Задания с параметрами и их решения Автор: Шпак Анастасия, 9 класс Руководитель: Воробьёва В.Д., Учитель математики

Исследование квадратного трёхчлена.

Квадратным трёхчленом называется выражение: f(x)=ax 2 +bx+c (a0), графиком соответствующей функции является парабола a>0 a

В зависимости от величины дискриминанта D: D=b 2 -4ac существуют различные случаи расположения параболы по отношению к оси абсцисс 0x: При D>0; При D>0; При D=0; При D=0; При D

Существуют 2 различные точки пересечения параболы по отношению к оси абсцисс 0x (два различных действительных корня трехчлена).

Эти точки совпадают (случай кратного корня)

Точек пересечения с осью 0х нет (действительных корней нет) В последнем случае, если a>0, график параболы целиком лежит выше оси 0х. И если a

Координаты вершины параболы определяются формулами:

Теорема Виета Между корнями х 1 и х 2 квадратного трехчлена ax 2 +bx+c и коэффициентами существуют отношения: При помощи этих соотношений исследуются знаки корней.

Теорема 1 Для того чтобы корни квадратного трехчлена были действительными и имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнение следующих соотношений: D=b 2 -4ac0, >0, При этом оба корня будут положительными, если дополнительно наложить условие: >0, И оба корня будут отрицательны, если

Теорема 2 Для того чтобы корни квадратного трехчлена были действительными и имели разные знаки, необходимо и достаточно выполнение соотношений: D=b 2 -4ac>0, 0, Если же

Дополнительный материал 1. При решении многих задач требуется знание трех основных теорем о расположении корней квадратного трёхчлена на координатной прямой. 2. Пусть f(x)=ax 2 +bx+c имеет действительные корни х 1 и х 2, а х 0 - какое-нибудь действительное число. Тогда:

Теорема 3. Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена были меньше, чем число х 0 (т.е. лежали на координатной прямой левее, чем точка х 0 ), необходимо и достаточно выполнение условий: При а>0, D0, 0. При а < 0, D0,

Теорема 4: Для того чтобы один из корней квадратного трехчлена был меньше, чем число x 0, а другой больше числа x 0 (т.е. точка x 0 лежала бы между корнями), необходимо и достаточно выполнения условий: При a>0, f(x 0 ) < 0. При a < 0, f(x 0 ) > 0.

Теорема 5: для того чтобы оба корня квадратного трёхчлена были больше, чем число x 0 (т.е. лежали на координатной прямой правее, чем число x 0 ), необходимо и достаточно выполнение условий: При а>0, D0, > x 0, f(x 0 ) >0. При а x 0, f(x 0 ) < 0.

3. Во всех вышеперечисленных соотношениях f(x 0 ) представляет собой выражение (ax 0 2 +bx 0 +c).

Примеры

Пример 1 При каких вещественных a корни уравнения х 2 +ax+1=0 таковы, что х 1 4 +х 2 4 >1? (1)

Решение 1. По теореме Виета x 1 +x 2 =-a, x 1 x 2 =1 2. Поскольку x 1 4 +x 2 4 =(x 1 2 +x 2 2 ) 2 -2 x 1 2 x 2 2 =[(x 1 +x 2 ) 2 - 2x 1 x 2 ] 2 -2x 1 2 x 2 2, то неравенство (1) примет вид: x 1 4 +x 2 4 =[(-a) 2 -2] 2 -2=(a 2 - 2) 2 -2=a 4 -4a 2 +2>1. (2)

a 4 -4a 2 +2>1; a 4 -4a >0; a 4 -4a 2 +1=0; - биквадратное уравнение. a 2 =t; t 2 -4t+1=0; A=1; B=-4; C=1; D=16-4=12; t 1,2 = ; a 1 2 =2+3; a 2 2 =2-3; a 1 = ; a 2 = ; a 3 =- ; a 4 =- ; Решаем неравенство методом интервалов:

3. Решая неравенство (2), получим:

Пример 2 Для каждого действительного числа a решить уравнение: x 2 +|x|+a=0. (1)

Решение: 1. Представим уравнение (1) в виде x 2 +|x|=-a (2) и построим график функции y= x 2 +|x|. y= x 2 +x, x0; x 2 -x, x

Решение: 2. Решением уравнения (2) для различных значений параметра a представляются абсциссы точек пересечения графика функции y=x 2 +|x| и графика прямой y=-a.

Решение: 3. Отсюда при a0. x

Пример 3 При каких отрицательных значениях a система уравнений 2x+y=1 X 2 +y 2 =a 2 не имеет решений?

Решение: Решаем методом подстановки. Выражаем из уравнения 2x+y=1 переменную y и подставляем её в уравнение x 2 +y 2 =a 2. Получаем x 2 +(1-2x) 2 -a 2 =0; и решаем уравнение.

Решение: x 2 +(1-2x) 2 -a 2 =0; x 2 +4x 2 -4x+1-a 2 =0; 5x 2 -4x+1-a 2 =0; A= 5x 2 ; B=-4; C=1-a 2 ; D=b 2 -4ac=16-4*5(1-a 2 )=16-20(1-a 2 )= a 2 =20a 2 -4; 20a 2 -4=0; 4(5a 2 -1)=0; (5a 2 -1)=0; 5a 2 =1; a 2 =1/5; a 2 =0,2; a=0,2; - 0,2.

Ответ: При отрицательных значениях a (-; - 0,2) система уравнений 2x+y=1 X 2 +y 2 =a 2 не имеет решений.

Источники информации: В. С. Крамор Примеры с параметрами и их решения