Решение оптимизационных задач по алгебре Выполнил: Баньязов Павел, учащийся 10 класса МОУ «Лицей» г.Новотроицка Научный руководитель: Поветкина Н.А.

Актуальность задачи на отыскание наибольших или наименьших значений, называемые оптимизационными, часто применяются в практической деятельности человека: в математике, технике, экономике, медицине и естествознании

Объект исследования: оптимизационные задачи Предмет исследования: Приемы решения оптимизационных задач Цель исследования Выявить и обосновать математические средства для решения задач; с помощью которых решаются оптимизационные задачи Задачи Найти и решить оптимизационные задачи с применением некоторых теорем, использованием свойств квадратного трехчлена, неравенство Коши.

Теорема 1. Произведение двух положительных множителей, сумма которых постоянна, имеет наибольшее значение при равенстве множителей (если множители могут иметь равные значения). Теорема 2. Сумма двух положительных слагаемых, произведение которых постоянно, имеет наименьшее значение при равенстве слагаемых Использование теорем

Использование свойств квадратного трехчлена Найти наименьшее значение функции y=x 2 -6x+5 1 Способ y=x 2 -6x+5=( x-3) Т.К. ( x-3) 2 >=0 при всех x, то y(3)=-4. 2 Способ корни трехчлена: (x 2 -6x+5=0) х=1,х=5 Парабола симметрична, поэтому вершины x вер есть среднее арифметическое чисел 1и 5: х вер =3. Т.к. старший член положительный, то функция примет наименьшее значение при x вер =3. Имеем min y=y(x вер )=y(3)=9-18+5= -4.

3 способ Используем монотонность функции y= (x-3) При x 3 возрастает, поэтому в точке х=3 принимает наименьшее значение. Ответ: У min =у(3)= -4 В общем случае: y= ax 2 +bx+c=a(x 2 + )+c=a(x )+c=a(x+ ) c=a(x+ ) 2 +. Из этого следует: Теорема 1 а)Если а>0, то функция y= ax 2 +bx+c при x=-b/2a принимает наименьшее значение, равное (4ас-b 2 )/4а; б) Если а

Задача: Железная дорога между городами Новотроицк, Карталы и Магнитогорск не лежит на одной прямой. Где на железной дороге от г.Новотроицк до г.Карталы нужно построить такую станцию, сумма квадратов расстояний которой до г.Новотроицк, г.Карталы и г.Магнитогорск была бы наименьшей? Считать, что путь от станции до станции прямолинейный.

1.МД=а, НД=b, ДК=с, СД=x y= МС 2 +НС 2 +КС 2 2. МС 2 =МД 2 +СД 2 =x 2 +a 2 ; НС 2 =(НД-СД) 2 =(b-x) 2 ;КС 2 =(с+x) 2. 3.y= (a 2 +x 2 )+(b-x) 2 +(c+x) 2 =3x 2 -2(b-c)x+b 2 +c 2. y=3(x- ) 2 +a 2 +b 2 +c 2 - При x= у min =a 2 +b 2 +c 2 -. Ответ: Н К М D C x а b c

Применение неравенство Коши для решения оптимизационных задач Много довольно сложных оптимизационных задач может быть решены с помощью использования классического неравенства Коши. Теорема 1: Если a 1,а 2,….....а n - неотрицательные числа, то (а 1 + а 2 +…..+ а n )/n

Задача: Найти наименьшее значение функции y=x 2 -6x+5 (Решена с помощью неравенства Коши) Х вер =6/2=3 x 2 -6x+5=(х-1)(х-5) x 1 =1 x 2 =5 Наименьшее значения находится на отрезке [1;5], ибо на этом отрезке не положительна, а вне- положительна а) Если x>5 то y>0 если x 0 б) x [1;5] то y

Так как по теореме Коши а 1 + а 2 +…..+ а n > 0 и (а 1 *а 2 *…..*а n )>0, то при 1

Методы решения оптимизационных задач: с применением теорем, с использованием свойства квадратного трехчлена, неравенства Коши.