Формирование статистической культуры учащихся на уроках математики Подготовила: учитель математики МОШ І-ІІІ ступеней 2 Богомолова И.В.

Статистическое образование в зарубежной школе Уже много лет статистике обучают в школах Франции, Англии, Японии, Польши, России, США и др.

В начале 90-х годов прошлого столетия в программы по математике отечественной школы вошла новая линия – вероятностно-статистическая. Она имеет три составляющие: статистику, вероятность и комбинаторику. Статистическая составляющая занимает важное место в данной содержательной линии. Она способствует формированию статистической культуры, которая является неотъемлемой составляющей общей культуры современного человека.

СТАТИСТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ЭТО: Четкое определение показателя, для которого приводятся или собираются статистические данные. Понимание статистического характера массовых явлений. Умение воспринимать статистическую информацию, представленную в различных формах. Осознание, полна или не полна информация, т.е. хватит ли имеющихся данных для получения определенных выводов или следует их пополнить. Понимание того, что нельзя принимать ответственных решений, не имея соответствующей информации.

СТАТИСТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ЭТО: Понимание роли наблюдений и экспериментов в обосновании определенных утверждений. Понимание того, что для правильных выводов, достаточно репрезентативной выборки и не обязательно исследовать всю совокупность. Понимание сущности средних показателей статистических данных (среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое). Владение смыслом статистических характеристик (относительная частота, меры центральной тенденции: мода и медиана). Понимание содержания количественных характеристик рассеивания статистических данных (размах вариации, дисперсия и стандартное отклонение, коэффициент вариации).

СТАТИСТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ЭТО: Умение просчитывать влияние различных факторов на статистические данные. Умение различать статистически устойчивые и неустойчивые явления. Понимание того, что любой статистический вывод не является окончательным, абсолютно верным. Умение отличать функциональные зависимости от статистических. Понимание смысла мер связи между признаками (коэффициент корреляции) и умение их применять. Умение делать прогнозы на будущее на основании статистических данных.

Средства целенаправленного формирования стат. культуры Описательная статистика Математическая статистика

Завершающий (10-11 классы) (10-11 классы)Основной (7-9 классы) Пропедевтический (начальная школа и 5-6 классы) Изучение статистики в школе должно происходить несколько этапов:

Пропедевтический этап (начальная школа) В начальной школе целесообразным может быть начальное обучение проведению экспериментов, регистрации их результатов, их изображений, например, в виде таблиц и их интерпретации; чтению таблиц, в частности таблиц 2×2. При этом ученики овладевают такими приемами статистической деятельности: чтение, интерпретация таблиц; чтение, интерпретация схем, диаграмм, графиков; проведение опросов, регистрация и интерпретация их результатов; проведение статистических наблюдений, регистрация и интерпретация их результатов; проведение статистических экспериментов, регистрация и интерпретация их результатов; сравнение шансов наступления тех или иных событий по результатам конкретных статистических опросов, наблюдений, экспериментов; пропедевтическое формирование понимания важных статистических идей оценивания и проверки статистических гипотез.

Пропедевтический этап (5-6 классы) В 5-6 классах продолжается формирование тех же приемов деятельности, что и в начальной школе. Кроме этого в 5-6 классах можно добавить: построение графиков, диаграмм; вычисление среднего значения совокупности; использование процентных вычислений для интерпретации статистических данных; вычисление относительной частоты события.

Основной этап (7-9 классы) На втором должно продолжаться формирование, в основном, тех же приемов деятельности, что и в 5-6 классах, но на более высоком уровне, в более сложных условиях. Имеется в виду: чтение, интерпретация таблиц, их сравнение, оценивание реалистичности данных, представленных ними; чтение, интерпретация схем, диаграмм, графиков, прогнозирование поведения явлений, которые они отображают, в будущем; проведение опросов, статистических наблюдений, статистических экспериментов, регистрация и интерпретация их результатов; проведение имитационных экспериментов, регистрация и интерпретация их результатов; первичная обработка статистических данных; количественное вычисление вероятности наступления того или иного события по результатам конкретных статистических опросов, наблюдений, экспериментов; графическая интерпретация статистических данных; применение средних показателей (среднее арифметическое, мода, медиана) для характеристики статистических данных; применение показателей рассеивания данных (размах, среднее квадратичное значение, стандартное отклонение) для характеристики статистических данных; продолжение формирования понимания важных статистических идей оценивания и проверки статистических гипотез.

Завершающий этап (10-11 классы) На третьем должно продолжаться формирование на более высоком уровне, в более сложных условиях, приемов деятельности, сформированных на предыдущем этапе, и, кроме того, начинают рассматриваться некоторые новые приемы, касающиеся, в основном, элементов математической статистики. Речь идет о: первичной обработке статистических данных; применении средних показателей и показателей рассеивания для характеристики статистических данных; построении случайной выборки; оценивании неизвестной вероятности события; оценивании неизвестного среднего значения случайной величины; построении доверительных интервалов для неизвестных параметров; проверке статистических гипотез.

В государственном стандарте предусматривается, что учащиеся должны получить представление о способах представления данных, знания о статистических таблицах, рядах распределения и их наглядном представлении, моде, медиане, среднем значении.

Учебники для 5-6 классов содержат традиционный материал связанный со статистикой, а именно, среднее арифметическое и диаграммы. В учебниках для 7-9 классов его изучение планируется в конце 9 класса, предусматривается рассмотрение таких вопросов, как: «Статистические данные. Способы представления данных. Частота. Среднее значение». Учебники для старшей школы расширяют и углубляют статистические знания учащихся. В конце 11 класса запланировано изучение вопросов: Выборочные характеристики. Выборочный метод в статистике

Недостатки практической реализации программ Во-первых, не обеспечена непрерывность ее изучения. Ведь известно, что «понятия, которыми ребенок овладевает в процессе обучения, не усваиваются им сразу в их созревшем виде, а проходят более или менее длительный период развития, начиная от первых обобщений, доступных маленькому школьнику, до более сложных и глубоких понятий десятиклассника» Во-вторых, не обеспечена связь с другими содержательными линиями курса математики («Числа и вычисления», «Выражения и преобразования», «Уравнения и неравенства», «Функции, графики и их свойства») В-третьих, не предусматривается реализация связей статистики и других предметов (физикой, биологией, географией, информатикой, литературой). А это во многом помогло бы сформировать личностное отношение школьников к учебному процессу, помочь осознать значимость изучения данного материала, его связь с жизнью ученика. Все отмеченное выше негативно сказывается на теоретическом уровне усвоения данных знаний учениками и их применения на практике, ухудшается общий образовательный уровень. В своей статье Гнеденко Б.В. высказывает мнение о том, что «после школы молодые люди должны отчетливо понимать, что в природе и общественной жизни далеко не все процессы сводятся к чисто детерминистическим, что такого рода подход является только первым приближением к действительности, следующий шаг на пути познания – статистический».

Где обучать статистике школьников? Так, на уроках математики в начальных классах очень часто используются таблицы при решении текстовых задач (задание представляется в виде таблицы); при выполнении заданий, где предлагается заполнить пустые клеточки; для систематизации материала и так далее. Некоторые задания на уроках математики могут быть направлены на обучение учеников сбору, регистрации и интерпретации статистических данных. Например, при изучении многозначных чисел можно предложить ученикам выписать сколько и в каком месяце было затрачено электроэнергии семьями, сравнить их, выяснить на какие месяцы выпадают наибольшие (наименьшие) затраты, можно убедиться в случайности этих затрат. В конце концов, систематическое и целенаправленное развитие статистического мышления может быть реализовано в рамках вариативной составляющей учебного плана, где можно научить школьников читать и строить диаграммы, схемы, графики.

Некоторые интересные задачи и примеры

Задача 1 Тренеру в баскетбольную команду из двух претендентов необходимо отобрать одного. Во время последней тренировки были подсчитаны попадания мяча в корзину на каждые 10 бросков. Посмотрев на данные, предоставленные в таблице, трудно сделать выбор в пользу одного из претендентов. Если же мы сравним среднее арифметическое I и II учеников (они составляют 4,2 и 4,6 соответственно), то естественным будет взять в команду II ученика. Количество попаданий Ученик І ученик43536 ІІ ученик54365

Задача 2 Учащимся можно предложить провести небольшой опрос в классе и его результаты занести в следующую таблицу: С целью нахождения ответа на вопрос: «Сколько детей чаще всего бывает в украинских семьях?» собранные данные представляются уже в виде следующей таблицы. Эти данные представляются в графической форме (в виде столбчатых диаграмм), происходит знакомство школьников с особенностями представления данных в таком виде, предлагается ответить на ряд вопросов.

Задача 2 А есть ли какая-нибудь зависимость между количеством детей в семье и положением, занимаемым этой семьей в обществе? Для ответа на этот вопрос составляется таблица, на ее основе строится следующая гистограмма Далее на основе полученной информации из диаграммы делается ряд выводов и может быть даже сформулирована гипотеза: «Чем меньше количество детей в семье, тем чаще эта семья занимает положение в обществе».

Задача 3 Какой стратегии придерживаться в игре «Поле чудес»? Следует обратить внимание на частоту встречаемости гласных и согласных букв. Как это сделать? 1) Можно подсчитывать число гласных и согласных букв в словах во время игры… 2) В каком-то тексте популярной газеты подсчитать число встречающихся там гласных и согласных букв… 3) К каждой букве алфавита подобрать по паре слов, начинающихся на эти буквы, и подсчитать число гласных и согласных букв. Наиболее удобен второй вариант.

Задача 3 Частота букв в русском алфавите о 9.28 % а 8.66 % е 8.10 % и 7.45 % н 6.35 % т 6.30 % р 5.53 % с 5.45 % л 4.32 % в 4.19 % к 3.47 % п 3.35 % м 3.29 % у 2.90 % д 2.56 % я 2.22 % ы 2.11 % ь 1.90 % з 1.81 % б 1.51 % г 1.41 % й 1.31 % ч 1.27 % ю 1.03 % х 0.92 % ж 0.78 % ш 0.77 % ц 0.52% щ 0.49% ф 0.40% э 0.17% ъ 0.04 % Тем, кто поедет на «Поле чудес», совет заучить эту таблицу наизусть. И называть буквы в таком порядке. Так, например, казалось бы, такая «привычная» буква «б» употребляется реже, чем «редкая» буква «ы». Помнить надо также и то, что в слове не одни гласные. И что если вы угадали одну гласную, то нужно начинать идти по согласным. И кроме того, слово угадывается именно по согласным. Сравните: «**а**и*е» и «ср*вн*т*». И в том и в другом случае это слово «сравните».

Задача 4 Каждый игрок задается массой вопросов: Как часто я буду выигрывать или проигрывать? Каков шанс получить большой выигрыш в одной игре? Как играть? Какую выбрать стратегию для увеличения шанса на выигрыш? Одинаковы ли шансы выигрыша и проигрыша? Предлагаются два способа для нахождения ответов на поставленные вопросы: практический (игра на автомате) теоретический (в этом случае нужна информация о структуре и строении автомата). Автором проводится опыт: 1000 раз закидывают в игральный автомат монету и при этом 141 раз выигрывают. Вероятность получить какой-то выигрыш приближенно равна, в то время, как проигрыша -. Далее автор переходит к теоретическому способу проверки, где подсчитываются вероятности каждого из выигрышей. Пусть мы знаем устройство автомата: автомат имеет 3 барабана, на каждом из которых 20 секций со значками (см. таблицу)

Задача 4 Все значки на произвольном барабане появляются независимо от их появления на других барабанах. Вычислим количество появлений каждой выигрышной комбинации. Из таблицы видно, что на первом барабане отметка встречается 4 раза. Для каждого ее появления отметка на втором барабане появляется 1 раз. Поэтому на первых двух барабанах комбинация значков появляется раза, а на всех трех барабанах комбинация - раза (именно в таком порядке). Поскольку на каждом барабане по 20 секций, то всего может появиться разнообразных комбинаций. В следующей таблице в третьем столбце приведено количество раз встречи каждой из выигрышных комбинаций, в четвертом - вероятность появления каждого из них. Считаем, что барабан вращается с большой скоростью и каждая секция может появиться с той же вероятностью.

Задача 4 Любая выигрышная комбинация появляется = 1286 раз, поэтому вероятность выигрыша равна 0,161, соответственно, вероятность проигрыша - 0,839. Как видим, результаты, полученные на основании классического определения вероятности, хорошо согласуются со статистическими оценками вероятностей (5 столбик таблицы): 0,141 и 0,859 соответственно. Эмпирические и теоретические данные практически совпадают. Кстати, полученные данные указывают на низкую вероятность выигрыша, который помогает школьнику осознать, на какой риск он идет, играя в автоматы.

Пример (выборочный метод) Видимо, самым ярким примером фиаско в истории применения выборочного метода являются результаты опроса, проведенного в 1936 году журналом «Literary Digest». Редакция журнала разослала 10 миллионов бюллетеней, в которых просила получивших их людей ответить, за кого они будут голосовать на предстоящих выборах президента - за кандидата республиканской партии Лэндона А. или за демократа Рузвельта Ф. Было возвращено более 2 миллионов заполненных бюллетеней. Опубликованные в журнале результаты опроса предсказывали, что президентом станет Альфред М. Лэндон со счетом 57:43. Джордж Гэллап также включился в изучение электората с целью предсказания итогов голосований. 12 июня 1936 года, то есть более чем за шесть недель до начала «Literary Digest» своего опроса, он опубликовал сообщение о том, что журнал предскажет победу Ландона с 56% голосов избирателей и, соответственно поражение Рузвельта (44%). И далее он заявил, что этот прогноз будет ошибочным в силу неверности используемой журналом процедуры отбора респондентов. Конечно редактор «Literary Digest» Вилфред Функ был возмущен этой статьей. В открытом письме, опубликованном через неделю в The New York Times, он оспорил выводы «своего друга статистика», напомнив ему об успехах в прогнозах победы Герберта Гувера в 1928 и через четыре года Франклина Рузвельта. Однако, как писал Гэллап позже, он не очень рисковал, предсказывая прогноз журнала и оценивая его как ошибочный. В основе утверждений Гэллапа был результат его собственного методического пилотажного опроса. Он разослал 3000 почтовых карточек по адресам, аналогичным тем, которые использовались редакцией, и он был уверен в том, что его небольшая по объему выборка репрезентирует результат многомиллионной редакционной рассылки. Вывод: Для правильных выводов достаточно репрезентативной выборки и не обязательно исследовать всю совокупность

Задача 5 Некий городской житель решил переехать в деревню. Сведения об урожайности картофеля (ц/га) в двух селах за последние годы таковы: Село А: 180, 50, 60, 100, 170, 60, 150, 90, 120, 70, 60, , 170, 90, 180, 160. Село Б: 100, 110, 120, 100, 100, 110, 100, 120, 130, 130, 100, 130, 110. Какому из мест он отдаст предпочтение? В условиях этой задачи критерием принятия решении должен служить разброс значений урожайности. В селе А разброс больше, чем в селе Б. В селе А размах (разность между наибольшим и наименьшим значениями урожайностями) равен =130, в селе Б эта разность равна 30 ( ). Средняя урожайность картофеля в первом селе немного выше, чем во втором. Вместе с тем в селе А климатические условия таковы, что высокоурожайные для картофеля годы сменяются низкоурожайными. Видимо, лучше выбрать несколько меньшее значение средней урожайности, но при большей ее стабильности. Устойчивость урожая особенно важна для человека, еще не имеющего опыта ведения приусадебного хозяйства.

Задача 6 Очень часто в жизни нам приходится выяснять зависимости между различными величинами. Интересны вопросы: влияет ли возраст первоклассника на его успеваемость в первом классе; влияет ли скорость выполнения заданий на их точность; есть ли взаимосвязь между коэффициентом IQ и успеваемостью по математике? Такие отношения связи и называются корреляционными. Для их исследования приходиться находить виды зависимостей между средними значениями данных признаков. Например, если ваш коэффициент умственного развития IQ=125, а вашего(ей) мужа (жены) – 135, то значит ли это,что ваш будущий ребенок вырастет смышленым и его коэффициент IQ составит 130 (среднее из двух коэффициентов)? Взглянем на данные

Задача 6 Известно, что среднее значение коэффициента IQ у взрослых составляет 100. Вычислим по нему коэффициент корреляции Пирсона, где Изобразим связь между двумя переменными графически при помощи так называемой диаграммы рассевания. Взглянув на чертеж, сразу можем убедиться, что наблюдаются некоторые тенденции сходства средних показателей IQ родителей и их детей, но эта взаимосвязь не является абсолютной. Вообще те или иные значения коэффициента корреляции прямо не указывают на наличие или отсутствие причинной связи между признаками, но дают возможность выдвинуть гипотезу, которая подлежит проверке.

Задача 6 В свою очередь диаграммы рассеивания позволяют интерпретировать содержание коэффициента корреляции. В представленной таблице приведены иллюстрации для отдельных коэффициентов корреляции.

Литература 1. Державний стандарт базової і повної середньої освіти // Математика в школі. – Навчальна програма з математики для загальноосвітніх навчальних закладів, 5-9 класи (12- річна школа) // Математика в школі. – Бродський Я.С, Павлов О.Л. Описова статистика. Збираємо, зображаємо, сприймаємо, застосовуємо інформацію. – Донецьк: ДонНУ, Бродський Я.С., Павлов О.Л. Формування статистичних уявлень у початковій школі // Х.: «Основа», Початкове навчання і виховання. – Бродський Я.С., Павлов О.Л. Про вивчення елементів описової статистики у 5-6 класах // Х.: «Основа», Математика в школах України. – Бродський Я.С., Павлов О.Л. Статистика, ймовірність, комбінаторика: 7-9 класи // Математика, видавництво «Шкільний світ». – Бродський Я.С., Павлов О.Л. Навчання описової статистики у старшій школі. Прийнято до друку в видавництво «Основа». 8. Кимбл Г. Как правильно пользоваться статистикой. – М.: Финансы и статистика, Klakla Maciej, Serafin Stanisław. Matematyka 6. – Bielsko-Biała: KLEKS, Treliński Gustav, Wachnicki Eugeniusz. Matematyka 7. – Bielsko-Biała: KLEKS, Kąkol Henryk, Wołodźko Stanisław. Matematyka 8. – Bielsko-Biała: KLEKS, Гнеденко Б.В. Статистическое мышление и школьное математическое образование // Математика в школе. –