ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

Множества Для любых объектов м множество этих объектов обозначается через. Следует отметить, что объект а и множество {а} - это различные вещи: первое - это объект, обозначенный через а, второе-это множество, состоящее из (единственного) объекта а. Другая форма обозначения состоит в указании общего свойства объектов, из которых мы образуем множество. Оно имеет вид: M={x | P (x) } Читается: множество всех х таких, что Р (х), где Р обозначает свойство, характеризующее в точности все элементы данного множества. Например {x | | | | x- целое число, делящееся на 2}- означает множество четных чисел Элементы множества- это то из чего оно состоит.

Числовые множества В алгебре чаще всего приходится иметь дело с множествами, элементами которых являются числа. Такие множества называются числовыми. Для некоторых часто встречающихся числовых множеств в школьном курсе математики приняты стандартные обозначения: N - множество натуральных чисел,Z - множество целых чисел, Q - множество рациональных чисел, R - множество действительных чисел. В алгебре чаще всего приходится иметь дело с множествами, элементами которых являются числа. Такие множества называются числовыми. Для некоторых часто встречающихся числовых множеств в школьном курсе математики приняты стандартные обозначения: N - множество натуральных чисел,Z - множество целых чисел, Q - множество рациональных чисел, R - множество действительных чисел. R N QZ

Равенство множеств Если А В и В А,то множества А и В называют равными и обозначают :А=В. Даны множества: А - множество целых чисел; В - множество четных чисел; С - множество нечетных чисел; D - множество чисел, кратных 3; Е- множество чисел, кратных 6; Т - множество чисел, оканчивающихся цифрой 0; К - множество чисел, которые при делении на 8 дают в остатке 5; F - множество чисел, кратных 2 и 3 одновременно; М - множество чисел, кратных 2 и 5 одновременно. Имеются ли среди данных множеств равные множества?

Подмножества Если все элементы множества А являются и элементами множества В, то множество А называют подмножеством множества В. Многоугольники Треугольники

Пустое множество Рассмотрим два множества: {все летающие крокодилы} Множество летающих крокодилов – это пустое множество: в нем нет элементов. Оно настолько важное, что для него даже придумали особый символ.Символ для пустого множества только один, потому что пустое множество единственно. и {все участники олимпиады}. Является ли одно из них подмножеством другого?

Операции над множествами. Пересечение множеств А и В называется множество, которое состоит из тех и только тех элементов,каждый из которых принадлежит и множеству А и множеству В. А В A B Пересечение множеств

Объединение множеств Объединением множеств А и В называется множество, которое состоит из тех и только тех элементов основного множества, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств А или В. А В

Конечные множества Множество называется конечным,если оно содержит конечное число элементов. элементов. Пусть А –некое конечное множество. Обозначим через m (A) количество элементов в множестве А. Для любых конечных множеств А и В справедливо равенство m (A B)=m( A) +m (B) –m (A B). m (A B)=m( A) +m (B) –m (A B). Задача. Лыжи 18 Плавание 16 Не занимаются 10 Всего 30 ? m (L P)= =14

Дополнение Разностью между множествами А и В называется множество А/В, которое состоит из тех элементов множества А,которые не содержатся в множестве В. Разностью между множествами А и В называется множество А/В, которое состоит из тех элементов множества А,которые не содержатся в множестве В. А А В А/ВА/В

Отображение множеств Определение 1. Соответствие, сопоставляющее каждому элементу х множества Х один и только один элемент множества У, называется отображением множества Х в множество У. Пример 1. Если каждое пальто в гардеробе висит на одном крючке, то, ставя в соответствие каждому пальто крючок, на котором оно висит, получаем отображение множества пальто Х в множество крючков У. Пример 2. Ставя в соответствие каждому треугольнику его площадь, получаем отображение множества треугольников Х в множества R.

Виды отображений Определение 2. Если при отображении f различные элементы множества Х переходят в различные элементы множества У, то отображение f называют обратимым. Определение 3. Если при отображении f каждый элемент множества У является образом хотя бы одного элемента из Х, то f называют отображением Х на У, а не Х в У. Определение 3. Если при отображении f каждый элемент множества У является образом хотя бы одного элемента из Х, то f называют отображением Х на У, а не Х в У. Определение 4. Обратимое отображение множества Х на множество У называют взаимно однозначным отображением Х на У.

Между множествами А и В установлено взаимно однозначное соответствие, если: а) каждому элементу а А соответствует единственный элемент b В В; б) каждый элемент b при этом соответствует не которому элементу а А; в) разным элементам множества А соответствуют разные элементы множества В. Взаимно однозначное соответствие

Сравнение множеств F1=(1,2,3,4,5) F2=(1,1/2,1/3,1/4,1/5) Между элементами,составляющими эти два множества,можно установить следующее соответствие: ½ 1/3 ¼ 1/5

Эквивалентные или равномощные? Множества А и В называются эквивалентными или равномощными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие. Данное определение годится для любых множеств, а не только конечных.

Эквивалентные множества Множества {0, 1, 2} и {лошадь, корова, телевизор} равномощны. А множества {0, 1, 2} и {лошадь, корова} неравномощны. А множества {0, 1, 2} и {лошадь, корова} неравномощны. А равномощны ли множества ? Неравномощны: в множестве нет ни одного элемента, а в множестве есть один элемент - пустое множество ( множество - это коробка, в которой лежит пустое множество, а пустое множество - это коробка, в которой ничего не лежит). А равномощны ли множества ? Неравномощны: в множестве нет ни одного элемента, а в множестве есть один элемент - пустое множество ( множество - это коробка, в которой лежит пустое множество, а пустое множество - это коробка, в которой ничего не лежит). Множества N (множество всех натуральных чисел) и N\{1} (множество всех натуральных чисел без единицы) равномощны: легко видеть, что отображение f: N N\{1},f: п п + 1,является взаимно однозначным.

Множество натуральных чисел и множество четных положительных чисел эквивалентны, т.к. между ними можно установить взаимнооднозначное соответствие, например, по следующему правилу: n … 2n Множество называется счетным, если оно равномощно множеству N натуральных чисел, то есть если его можно представить в виде (здесь - элемент, соответствующий числу ; соответствие взаимно однозначно, так что все различны).

Множества А ={ } и В={0, } счетны, а следовательно, эквивалентны. В самом деле, установим взаимно однозначное соответствие между элементами множеств следующим образом: А А … … … N N … n-1 …. n … В 0 0 … … …

А существует ли соответствие между точками треугольника и окружности?! F1F1 F2F2 P1P1 Q1Q1 P2P2 Q2Q2 Р1 Р2 Q1 Q2 Главный признак сравнения или различия бесконечных множеств состоит в том, чтобы выяснить, имеется ли между ними взаимно однозначное соответствие или нет. Например, между точками треугольника и окружности такое соответствие, как видно на рис., существует. Для этого из общей внутренней точки О проведем радиус; он пересечет треугольник (имеется в виду его граница) и окружность в единственных точках Р1 и Р2. Соответствие f устанавливается по формуле f (P1) =Р2. Так как радиус можно провести через каждую точку Q1 треугольника и каждую точку Q2 окружности, то соответствие f будет взаимно однозначным соответствием между границей треугольника и окружностью.

Любой отрезок [a, b], э э э эквивалентен отрезку [0, 1]. Доказательство. Искомое взаимно однозначное соответствие можно установить как аналитически, например формулой : х [0, 1], у [a, b]. х у у =( b - a )x+a. А также и геометрически:

Установим взаимно однозначное соответствие между точками интервала (0;1) и точками полуинтервала [0, 1). Заметим, что множество (0;1)\ А множество [0, 1)\В рррр аааа вввв нннн ыыыы....Обозначим С= (0;1)\ А = [0, 1)\В. Тогда (0;1)=А С, [0, 1)=В С. Пусть х (0, 1). Если х А, то поставим ему в соответствие у В по закону, описанному в примере, если же х С, то поставим в соответствие себя: у = х Таким образом устанавливается соответствие между (0, 1) и [0, 1). Следовательно, множества (0, 1) и [0, 1) эквивалентны.

Теорема 1. Подмножество счетного множества конечно или счетно. Подмножество счетного множества конечно или счетно.Доказательство Пусть В - подмножество счетного множества А={ }. Пусть В - подмножество счетного множества А={ }. Выбросим из последовательности Выбросим из последовательности те члены, которые не принадлежат В (сохраняя порядок оставшихся). Тогда оставшиеся члены образуют либо конечную последовательность (и тогда В конечно), либо бесконечную (и тогда В счетно).

Теорема 2. Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество. Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.Доказательство (б) Пусть А бесконечно. Тогда оно непусто и содержит некоторый элемент. Будучи бесконечным, множество А не исчерпывается элементом - возьмем какой - нибудь другой элемент, и т.д. Получится последовательность ; построение не прервется ни на каком шаге, поскольку А бесконечно. Теперь множество В= {,,, …..} и будет искомым счетным подмножеством. (Заметим, что В вовсе не обязано совпадать с А, даже если А счетно.)

Теорема 3. Множество S числовых кортежей счетно. Доказательство. Возьмем последовательность простых чисел, расположенных в порядке возрастания: 2,3,5,7, ….. 2,3,5,7, ….. Занумеруем эти числа, т. е. положим р1= 2, р2 = 3, р3 = 5 и т.д. Каждому числовому кортежу ( ) поставим в соответствие натуральное число m=. Например, кортежу (4,1,3) сопоставляется число =6000 При этом различным кортежам соответствуют различные натуральные числа. В самом деле предположим что кортежи ( ) и ( ) различны, а им соответствует одно и то же число m. И потому m обладало бы двумя различными разложениями на простые множители, что невозможно. Так как каждое натуральное число, кроме 1, разлагается на простые множители, то соответствие ( ) задает обратимое отображение множества числовых кортежей на множество натуральных чисел, больших единицы. Так как это множество счетно, то и множество S счетно.

Множество мощности континуума. Если множество А эквивалентно множеству точек отрезка [0; 1], то говорят, что оно имеет мощность континуума (от латинского «континуум»­ непрерывный). Докажем, что множество точек любого отрезка имеет мощность континуума. Мы даже докажем большее, а именно: существование взаимно однозначного соответствия между точками отрезков [а;в] и [с;d]. На рисунке показано, как устанавливается такое соответствие. Если множество А эквивалентно множеству точек отрезка [0; 1], то говорят, что оно имеет мощность континуума (от латинского «континуум»­ непрерывный). Докажем, что множество точек любого отрезка имеет мощность континуума. Мы даже докажем большее, а именно: существование взаимно однозначного соответствия между точками отрезков [а;в] и [с;d]. На рисунке показано, как устанавливается такое соответствие. Множество точек открытого промежутка (0;1) имеет мощность континуума. Аналогично, что любой промежуток (a; d) имеет мощность континуума. Ту же мощность имеют и полуоткрытые промежутки [а; d) и (a; d].