Существует ли функция Дирака? Матюшкин И.В., Московский институт электронной техники, Зеленоград

1. Категория существования в математике Шкала возрастания жесткости: –Конвенциализм/логицизм Математика - игра, играемая согласно определенным простым правилам с бессмысленными значками на бумаге (Гильберт) –Феноменология/сенсуализм В математике Вы не понимаете вещи. Вы только привыкаете к ним. (фон Нейман) –Платонизм/идеализм (Кантор, Фреге) В чистой математике мы созерцаем абсолютные истины, которые существовали в божественном уме прежде, чем утренние звезды ликовали вместе, и которые продолжат существовать там и тогда, когда последняя из них упадет с небес (Эверетт Э., XIXв) Сенсуализм – «быть воспринимаемым – значит существовать». Сенсуализм в математике – «быть созерцаемым представляемым) – значит существовать» Представимость образ целостность Шкала возрастания жесткости в отношении образов: –«за буквами ничего не стоит» –«довольствуемся образами» –«одна идеальная сущность порождает несколько образов» Примеры существующих математических объектов: –Множество (мыслится как целокупность элементов в пространстве) –Функция/операция (мыслится как целокупность связей между элементами) –Алгоритм (мыслится как целокупность операций над объектом во времени)

2. Наивное «физическое» определение дельта-функции История вопроса: I –Г.Р. Кирхгоф (1882), волновое уравнение –Оливер Хевисайд (1899), «импульсная функция» и введение тета-функции Физический смысл –Ускорение тела при ударе –Потенциал точечного заряда (приближенно) –Пространственное распределение точечных масс –Наступление события во времени Методологические замечания –Дельта-функция нужна физикам, чтобы описать дискретное непрерывными средствами –Двойник функции Дирака δ(x) возникает при описании дискретного дискретными средствами, а именно символ Кронекера δ ij (при обобщении – характеристическая функция принадлежности к множеству)

3. Функциональное определение дельта-функции История вопроса: II –Поль Дирак(1928), квантовая механика Новое определение-свойство –Теория обобщенных функций Соболева-Шварца (50-е гг. ХХв.) Математический смысл –в окончательном ответе сингулярные функции или вовсе отсутствуют или фигурируют под знаком интеграла… нет прямой необходимости отвечать на вопрос, что такое сингулярная функция сама по себе: нам достаточно ответить на вопрос, что означает интеграл от произведения сингулярной функции и «хорошей» функции»… мы можем теперь отождествить «сингулярную функцию» с тем функционалом, о котором конкретно идет речь, это и будет вполне достаточным её определением (Гельфанд И.М. ) Методологическое замечание –Ясно, что, определяя дельта-функцию, мы вводим в рассмотрение совсем новый объект… Ведь, скажем, и число 2, с которым математикам столь часто приходится иметь дело, с точки зрения арифметики настоящим числом не является: оно задается не точным своим значением, а лишь совокупностью приближений 1;1.4; 1.41; 1.414; ;… к этому числу (которые, впрочем, характеризуют 2 достаточно полно для того, чтобы мы могли свободно этим числом пользоваться) (Зельдович Я.Б.) Математическое определение 1.Семейство приближающих «иглообразных» функций δ(x,λ) 2.Семейство основных функций φ(x) должны иметь непрерывные производные всех порядков и быть отличными от нуля лишь на некотором отрезке [- T;T] на числовой прямой. 3.Предельные переходы в духе традиции Коши и Вейерштрасса Никакого интегрирования не производится, это лишь символическая запись

4. Математические свойства функции Дирака Связь с рядами Фурье (расходимость в нуле) –Подмечено еще Хевисайдом –Артефакт «физического подхода» Связь с теорией меры (замена переменных в интеграле) –Математическая физика (например, 1-е уравнение Максвелла в дифференциальной форме) –Теория вероятностей (исчисление моментов, если случайная величина принимает дискретные значения) –«Соблазн» платонизма Связь с тета-функцией, которая считается также обобщенной –Как частный пример интегрирования по частям Четность –Отражена в а) Упражнение с функцией Хевисайда Два равносильных определения 1) – взято из учебника Владимирова Незаконно, ибо θ не основная

5. Альтернативный путь введения дельта-функции Недостатки функционального подхода –Психологическое противоречие с образно-физическим –Два предельных перехода и три бесконечно малых величины, что влечет громоздкость конструкций –Устаревшая (?) парадигма XIXв. обоснования анализа через потенциальную бесконечность Предпосылки альтернативы –Актуальная бесконечность и трансфинитные числа канторовской теории множеств Способствует реализации программы платонизма и не противоречит феноменологии –Конструкция расширенной числовой прямой (и сферы Римана для комплексной плоскости) Удобство отображения замкнутого множества в замкнутое, например, единичного отрезка в полупрямую по формуле y=1/x (откуда следует, 1/0=, буквально) –Опыт математического программного обеспечения и константы Inf, NaN, Null Например, пакет MATLAB; Inf – бесконечность, NaN – not-a-number – неопределенное значение, Null – указатель на ничто Ничто не мешает использовать в качестве значений переменных наряду с обычными числами эти константы Новые зрительные образы –Знак символизирует не одну точку, метафизически взятую нами с потолка, а связывает воедино сразу множество объектов, обладающим трансфинитным статусом, но, возможно, разнокачественных. Сравнил бесконечность с вокзалом, куда на разные пути прибывают поезда со всех концов страны Математики. В одномерном случае тождество а* = (а 0) проливает свет на интуитивную множественность бесконечностей, неразличимую в символе. Сфера Римана дает еще более убедительный пример, который окончательно снимает все недоговоренности и артефакты потенциальной бесконечности, еще видимые для 1D. Весь горизонт сжимается в единство одной точки. –Изменение образа нуля и единицы. Можно предложить сохранить запись 0* =1, введя наряду с Inf и новое число NaN, и подразумевая тождество 0* =1 1* NaN. Реализация программы –Дополнение обычной арифметики «новыми жителями» –Введение актуальной бесконечности в конструкции матанализа, в частности, доопределение операций дифференцирования и интегрирования В этой связи p-аддический анализ, переход от интеграла Римана к интегралу Лебега