Составные части задачи и рекомендации учащимся при их решении. 1) 1-й этап-анализ условия. Нельзя приступать к решению задачи, не уяснив четко, в чем заключается задание, т. е. не установив, каковы данные и искомые или посылки и заключения. Первый совет учителя: не спешить начинать решать задачу. Этот совет не означает, что задачу надо решать как можно медленней. Он означает, что решению задачи должна предшествовать подготовка, заключающаяся в следующем: а) сначала следует ознакомиться с задачей, внимательно прочитав ее содержание. При этом схватывается общая ситуация, описанная в задаче; б) ознакомившись с задачей, необходимо вникнуть в ее содержание. При этом нужно следовать такому совету: выделить в задаче данные и искомые, а в задаче на доказательство – посылки и заключения. в) Если задача геометрическая или связана с геометрическими фигурами, полезно сделать чертеж к задаче и обозначить на чертеже данные и искомые (это тоже совет, которому должен следовать ученик). г) В том случае, когда данные (или искомые) в задаче не обозначены, надо ввести подходящие обозначения. При решении текстовых задач алгебры и начал анализа вводят обозначения искомых или других переменных, принятых за искомые. д) Уже на первой стадии решения задачи, стадии анализа задания, рекомендуют ответить на вопрос: "Возможно ли решить задачу при таком условии?" Не всегда сразу удается ответить на этот вопрос, но иногда это можно сделать.

2) 2-й этап - поиск пути решения. Составление плана решения задачи, пожалуй, является главным шагом на пути ее решения. Правильно составленный план решения задачи почти гарантирует правильное ее решение. Но составление плана может оказаться сложным и длительным процессом. Поэтому крайне необходимо предлагать ученику ненавязчивые вопросы, советы, помогающие ему лучше и быстрее составить план решения задачи, фактически определить метод её решения: а) Известна ли решающему какая-либо подобная задача? Аналогичная задача? Если такая задача известна, то составление плана решения задачи не будет затруднительным. Другими словами можно ли применить метод сведения к ранее решенным. Но такая задача известна далеко не всегда. В этом случае может помочь в составлении плана решения совет. б) Подумайте, известна ли вам задача, к которой можно свести решаемую. Если такая задача известна решающему, то путь составления плана решения данной задачи очевиден: свести решаемую задачу к решенной ранее. Может оказаться, что родственная задача неизвестна решающему и он не может свести данную задачу к какой-либо известной. План же сразу составить не удается.

г) Составляя план решения задачи, всегда следует задавать себе (или решающему задачу ученику) вопрос: "Все ли данные задачи использованы?" Выявление неучтенных данных задачи облегчает составление плана ее решения. д) При составлении плана задачи иногда бывает полезно следовать совету: "Попытайтесь преобразовать искомые или данные". Часто преобразование искомых или данных способствует более быстрому составлению плана решения. При этом искомые преобразуют так, чтобы они приблизились к данным, а данные - так, чтобы они приблизились к искомым. Так, при каждом случае тождественных преобразований данные преобразуются, постепенно приближаясь к результату (искомому). Аналогично уравнение, систему уравнений, неравенство или систему неравенств преобразуют в равносильные, чтобы найти их корни или множество решений. е) Нередко случается так, что, следуя указанным выше советам, решающий задачу все же не может составить план ее решения. Тогда может помочь еще один совет: "Попробуйте решить лишь часть задачи", т. е. попробуйте сначала удовлетворить лишь части условий, с тем чтобы далее искать способ удовлетворить оставшимся условиям задачи. Другими словами: может ли задача с помощью анализа быть разбита на части, а затем решения этих задач синтетическим путем объединяются в единое целое. ж) Рекомендуют также в составлении плана решения задачи ответить на вопрос: "Для какого частного случая возможно достаточно быстро решить эту задачу?" Обнаружив такой частный случай, решающий ставит перед собой новую цель - воспользоваться решением задачи в найденном частном случае для более общего (но, может быть, не самого общего) случая.

3) 3-й этап - непосредственно решение. План указывает лишь общий контур решения задачи. При реализации плана решающий задачу рассматривает все детали, которые вписываются в этот контур. Эти детали надо рассматривать тщательно и терпеливо. Но при этом ученику (решающему задачу) полезно следовать некоторым советам: а) Проверяйте каждый свой шаг, убеждайтесь, что он совершен правильно. Иными словами, нужно доказывать правильность каждого шага ссылками на соответствующие, известные ранее математические факты, предложения. б) При реализации плана поможет и совет: "Замените термины и символы их определениями". Так, термин "параллелограмм" заменяется его определением: "Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны", термин "предел числовой последовательности" для доказательства, например, того предложения, что предел суммы двух последовательностей, имеющих пределы, равен сумме пределов этих последовательностей, можно заменить, и вполне успешно, его определением.

4) 4-й этап - проверка и исследование задачи. Даже очень хорошие ученики, получив ответ и тщательно изложив ход решения, считают задачу решенной. А ведь получение результата не означает еще, что задача решена правильно. Тем более не означает, что для решения выбран лучший, наиболее удачный, изящный, если можно так выразиться, вариант. Задачу можно считать решенной, если найденное решение: 1) безошибочно, 2) обоснованно, 3) имеет исчерпывающий характер.

Во многих текстовых задачах однозначное решение можно найти только в том случае, если учесть неравенства, вытекающие из условий. В ряде задач только с помощью неравенств удается получить дополнительные соотношения и тем самым найти решение. Наконец, существуют текстовые задачи, рассчитанные не умение составлять не только уравнения, но и неравенства, и с их помощью получать ответы на поставленные в задачах вопросы.

Задача 1. Две трубы, действуя вместе в течение одного часа, наполняют водой 3/8 бассейна. Если сначала первая труба наполнит одну восьмую часть бассейна, а затем вторая при выключенной первой доведет объем до 3/8 бассейна, то на это потребуется 2,5 часа, если первую трубу включить на час, а вторую – на полчаса, то они наполнят бассейн более чем на четверть. За какое время наполняет бассейн каждая труба?

Решение задачи. I. Составление математической модели. х л/час – производительность первой трубы; у л/час – производительность второй трубы; V л – объем бассейна. Тогда условие задачи можно записать следующим образом х + у = V,

Требуется определить t = V/x, T = V/y. Тогда систему можно переписать так Математическая модель готова.

II. Работа с математической моделью. 1)Из второго уравнения имеем t = 20 – 2T. 2) Подставляем в первое уравнение, получаем уравнение относительно T 3T T + 80 = 0. Корни данного уравнения: T = 8 или T = 10/3. 3) Тогда решениями данной системы первых двух уравнений являются и Последнему неравенству системы удовлетворяет лишь первое решение.

III. Ответ на вопрос задачи. Первая труба заполнит бассейн за 4 часа, а вторая – за 8 часов. Ответ: 4 часа, 8 часов.

Задача 2. Из города А в 9 часов утра выехал велосипедист и двигался с постоянной скоростью 12 км/ч. Спустя 2 часа вслед за ним из А выехал мотоциклист, который при начальной скорости 22 км/ч двигался равнозамедленно, так, что за час его скорость уменьшается на 2 км/ч. Автомобилист, едущий им навстречу в город А с постоянной скоростью 50 км/ч, сначала встретил мотоциклиста, а потом велосипедиста. Успеет ли автомобилист к 19 часам этого дня прибыть в город А?

Решение задачи. I. Составление математической модели. 1 час 22 км/ч 20 км/ч 2 часа 12 км/ч 50 км/ч По условию задачи автомобилист встретит сначала мотоциклиста, а затем велосипедист. Следовательно, мотоциклист некоторый участок пути пройдет впереди велосипедиста. Именно на этом участке пути произойдут их встречи с автомобилистом. Найдем этот участок. Пусть х ч – время, отсчитываемое от 9 часов утра, тогда 12х км – путь пройденный велосипедистом, а - км – путь пройденный мотоциклистом. Приравнивая эти два пути, найдем соответствующие значения х, при которых мотоциклист и велосипедист обгонят друг друга. 12х =

II. Работа с математической моделью. 12х = t 2 – 14t + 48 = 0, t 1 = 6, t 2 = 8. III. Ответ на вопрос задачи. Следовательно, мотоциклист обгонит велосипедиста в 15 часов дня на расстоянии 72 км от города А, а затем велосипедист обгонит мотоциклиста в 17 часов на расстоянии 96 км от города А. Итак, автомобилист, двигающийся со скоростью50 км/ч, ранее 17 часов был на расстоянии менее 96 км от города А, следовательно, он успеет к 19 часам прибыть в город А. Ответ. Успеет.

Задача 3. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 18 км, в 8 часов выходит пешеход, в 11 часов выезжает велосипедист. Известно, что пешеход прибыл в пункт В не позже, чем в 12 часов 30 минут, а велосипедист прибыл в пункт В не позже пешехода. Считая скорости пешехода и велосипедиста постоянными, определить скорость велосипедиста, если она не более, чем на 8 км/ч превышает скорость пешехода. в 11 часов в 9 часов В A 18 км Необычность условий этой задачи состоит в том, что на их основе нельзя составить ни одного уравнения, а решение сводится к рассмотрению системы неравенств.

Решение задачи. I. Составление математической модели. х км/ч – скорость велосипедиста, а км/ч – разность скоростей велосипедиста и пешехода, (х – а) км/ч – скорость пешехода. Тогда получим х – а > 0,,

II. Работа с математической моделью. Преобразуем полученную систему x > a > 0, Из второго неравенства, учитывая первое, получим х а + 4.

Рассмотрим третье неравенство. Корни квадратного трехчлена х 2 – ах – 6а есть Х 1,2 = Применяя метод интервалов с учетом первого неравенства, получим x 1 a х 2 x a < x < Объединяя результаты, имеем, что значение х должно удовлетворять следующему неравенству а + 4 х

Чтобы существовали такие значения х, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство а + 4 или а + 8 откуда а 8. Учитывая, что по условию а 8, получим, что а = 8. При этом последнее неравенство для х дает откуда х = 12. III. Ответ на вопрос задачи. Скорость велосипедиста 12 км/ч. Ответ: 12 км/ч

Задача 4. На реке, скорость течения которой равна 4 км/ч, в направлении её течения расположены пристани А, В, С, причем расстояние от А до В вдвое меньше, чем расстояние от В до С. От пристани В в один и тот же момент по направлению к пристани С отправлены плот (плывущий относительно берегов со скоростью течения реки) и катер. Дойдя до пристани С, катер разворачивается и движется по направлению к пристани А. Найти все значения собственной скорости катера (т. е. скорости катера в стоячей воде), при которых катер приходит в пункт А не раньше, чем плот приходит в пункт С.

Решение задачи. I. Составление математической модели. Пусть х км/ч – скорость катера в стоячей воде, у км - расстояние от пристани А до пристани В. ч – время движения катера из В в С, - время движения катера из В в С и обратно из С в А против течения. По условию.

II. Работа с математической моделью. Применим метод интервалов, учитывая, что x > х

Получим, что 4 < x 12. III. Ответ на вопрос задачи. Собственная скорость движения катера в стоячей воде должна быть в интервале (4; 12] км/ч. Ответ: (4; 12] км/ч.