Логические основы работы компьютера. 1

ВВЕДЕНИЕ: Мы познакомились с устройством компьютера и узнали, что в процессе обработки двоичной информации процессор выполняет арифметические и логические операции. Поэтому для получения представлений об устройстве компьютера необходимо познакомиться и с основными логическими элементами, лежащими в основе построения компьютера и работающими аналогично переключательным схемам. Для понимания принципа работы таких элементов начнем это знакомство с основных начальных понятий формальной логики. Термин «логика» происходит от древнегреческого logos, означающего «слово, мысль, понятие, рассуждение, закон». ВВЕДЕНИЕ: Мы познакомились с устройством компьютера и узнали, что в процессе обработки двоичной информации процессор выполняет арифметические и логические операции. Поэтому для получения представлений об устройстве компьютера необходимо познакомиться и с основными логическими элементами, лежащими в основе построения компьютера и работающими аналогично переключательным схемам. Для понимания принципа работы таких элементов начнем это знакомство с основных начальных понятий формальной логики. Термин «логика» происходит от древнегреческого logos, означающего «слово, мысль, понятие, рассуждение, закон».переключательным схемам.переключательным схемам. 2

Логика - наука, изучающая законы и формы мышления. Этапы развития логики: I этап - формальная логика. Основатель Аристотель ( гг. до н.э.), ввел основные формы абстрактного мышления. II этап - математическая логика. Основатель - немецкий ученый и философ Лейбниц ( ), предпринял попытку логических вычислений. III этап - математическая логика (булева алгебра). Основатель - английский математик Джордж Буль ( ), ввел алфавит, орфографию и грамматику для математической логики. 3

Алгебра логики - это математический аппарат с помощью которого записывают (кодируют), упрощают, вычисляют и преобразовывают логические высказывания. Высказывание (суждение) - повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно. Высказывание может принимать только одно из двух логических значений - истинно (1) или ложь (0). Примеры высказывании: Примеры высказывании: Земля - планета Солнечной системы (истинное высказывание). Земля - планета Солнечной системы (истинное высказывание) > 10 (ложное высказывание) > 10 (ложное высказывание). 4

Утверждение суждение, которое требуется доказать или опровергнуть, например, сумма внутренних углов треугольника равна180°. Рассуждение цепочка высказываний или утверждений, определённым образом связанных друг с другом, например, если хотите начать работать на компьютере, то необходимо сначала включить электропитание. Умозаключение логическая операция, в результате которой из одного или нескольких данных суждений получается (выводится) новое суждение. Область знаний, которая изучает истинность или ложность высказываний (суждений), называется математической логикой. Утверждения в математической логике называются логическими выражениями. 5

Объясните, почему следующие предложения не являются высказываниями: Объясните, почему следующие предложения не являются высказываниями: Уходя гасите свет. Уходя гасите свет. Какого цвета этот дом? Какого цвета этот дом? Посмотрите в окно. Посмотрите в окно. 6

Высказывания бывают простые и сложные. Простое высказывание (логическая переменная) Простое высказывание (логическая переменная) содержит только одну простую мысль. Логические переменные обычно обозначаются буквами латинского алфавита : A, В, С, D... содержит только одну простую мысль. Логические переменные обычно обозначаются буквами латинского алфавита : A, В, С, D... Например, А = {Квадрат - это ромб}. Например, А = {Квадрат - это ромб}. Сложное высказывание (логическая функция) Сложное высказывание (логическая функция) содержит несколько простых мыслей, соединенных между собой с помощью логических операций. содержит несколько простых мыслей, соединенных между собой с помощью логических операций. Например, Например, F(A,B) = {Лил дождь, (и) дул холодный ветер}. F(A,B) = {Лил дождь, (и) дул холодный ветер}. А В А В 7

Значение логической функции можно определить с помощью специальной таблицы (таблицы истинности). Таблица истинности - таблица, в которой перечислены все возможные значения входящих логических переменных и соответствующие им значения функции. Например: Значение логической функции можно определить с помощью специальной таблицы (таблицы истинности). Таблица истинности - таблица, в которой перечислены все возможные значения входящих логических переменных и соответствующие им значения функции. Например: А и В логические переменные, n = 2 А и В логические переменные, n = 2 F логическая функция F логическая функция Количество строк (q) в таблице истинности можно вычислить по формуле: Количество строк (q) в таблице истинности можно вычислить по формуле: q = 2 n q = 2 n 8 АВ F (A,B) F (A,B)

Логический элемент (вентиль) – часть электронной логической схемы, которая выполняет элементарную логическую операцию. Каждый логический элемент имеет свое условное обозначение, имеет один или несколько входов, на которые подаются сигналы «высокого» напряжения («1») и «низкого» напряжения («0»), и только один выход. 9

Основные логические операции 1. Отрицание (инверсия), от лат. inversio - переворачиваю: соответствует частице НЕ, словосочетанию НЕВЕРНО, ЧТО; соответствует частице НЕ, словосочетанию НЕВЕРНО, ЧТО; обозначение: не А, ¬А, А обозначение: не А, ¬А, А таблица истинности таблица истинности Инверсия логической переменной Инверсия логической переменной истинна, если сама переменная ложна, и, наоборот, инверсия ложна, если переменная истинна, пример: А={На улице идет снег}. A={Неверно, что на улице идет снег} А={На улице не идет снег}; А={На улице не идет снег}; 10 А А01 10

11 2. Логическое сложение (дизъюнкция), от лат. disjunctio - различаю: соответствует союзу ИЛИ; обозначение: +, или, or, V; таблица истинности: Дизъюнкция ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны. пример: F={Ha улице светит солнце или дует сильный ветер}; ABF

3. Логическое умножение (конъюнкция), от лат. conjunctio - связываю: соответствует союзу И (в естественном языке: и А, и В как А, так и В А вместе с В А, несмотря на В А, в то время как В); обозначение: х, *, &, и, ^, and; таблица истинности: Конъюнкция истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны. пример: F={Ha улице светит солнце и дует сильный ветер}; 12ABF

Любое сложное высказывание можно записать с помощью основных логических операций И, ИЛИ, НЕ. С помощью логических схем И, ИЛИ, НЕ можно реализовать любую логическую функцию, описывающую работу различных устройств компьютера. 13

Другие логические операции 4. Импликация (логическое следование), от лат. implicatio тесно связываю: соответствует речевому обороту ЕСЛИ...ТО соответствует речевому обороту ЕСЛИ...ТО (в естественном языке: если А, то В В, если А В необходимо для А (в естественном языке: если А, то В В, если А В необходимо для А А достаточно для В А достаточно для В А только тогда, когда В А только тогда, когда В В тогда, когда А В тогда, когда А Все А есть В; Все А есть В; обозначение:, => ; обозначение:, => ; 1414

таблица истинности: таблица истинности: 1515ABF Импликация истинна всегда, за исключением случая, когда А истинно, а В ложно, пример: Если идет дождь, то земля мокрая. F = A B

5. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ (равнозначность), от лат. Aequivalens – равноценное. 5. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ (равнозначность), от лат. Aequivalens – равноценное. coответствует речевым оборотам ЭКВИВАЛЕНТНО: coответствует речевым оборотам ЭКВИВАЛЕНТНО: необходимо и достаточно для тогда и только тогда, когда; необходимо и достаточно для тогда и только тогда, когда; обозначение: =,, ; обозначение: =,, ; 1616

таблица истинности: таблица истинности: 1717ABF Эквивалентность истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо истинны, либо ложны. пример: Я пойду гулять тогда и только тогда, когда выучу все уроки.

Порядок выполнения логических операций: 1) операция в скобках; 1) операция в скобках; 2) отрицание; 2) отрицание; 3) логическое умножение; 3) логическое умножение; 4) логическое сложение; 4) логическое сложение; 5) импликация; 5) импликация; 6) эквивалентность. 6) эквивалентность. 1818

Задание 1: Даны два высказывания: А={Число 5 - простое} В={Число 4 - нечетное} Очевидно, А=1, В=0. В чем заключаются высказывания: а) А __________________________ б) В __________________________ в) А и В _______________________ г) А + В _______________________ Какие из этих высказываний истинны? Какие из этих высказываний истинны? 19

Задание 2: По мишеням произведено три выстрела. Рассмотрим высказывание: Р K = {мишень поражена k- м выстрелом}, где k = 1, 2, 3. Что означают следующие высказывания: a) Р 1 + Р 2 + Р 3 б) Р 1 Р 2 Р 3 в) Р 1 + Р 2 + Р 3 20

Задание 3: Запишите на языке алгебры логики следующие высказывания: Задание 3: Запишите на языке алгебры логики следующие высказывания: 1) Я поеду в Киев и если встречу друзей, то мы интересно проведем время. 2) Если я поеду в Киев и встречу там друзей, то мы интересно проведем время. 3) Неверно, что если погода пасмурная, то идет дождь тогда и только тогда, когда нет ветра. 21

ПОСТРОЕНИЕ ТАБЛИЦ ИСТИННОСТИ ДЛЯ СЛОЖНЫХ ЛОГИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ. 23

При изучении работы различных устройств компьютера приходится рассматривать такие его логические элементы, в которых реализуются сложные логические выражения. Поэтому необходимо научиться определять результат этих выражений, то есть строить для них таблицы истинности. При изучении работы различных устройств компьютера приходится рассматривать такие его логические элементы, в которых реализуются сложные логические выражения. Поэтому необходимо научиться определять результат этих выражений, то есть строить для них таблицы истинности. 24

Рассмотрим пример построения таблицы истинности для сложного (составного) логического выражения : Рассмотрим пример построения таблицы истинности для сложного (составного) логического выражения : 25

Порядок построения таблиц истинности по булеву выражению: Порядок построения таблиц истинности по булеву выражению: 1) определить число переменных; 1) определить число переменных; 2) определить число строк в таблице истинности: 2) определить число строк в таблице истинности: q = 2 n q = 2 n 3) записать все возможные значения переменных; 3) записать все возможные значения переменных; 4) определить количество логических операций и их порядок; 4) определить количество логических операций и их порядок; 5) записать логические операции в таблицу 5) записать логические операции в таблицу истинности и определить для каждой значение; истинности и определить для каждой значение; 6) подчеркнуть значения переменных, для которых F = 1. 6) подчеркнуть значения переменных, для которых F = 1. 26

Построим таблицу истинности для заданного сложного логического выражения: Построим таблицу истинности для заданного сложного логического выражения: 27ABC ¬ A B C

28 Подчеркнём значения переменных, для которых F = 1: ABC

Задания: построить таблицы истинности для логических выражений: 31 !!! Подготовиться к самостоятельной работе! (лог_7)

ЛОГИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ 33

Упрощённо можно представить работу компьютера как некоторого устройства, производящего обработку двоичных сигналов, соответствующих 0 и 1. Такую обработку в любом компьютере выполняют так называемые логические элементы, из которых составляются логические схемы, выполняющие различные логические операции. Реализация любых логических операций над двоичными сигналами основана на использовании логических элементов трех типов: И, ИЛИ, НЕ. Повтор см. слайд 9 Упрощённо можно представить работу компьютера как некоторого устройства, производящего обработку двоичных сигналов, соответствующих 0 и 1. Такую обработку в любом компьютере выполняют так называемые логические элементы, из которых составляются логические схемы, выполняющие различные логические операции. Реализация любых логических операций над двоичными сигналами основана на использовании логических элементов трех типов: И, ИЛИ, НЕ. Повтор см. слайд 9Повтор см. слайд 9Повтор см. слайд 9 34

Названия и условные обозначения логических элементов являются стандартными и используются при составлении и описании логических схем компьютеров. Названия и условные обозначения логических элементов являются стандартными и используются при составлении и описании логических схем компьютеров. Логический элемент НЕ (инвертор), Логический элемент НЕ (инвертор), логическая схема: логическая схема: 35 А А

логическая схема (дизъюнктор) логическая схема (дизъюнктор) 36 А В 1 F = A + B

логическая схема (конъюнктор) логическая схема (конъюнктор) 37 А В &F = A B

Построение логических схем по булеву выражению: 1) определить число переменных; 1) определить число переменных; 2) определить количество логических операций и их порядок; 2) определить количество логических операций и их порядок; 3) построить для каждой логической операции свою схему (если это возможно); 3) построить для каждой логической операции свою схему (если это возможно); 4) объединить логические схемы в порядке выполнения логических операций. 4) объединить логические схемы в порядке выполнения логических операций. 38

Рассмотрим пример построения логической схемы по булеву выражению : Рассмотрим пример построения логической схемы по булеву выражению : 39

40 & А Логическая схема : 1 В С

Задания: построить логические схемы по булевым выражениям: 42

ПОДГОТОВКА К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ 1. 43

Построение булева выражения по логической схеме: 1) на выходе каждого логического элемента записать результат логической операции; 2) записать получившуюся формулу на выходе последнего элемента; 3) упростить получившуюся формулу. 44

Задание 1: Построить булево выражение по логической схеме: 45 1 & B A C F

Задание 2: Построить булево выражение по логической схеме: 46

ПОДГОТОВКА К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ 2. 47

Получение булева выражения по таблице истинности: выбрать значения переменных, для которых значение функции равно 1; выбрать значения переменных, для которых значение функции равно 1; записать логическое умножение всех переменных для каждой строки, где F = 1 (если значение переменной равно 0, то берется ее отрицание); записать логическое умножение всех переменных для каждой строки, где F = 1 (если значение переменной равно 0, то берется ее отрицание); логически сложить полученные выражения; логически сложить полученные выражения; упростить полученное выражение c помощью тождеств и законов алгебры логики. упростить полученное выражение c помощью тождеств и законов алгебры логики. 48

ТОЖДЕСТВА АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ. Логического сложения Логического сложения 1) A + 0 = A 2) A + 1 = 1 3) A + A = A 4) A + A = 1 (из двух противоречивых (из двух противоречивых высказываний хотя бы одно истинно) истинно) 5) А = А (двойное отрицание) (двойное отрицание) Логического умножения Логического умножения 1) A 0 = 0 2) A 1 = A 3) A A = A 4) A A = 0 (невозможно, чтобы одновременно два противоположных высказывания были истинны) (невозможно, чтобы одновременно два противоположных высказывания были истинны) 49 Распределительный закон: Распределительный закон: (A + B) C = A C + B C (A + B) C = A C + B C

Составить булевы выражения по таблицe истинности: Задание 1: Составить булевы выражения по таблицe истинности: Задание 1: 50ABCF

Составить булевы выражения по таблицe истинности: Задание 2: (самостоятельно) Составить булевы выражения по таблицe истинности: Задание 2: (самостоятельно) 51ABCF

Законы алгебры логики. Переместительный закон (коммутативности) Переместительный закон (коммутативности) 1) A + B = B + A 2) A B = B 1) A + B = B + A 2) A B = B A Сочетательный закон (ассоциативности) 3) (A + B) + C = A + (B + C) 4) (A B) C = A (B C) Распределительный закон (дистрибутивности) Распределительный закон (дистрибутивности) 5) (A + B) C = A C + B C 6) A B + C = (A + C) (B + C) Закон де Моргана (закон отрицания) Закон де Моргана (закон отрицания) 7) A + B = A B 8) A B = A + B 7) A + B = A B 8) A B = A + B 9) A B = B A = A + B 9) A B = B A = A + B 10) A B = A B + A B = (A + B) (A + B) 10) A B = A B + A B = (A + B) (A + B) 53

Закон поглощения Закон склеивания 54

Упростить логические выражения: 55

Домашнее задание: учебник Угринович (10-11 кл): учебник Угринович (10-11 кл): § 3.5. § 3.5. задания 3.5, 3.6. задания 3.5, 3.6. подготовиться к самостоятельной работе (упрощение логических функций, доказательство формул с помощью таблиц истинности). подготовиться к самостоятельной работе (упрощение логических функций, доказательство формул с помощью таблиц истинности). Дополнит_материалы: Интернет-версия издания: Шауцукова Л.З. Информатика

Подготовка к контрольной работе 2 57

ОСНОВНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ УСТРОЙСТВА КОМПЬЮТЕРА. 60

Физически каждый логический элемент представляет собой электронную схему, в которой на вход подаются некоторые сигналы, кодирующие 0 либо 1, а с выхода снимается также сигнал, соответствующий 0 или 1 в зависимости от типа логического элемента. В компьютерах и других автоматических устройствах широко применяются электрические схемы, содержащие сотни и тысячи переключательных элементов: реле, выключателей и т.п. Разработка таких схем весьма трудоёмкое дело. Оказалось, что здесь с успехом может быть использован аппарат алгебры логики. Физически каждый логический элемент представляет собой электронную схему, в которой на вход подаются некоторые сигналы, кодирующие 0 либо 1, а с выхода снимается также сигнал, соответствующий 0 или 1 в зависимости от типа логического элемента. В компьютерах и других автоматических устройствах широко применяются электрические схемы, содержащие сотни и тысячи переключательных элементов: реле, выключателей и т.п. Разработка таких схем весьма трудоёмкое дело. Оказалось, что здесь с успехом может быть использован аппарат алгебры логики. 61

Обработка любой информации на компьютере сводится к выполнению процессором различных арифметических и логических операций. Для этого в состав процессора входит арифметико-логическое устройство. Оно состоит из ряда устройств, построенных на рассмотренных выше логических элементах. Важнейшими из таких устройств являются сумматор и регистры. 62

Сумматор это электронная логическая схема, выполняющая суммирование двоичных чисел. При суммировании по правилам двоичной арифметики двух единиц результат равен 10 и происходит перенос 1 в старший двоичный разряд. Многоразрядный сумматор строится как логический схема на основе одноразрядных двоичных сумматоров. 63

Простейший одноразрядный двоичный сумматор (полусумматор). Такой сумматор принимает на входы младший разряд двоичных чисел А и В, складывает их, выдает значение (разряд) суммы S и переноса Р. Логика работы сумматора: 64 ABSP

Формулы работы сумматора: Упростим формулу для суммы S: Формулы работы сумматора: Упростим формулу для суммы S: 65

Логическая схема работы простейшего одноразрядного двоичного сумматора: Логическая схема работы простейшего одноразрядного двоичного сумматора: 66

Одноразрядный двоичный сумматор. При сложении чисел А и В в каждом разряде приходится иметь дело с тремя цифрами: цифрой аi первого слагаемого; цифрой bi второго слагаемого; переносом pi-1 из младшего разряда. В результате сложения получаем цифру суммы Si, и цифру «переноса» из данного разряда в следующий (старший) разряд pi+1. 67

Одноразрядный двоичный сумматор – устройство с тремя входами и двумя выходами, работа которого может быть описана следующей таблицей истинности: Одноразрядный двоичный сумматор – устройство с тремя входами и двумя выходами, работа которого может быть описана следующей таблицей истинности: 68 ВходыВыходы aiaiaiai bibibibi P i-1 sisisisi P i

A(a 2, a 1, a 0 ) и B(b 2, b 1, b 0 ) 101 = A 110 = B S(p 3, s 2, s 1, s 0 ) – 1011 = S это результат сложения A(a 2, a 1, a 0 ) и B(b 2, b 1, b 0 ) 101 = A 110 = B S(p 3, s 2, s 1, s 0 ) – 1011 = S это результат сложения 69

ТРИГГЕР. Триггер (trigger защелка, спусковой крючок) устройство памяти компьютера для хранения одного бита информации. Триггер может находиться в одном из двух устойчивых состояний, которые соответствуют логической «1» и логическому «0». Триггер способен почти мгновенно переходить («перебрасываться») из одного электрического состояния в другое и наоборот. ТРИГГЕР. Триггер (trigger защелка, спусковой крючок) устройство памяти компьютера для хранения одного бита информации. Триггер может находиться в одном из двух устойчивых состояний, которые соответствуют логической «1» и логическому «0». Триггер способен почти мгновенно переходить («перебрасываться») из одного электрического состояния в другое и наоборот. 70

Самый распространенный триггер SR-триггер (S и R - от английских слов set установка, reset сброс). Условное обозначение SR-триггера: Он имеет два входа: S и R, два выхода: Q и Q. На каждый из двух входов подаются входные сигналы в виде кратковременных импульсов («1»), отсутствие импульса - «0». За единичное состояние триггера принято Q = Т

SR-триггер реализован с помощью двух логических схем ИЛИ-НЕ. 72

73 Несколько триггеров объединяются в группы - регистры. Логическая схема и таблица истинности SR - триггера:

Регистр - представляет собой электронный узел, предназначенный для хранения многоразрядного двоичного числового кода. Этот код может быть числовым кодом команды, выполняемой процессором, либо кодом некоторого числа (данного), которое используется при выполнении данной команды. Упрощенно можно представить регистр как совокупность ячеек, в каждой из которых может быть записано одно из двух значений: 0 или 1, то есть один разряд двоичного числа. Для хранения в регистре одного байта информации необходимо 8 ячеек - триггеров. Число триггеров в регистре называется разрядностью компьютера, которая может быть равна 8,16,32 и

Основные виды регистров: 75 Регистры памяти. Оперативная память компьютера конструируется в виде набора регистров памяти, которые служат только для хранения информации. Один регистр образует одну ячейку памяти, которая имеет свой адрес. Если в регистр входит N триггеров, то можно запомнить N бит информации. Современные микросхемы памяти содержат миллионы триггеров.

Счётчик команд – регистр устройства управления (УУ) процессора, хранит адрес выполняемой в данный момент команды, по которому она находится в оперативной памяти. После выполнения данной команды УУ увеличивает значение этого регистра на единицу, т.е. вычисляет адрес в оперативной памяти, по которому расположена следующая команда. Регистр команд - регистр УУ, служит для вычисления адреса ячейки, где хранятся данные, требуемые выполняемой в данный момент программе. Регистр флагов – регистр УУ, хранит информацию о последней команде, выполненной процессором. 76

Задание : Сколько триггеров необходимо для хранения информации объёмом: 92 1 байт _________________________ 1 байт _________________________ 1 Кбайт _________________________ 1 Кбайт _________________________ 1 Мбайт _________________________ 1 Мбайт _________________________ 64 Мбайт ________________________ 64 Мбайт ________________________ 77

Домашнее задание: Учебник Угринович: § 3.7 (стр ). Учебник Угринович: § 3.7 (стр ). Задание Задание Подготовка к ЕГЭ: Подготовка к ЕГЭ: 78 ТЕСТ - СБОРКА (ЛОГИКА) ТЕСТ - СБОРКА (ЛОГИКА) Трениров_задания 2010 Трениров_задания 2010Трениров_задания 2010Трениров_задания 2010