МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ФАКТОРОВ Габдуллина О.Г.

Содержание Генераторы случайных чисел Требования к генераторам случайных чисел Моделирование случайных событий Моделирование дискретных случайных величин Моделирование непрерывных случайных величин Приложения метода статистических испытаний Список литературы Вопросы и задания Контрольные вопросы и задания 2

Генераторы случайных чисел Имитационная модель позволяет исследовать поведение различных систем с учетом влияния случайных факторов. Эти факторы могут быть отражены как случайные события; случайные величины; случайные функции. 3

4

Конгруэнтные процедуры описываются соотношениями вида: - неотрицательные целые числа 5

Мультипликативный метод - число цифр в системе счисления; - число бит в машинном слове 6

Алгоритм построения последовательности 1.Выбрать в качестве произ- вольное нечетное число 2.Вычислить коэффициент, где - любое целое положи- тельное число 3.Найти произведение, содержащее не более значащих разрядов 7

4.Взять младших разрядов в качестве первого члена последовательности, остальные отбросить 5.Определить дробь, из интервала 6.Присвоить 7.Вернуться к п.3. 8

Требования к генераторам случайных чисел Применяемые в имитационном моделировании случайные числа должны пройти тесты на пригодность Основные анализируемые характеристики: равномерность; стохастичность; независимость 9

10

Требования к генераторам случайных чисел Применяемые в имитационном моделировании случайные числа должны пройти тесты на пригодность. Основные анализируемые характеристики: равномерность; стохастичность; независимость. 11

Проверка равномерности Проверка равномерности может быть выполнена с помощью гистограммы относительных частот. Относительная частота попадания случайных чисел последовательности в каждый из подинтервалов будет 12

Проверка стохастичности Основной метод проверки – метод комбинаций Выбирают достаточно большую последователь- ность чисел и для неё определяют вероят- ность появления в каждом из ровно единиц. Теоретически закон появления единиц в разрядах двоичного числа может быть описан как биномиальный закон распределения - число сочетаний единиц в разрядах; - вероятность появления единицы в двоичном разряде, 13

Проверка независимости Две случайные величины и называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая. Для оценки независимости элементов последова- тельности вводят в рассмотрение дополни- тельную последовательность, в которой, где - величина сдвига последовательности относительно исходной последовательности. 14

Моделирование случайных событий Для моделирования случайного события, вероятность которого равна, достаточно сформировать одно число, равномерно распределённое на интервале. При попадании в интервал, считают, что событие наступило, в противном случае - не наступило, т. е. 15

Отказ произошёлОтказ не произошёл 16

Событие Моделирование полной группы событий Событие из группы считается наступившим, если выполняется условие: 17

Моделирование дискретных случайных величин Метод последовательных сравнений Число последовательно сравнивают со значением суммы, где - вероятность наименьшего значения случайной величины, - вероятность второго по величине значения и т.д. При первом выполнении условия проверка прекращается и дискретная величина считается принявшей значение 18

Пример. Смоделировать 8 значений дискретной случайной величины Х31124 Р0,250,160,59 r 0,10,370,080,990,120,660,310,85 X

Моделирование непрерывных случайных величин Метод обратной функции Пусть имеется некоторая непрерывная случайная величина, заданная функцией распределения. Между случайной величиной, распределённой в интервале, и функцией распределения случайной величины существует взаимно однозначное соответствие, т. е. Отсюда следует, что Где - обратная функция 20

Моделирование случайных величин с равномерным распределением 1.Функция распределения случайной величины, распределённой равномерно в интервале Откуда 2.Задаётся среднее значение случайной величины и величина интервала. Тогда определение возможного значения случайной величины с равномерным распределением может быть произведено по формуле 21

Моделирование случайных величин с показательным законом распределения Пусть имеется случайная величина Х с показательным распределением: Применим метод обратной функции Решим это уравнение относительно, Отсюда Случайное число заключено в интервале, Следовательно - тоже случайная величина и 22

Моделирование случайных величин с нормальным законом распределения 1.Сложим 12 случайных величин с равномерным распределением в интервале 2. Нормируем и центрируем случайную величину 3.От нормированной и центрированной величины переходим к величине с заданными параметрами по формуле:, где - известное математическое ожидание случайной величины - известное среднее квадратическое отклонение случайной величины 23

Метод статистических испытаний (Монте-Карло) Метод Монте-Карло используется для вычисления интегралов, для решения систем линейных алгебраических уравнений высокого порядка, для исследования различного рода сложных систем. Суть его состоит в то, что результат испытания ставится в зависимость от значения некоторой случайной величины, распределенной по заданному закону. Поэтому результат каждого отдельного испытания также носит случайный характер. Проведя серию испытаний, получают множество значений наблюдаемой харак- теристики (выборку). Полученные статистические данные обрабатываются и представляются в виде численных оценок интересующих исследователя величин(характеристик системы). 24

Приложения метода статистических испытаний Сгенерируем пар случайных чисел, равномерно распределённых в данном прямоугольнике: Тогда доля точек, удовлетворяющих условию, является оценкой отношения интеграла от функции к к площади рассматриваемого прямоугольника. 25

Следовательно, оценка интеграла в данном методе может быть получена по формуле - число точек, удовлетворяющих условию - полное количество точек - площадь прямоугольника 26

Список литературы Могилев А.В. и др. Информатика: Учеб. пособие для студ.пед.вузов/ А.В. Могилев, Н.И. Пак,Е.К. Хеннер; Под ред. Е.К. Хеннера. Мю: Изд.центр «Академия», с Гнеденко Б.В Курс теории вероятностей. М.:Наука, 1965 Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массвого обслуживания. М.: Наука,1966 Савин Г.И. Системное моделирование сложных процессов М.: Фазис,2000

Вопросы и задания В чём состоит сущность теоремы Чебышева? Сформулируйте центральную предельную теорему. Дайте определение функции распределения непрерывной случайной величины и плотности распределения? Что такое математическое ожидание и дисперсия случайной величины? Сформулируйте теорему Бернулли. 27

Контрольные вопросы и задания 1.Сформулируйте метод компьютерной генерации последовательности равномерно распределённых случайных чисел? 2.Получите случайную последовательность из 5 чисел. 3.Какие требования предъявляются к генераторам случайных чисел? 4.Как можно смоделировать случайное событие? 5.Как моделируется непрерывная случайная величина с заданным законом распределения?

Вид кнопок навигации -Вернуться к содержанию