > b, то a+с > b+c. Свойство 3. Если а > b и m>0, то am > bm. Если а > b и m b и с > d, то а + c > b+d. Свойство 5. Если а,b,с,d –положительные числа, и а>b, с>d, то ас > bd. Свойство 6. Если а и b – неотрицательные числа и а > b, то а > b, где n є N. Понятие неравенства Свойства неравенств Свойство 1. Если a > b и b > c, то a > c. Свойство 2. Если а > b, то a+с > b+c. Свойство 3. Если а > b и m>0, то am > bm. Если а > b и m b и с > d, то а + c > b+d. Свойство 5. Если а,b,с,d –положительные числа, и а>b, с>d, то ас > bd. Свойство 6. Если а и b – неотрицательные числа и а > b, то а > b, где n є N.

Основные методы установления истинности числовых неравенств Сравнение чисел с помощью составления разности Пример 1. Что больше а) / или / ; б) в) или ? Сравнение чисел с помощью составления разности Пример 1. Что больше а) / или / ; б) в) или ?

Сравнение чисел с помощью составления отношения и сравнение с 1 Пример 2. Что больше: а) б) или ? Пример 2. Что больше: а) б) или ?

Текстовые задачи на сравнение чисел Задача 1. Пункты А и В расположены на берегу реки в 10 километрах друг от друга. Катер проплыл из А в В и обратно без остановки. Больше или меньше времени понадобится ему для того, чтобы проплыть 20 км по озеру, в котором нет течения? Ответ: меньше. Задача 2. Если первая грузовая автомашина сделает 4 рейса, а вторая-3, то вместе они перевезут меньше 21 т груза. Если же первая автомашина сделает 7 рейсов, а вторая 4, то вместе они перевезут больше 33 т груза. Какая автомашина имеет большую грузоподъемность? Ответ: первая. Задача 1. Пункты А и В расположены на берегу реки в 10 километрах друг от друга. Катер проплыл из А в В и обратно без остановки. Больше или меньше времени понадобится ему для того, чтобы проплыть 20 км по озеру, в котором нет течения? Ответ: меньше. Задача 2. Если первая грузовая автомашина сделает 4 рейса, а вторая-3, то вместе они перевезут меньше 21 т груза. Если же первая автомашина сделает 7 рейсов, а вторая 4, то вместе они перевезут больше 33 т груза. Какая автомашина имеет большую грузоподъемность? Ответ: первая.

Задача 3. Человек пил кофе следующим образом: сначала он налил полную чашку кофе, выпил половину, затем доверху налил молоко; потом выпил 1 / 4 и снова налил доверху молоко; выпил 1 / 8 новой смеси и опять долил чашку доверху молоком; и т.д., кроме последнего раза, когда он выпил чашку до дна. Чего он выпил больше: кофе или молока? Ответ: кофе. Задача 3. Человек пил кофе следующим образом: сначала он налил полную чашку кофе, выпил половину, затем доверху налил молоко; потом выпил 1 / 4 и снова налил доверху молоко; выпил 1 / 8 новой смеси и опять долил чашку доверху молоком; и т.д., кроме последнего раза, когда он выпил чашку до дна. Чего он выпил больше: кофе или молока? Ответ: кофе.

Доказательства неравенств Метод перехода к равносильному неравенству 1.Докажите неравенство: (Х-3)(Х-4)(Х-5)(Х-6) Верно ли, что при всех действительных значениях Х Х 4 +(Х+2) 4 2? Докажите неравенство: Метод перехода к равносильному неравенству 1.Докажите неравенство: (Х-3)(Х-4)(Х-5)(Х-6) Верно ли, что при всех действительных значениях Х Х 4 +(Х+2) 4 2? Докажите неравенство:

Метод вставки или метод усиления неравенств При доказательстве неравенств нередко используется метод вставки или метод усиления неравенств. Заключается он в следующем: для того, чтобы доказать неравенство а>b, достаточно доказать, что существует такое число (или выражение) с, что а>с и с>b. Как найти число с? Кроме того, иногда приходится вставлять между а и b не одно промежуточное число с, а два-три, а то и больше. При доказательстве неравенств нередко используется метод вставки или метод усиления неравенств. Заключается он в следующем: для того, чтобы доказать неравенство а>b, достаточно доказать, что существует такое число (или выражение) с, что а>с и с>b. Как найти число с? Кроме того, иногда приходится вставлять между а и b не одно промежуточное число с, а два-три, а то и больше.

Докажите неравенство: а) б) Докажите, что если =1, то S= Докажите, что если a >1,b>1, то S= Докажите неравенство: а) б) Докажите, что если =1, то S= Докажите, что если a >1,b>1, то S=.

Доказательства неравенств с помощью теоретических (опорных) неравенств Доказательства неравенств со взаимно – обратными числами Сумма двух взаимно обратных положительных чисел не меньше 2: (а +1/a) 2 (4.1), причем равенство достигается только при а=1. Докажите неравенство: Докажите, что если числа а и b положительные, то выполняется неравенство Доказательства неравенств со взаимно – обратными числами Сумма двух взаимно обратных положительных чисел не меньше 2: (а +1/a) 2 (4.1), причем равенство достигается только при а=1. Докажите неравенство: Докажите, что если числа а и b положительные, то выполняется неравенство

Докажите, что если а, b, с – длины сторон треугольника, то Когда это неравенство превращается в равенство? Докажите, что если а, b, с – длины сторон треугольника, то Когда это неравенство превращается в равенство?

Неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим (неравенство Коши) Среднее арифметическое любых двух неотрицательных чисел а и b не меньше их среднего геометрического: Причем равенство достигается только при а=b. Докажите, что среднее арифметическое любых четырех неотрицательных чисел а,b,c,d не меньше их среднего геометрического: Причем равенство достигается только при a=b=c=d. Среднее арифметическое любых двух неотрицательных чисел а и b не меньше их среднего геометрического: Причем равенство достигается только при а=b. Докажите, что среднее арифметическое любых четырех неотрицательных чисел а,b,c,d не меньше их среднего геометрического: Причем равенство достигается только при a=b=c=d.

Докажите, что среднее арифметическое любых трех неотрицательных чисел a,b,c не меньше их среднего геометрического:, причем равенство достигается при a=b=c. Вывод: Cреднее арифметическое любых n неотрицательных чисел a 1,a 2 …a n не меньше их среднего геометрического: Причем это неравенство превращается в равенство только при равенстве всех чисел между собой a 1 =a 2 =…=a n. Неравенство было впервые доказано знаменитым французским математиком 19 века О. Коши и называется неравенство Коши. Докажите, что среднее арифметическое любых трех неотрицательных чисел a,b,c не меньше их среднего геометрического:, причем равенство достигается при a=b=c. Вывод: Cреднее арифметическое любых n неотрицательных чисел a 1,a 2 …a n не меньше их среднего геометрического: Причем это неравенство превращается в равенство только при равенстве всех чисел между собой a 1 =a 2 =…=a n. Неравенство было впервые доказано знаменитым французским математиком 19 века О. Коши и называется неравенство Коши.

Докажите неравенства а) б) (а+2)(b+2)(a+b) 16ab (a0, b0) в) а) б) (а+2)(b+2)(a+b) 16ab (a0, b0) в)

Неравенство Бернулли При любом натуральном n и любом а-1 выполняется неравенство (1+а) n 1+na, причем равенство возможно только при n=1 или а=0 Это неравенство называется неравенством Бернулли Докажите неравенство: а) (1,01) 100 >2 б) >9 37 При любом натуральном n и любом а-1 выполняется неравенство (1+а) n 1+na, причем равенство возможно только при n=1 или а=0 Это неравенство называется неравенством Бернулли Докажите неравенство: а) (1,01) 100 >2 б) >9 37

Докажите, что если у арифметической прогрессии (а n ) с положительными числами и геометрической прогрессии (b n ) равны два первых члена: a 1 =b 1, a 2 =b 2, то при любом n>2 справедливо неравенство b n а n.

Векторное неравенство Коши - Буняковского Векторным неравенством Коши- Буняковского, названным так по имени двух выдающихся математиков XXI века- французского О.Коши ( ) и русского В.Я. Буняковского ( ), называется неравенство, где - векторы, - их скалярное произведение, - длины этих векторов.

Докажите неравенства Докажите, что если a+b+c=3, то Докажите, что если a+b+c=3, то

Доказательство неравенств с помощью производной Признак возрастания и убывания функции: если производная функции положительна (отрицательна) на некотором промежутке, то функция возрастает (убывает) на этом промежутке. Признак экстремума: если производная функции в критической точке (то есть точке из области определения функции, в которой производная равна 0 или не существует) меняет знак с плюса на минус, то эта точка является точкой максимума, а если с минуса на плюс, то точкой минимума функции. Признак возрастания и убывания функции: если производная функции положительна (отрицательна) на некотором промежутке, то функция возрастает (убывает) на этом промежутке. Признак экстремума: если производная функции в критической точке (то есть точке из области определения функции, в которой производная равна 0 или не существует) меняет знак с плюса на минус, то эта точка является точкой максимума, а если с минуса на плюс, то точкой минимума функции.

Доказательство неравенств Докажите, что если Докажите неравенство: Докажем неравенство Бернулли с помощью производной, причем равенство достигается при Докажите, что если Докажите неравенство: Докажем неравенство Бернулли с помощью производной, причем равенство достигается при

Что больше: а) б) в) Решим более общую задачу: выясним, когда, а когда, если a>1, b>1 и числа a и b различны. Что больше: а) б) в) Решим более общую задачу: выясним, когда, а когда, если a>1, b>1 и числа a и b различны.

Докажите неравенства а) б) а) б)

Элективный курс Тема « Нестандартные неравенства» Цель: расширение и углубление знаний по математике; развитие интеллектуальных способностей, логического мышления и познавательного интереса; способствует подготовке к математическим конкурсам и олимпиадам разного уровня; оказание помощи в выборе профиля обучения в более старших классах. Тема « Нестандартные неравенства» Цель: расширение и углубление знаний по математике; развитие интеллектуальных способностей, логического мышления и познавательного интереса; способствует подготовке к математическим конкурсам и олимпиадам разного уровня; оказание помощи в выборе профиля обучения в более старших классах.

Тема и содержание Всего часов Форма работы 1 Числовые неравенства и их свойства. (Понятие положительного и отрицательного действительного числа,число нуль.Основные законы сложения и умножения действительных чисел. Свойства суммы и произведения положительных чисел. Понятие «больше» для действительных чисел, его геометрическая интерпретация и свойства. Понятие «меньше», «не больше» и «не меньше». Числовые неравенства. Простейшие свойства числовых неравенств.) 2Лекция 2Основные методы установления истинности числовых неравенств. ( Сравнение двух чисел- значений числовых выражений «по определению», путем сравнения их отношения с единицей, путем сравнения их степеней, путем сравнения с промежуточными числами). 4Лекция-1 Семинар-2,5 Тестирование -0,5 Учебно –тематический план

3Решение текстовых задач на сравнение чисел.2 Решение задач. 4 Основные методы доказательства неравенств. (Метод перехода к равносильному неравенству; метод вставки или метод усиления неравенств.) 3 Лекция-1 Самостоятел ьное решение задач. 5Доказательство неравенств с помощью опорных неравенств. ( Доказательство неравенств со взаимно-обратными числами. Среднее арифметическое и среднее геометрическое. Частные случаи неравенства Коши,их обоснование и применение. Неравенство Коши для произвольного числа переменных. Исторический экскурс. Некоторые неравенства эквивалентные неравенству Коши.) Неравенство Бернулли и его применение. 6Лекция-1,5 Самостоятел ьное решение заданий.Защита проектов, рефератов, творческих работ-4,5.

Известные факты, рассмотренные под необычным углом, вновь доказывают, что математика – интереснейшая дисциплина, полная загадок и тайн.