ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИКТ НА УРОКАХ ГЕОМЕТРИИ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ТЕМЫ «КОМБИНАЦИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ» ПЕТРОВА ИРИНА ВЛАДИМИРОВНА идентификатор

При изучении темы «Комбинации геометрических тел» можно выделить следующие основные разделы: комбинации многогранников (в задачах на комбинации многогранников рассматриваются комбинации призм, комбинации пирамид и комбинации призм и пирамид); комбинации тел вращения (в задачах на комбинации тел вращения чаще всего встречаются комбинации шара и цилиндра, шара и конуса); комбинации многогранников и тел вращения ; сложные комбинации геометрических тел (сложными комбинациями называются комбинации трех и более тел); экстремальные задачи на комбинации тел.

Задача1 В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми: AB и A 1 C.

Искомый угол равен углу B 1 A 1 C. В треугольнике B 1 A 1 C проведем высоту CD 1. В прямоугольном треугольнике A 1 CD 1 катет A 1 D 1 равен 0,5; гипотенуза A 1 C равна. Следовательно, Решение.

Задача 2. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми: AB 1 и BC 1.

Достроим призму до 4-х угольной призмы. Проведем AD 1 параллельно BC 1. Искомый угол будет равен равен углу B 1 AD 1. В треугольнике AB 1 D 1 Используя теорему косинусов, находим Решение.

Задача 3 В кубе A…D 1 найдите угол между прямой и плоскостью AB 1 и BB 1 D 1. Ответ: 30 o.

В кубе A…D 1 найдите угол между прямой и плоскостью AB 1 и BCC 1. Ответ: 45 o.

Задача 4 В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и B 1 C 1.

Ответ:. Продолжим стороны B 1 C 1 и A 1 F 1 до пересечения в точке G. Треугольник A 1 B 1 G равносторонний. Его высота A 1 H является искомым общим перпендикуляром, длина которого равна. Решение.

Комбинации многогранников

В задачах на комбинации многогранников рассматриваются комбинации призм, комбинации пирамид и комбинации призм и пирамид. В условии задачи на комбинации многогранников должно быть точно описано их взаимное расположение. Чертеж к задаче по стереометрии на комбинации многогранников представляют собой проекцию комбинации на плоскость. Изображаемую фигуру следует изображать так, чтобы в плоскости, параллельной чертежу, оказались наиболее важные для решения элементы.

Задача 5. Построить изображение правильной треугольной пирамиды, вписанной в правильную треугольную призму так, чтобы вершины основания пирамиды принадлежали основаниям призмы.

Строим изображение основания пирамиды SLMN, вписанной в призму ABCA 1 B 1 C 1, затем находим основание S 1 высоты, для чего соединяем середины сторон треугольника основания с его противоположными вершинами. Далее на прямой, параллельной боковым ребрам призмы, от точки S 1 откладываем отрезок SS 1 =AA 1. Соединяя точку S с точками L,M,N, получаем изображение искомой пирамиды.

Задача 6. Центр верхнего основания правильной четырехугольной призмы и середины сторон нижнего основания служат вершинами вписанной в призму пирамиды, объем которой равен V. Найти объем пирамиды.

Решение: Пусть сторона основания призмы равна a, тогда сторона основания пирамиды равна, а площадь этого основания равна.Обозначим объем призмы через V 1, имеем Так как по условию объем равен V, то

Комбинации призм и шаров

Задача 7. При каком отношении между сторонами основания прямой треугольной призмы центр шара, описанного около призмы, лежит: а) на боковой грани призмы; б) внутри призмы; в) вне призмы? Решение. Так как центр шара должен лежать на перпендикуляре к плоскости основания призмы, проходящем через центр окружности, описанной около многоугольника основания, то в случае: а) когда центр описанной окружности лежит внутри многоугольника основания, центр шара лежит внутри призмы; б) когда центр описанной окружности лежит на стороне многоугольника основания, центр шара лежит на боковой грани призмы; в) когда центр описанной окружности лежит вне многоугольника основания, центр шара лежит вне призмы.

Чтобы подготовить учащихся к определению положения центра шара, вписанного в многогранники, можно предложить следующие задачи. 1. Найдите геометрическое место центров шаров, касающихся данной плоскости в данной на ней точке. 2. Найдите геометрическое место центров шаров, касающихся двух плоскостей: а) параллельных; б) пересекающихся. 3. Вокруг шара радиуса R описана правильная пятиугольная призма Найдите её объем.

Решение: Центр вписанного в призму шара лежит в точке пересечения плоскостей, делящие двугранные углы при основании пополам (биссектральных), как точка, одинаково удаленная от граней этих углов, и является вершиной двух пирамид, основаниями которых служат основания призмы. Двугранные углы при основании рассматриваемых пирамид равны как половины прямых двугранных углов при основании призмы, поэтому высоты пирамид проходят через центры окружностей, вписанных в основания призмы, и равны радиусам этих окружностей, так как линейные углы двугранных углов при основании содержат по 45. Высоты пирамид лежат на одной прямой (высоте призмы), так как основания пирамид параллельны друг другу как основания призмы. Следовательно центр вписанного шара должен лежать на высоте прямой призмы, соединяющей центры ее оснований в точке, делящий высоту пополам, одинаково удаленной от оснований призмы. Радиус шара равен радиусу окружности, вписанной в основание призмы.

Комбинации призм и цилиндров

Цилиндр называется вписанным в призму, если окружности его оснований являются вписанными в многоугольниками оснований призмы. В этом случае призму называют описанной около цилиндра. При этом радиус основания цилиндра равен радиусу окружности, описанной около основания призмы, а ось цилиндра совпадает с высотой призмы, соединяющей центры окружностей, описанных около оснований призмы. Итак, цилиндр может быть вписан только в прямую призму и описан около прямой призмы. Высота цилиндра равна высоте призмы.

Комбинации пирамид и цилиндров

Пирамида называется вписанной в цилиндр, если её основание лежит в плоскости одного из оснований цилиндра и является многоугольником, вписанным в окружность основания цилиндра, а вершина пирамиды находится на другом основании цилиндра. Цилиндр называется вписанным в пирамиду, если окружность одного из оснований цилиндра касается всех боковых граней пирамиды, а другое основание цилиндра лежит в плоскости основания пирамиды.

Задача 8. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно а и составляет с плоскостью основания угол l. В эту пирамиду вписан цилиндр с квадратным осевым сечением. Найти объем цилиндра.