ЭЛЕМЕНТЫ ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО ХАОСА ЭЛЕМЕНТЫ ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО ХАОСА III Пулковская молодежная астрономическая конференция

ТРИ ПЕРИОДА В ТЕОРИИ ДС Александр Александрович Андронов Жюль Анри́ Пуанкаре́ ( ) Исаак Ньютон ( ) Дано дифференциальное уравнение. Решить его. Дано дифференциальное уравнение. Описать свойства его решений, не решая его, а используя свойства правой части. Не дано никакого дифференциального уравнения. Описать свойства его решений.

Дискретная динамическая система

Б ильярд –дискретная динамическая система и вычислительное устройство!

Один человек имеет в бочонке 12 пинт вина (1 пинта 0,568 л) и хочет подарить четыре пинты приятелю. Но у него нет сосуда в 4 пинт ы, однако имеются два пустых сосуда объемом 8 пинт и 5 пинт. Как с их помощью отлить ровно 6 пинт вина? Задача Пуассона Симеон Дени Пуассон (1781 – 1840) Бильярдное решение задачи нашел Тарталья на 200 лет раньше! Nicolo Tartaglia ( ) гг.

Бильярды с кусочно-гладкой границей Q Q Q

Два механизма возникновения хаоса Дефокусирование Примеры: стадион, эллипс Q-Q- Q Рассеяние Примеры: газ Лоренца, бильярд Синая Q+Q+ Q Динамика полностью определяется свойствами границы

Тор Примеры а) Рассеивающие бильярды (бильярды Синая) Бильярд в квадрате

Если скорости облаков, с которыми сталкивается частица, распределены случайно, то можно сказать, что число облаков, движущихся в одном направлении, равно числу облаков, движущихся в обратном направлении. Поэтому частица будет чаще сталкиваться с теми из них, которые движутся ей навстречу. Отсюда следует, что частица чаще будет приобретать энергию, чем отдавать ее.

В типичной ситуации вероятность встречных столкновений больше, чем сопутствующих, так что частицы в среднем будут ускоряться

топологическое пространство (многообразие ) алгебра (замкнутые орбиты) мера (инвариантная+эргодическая) группа преобразований (динамика) Абстрактная динамическая система Каскад Поток

Гомеоморфизмы и диффеоморфизмы гомеоморфизм гомеоморфизм, если взаимно однозначные 1-1 непрерывные функции Карта многообразия Диффеоморфизм – гладкий гомеоморфизм

Сдвиг Бернулли Прогноз как уточнение начальных условий m - размерность, N – длина временного ряда Сдвиг Бернулли

Показатель Ляпунова

Динамические системы и все такое.... Атанасиус Кирхер ( ) р- цикл Неподвижная точка Он состоит из неподвижных точек и периодических орбит Аттрактор Аттрактор – инвариантное притягивающее множество точек

Аттрактор Лоренца

Множество Кантора 01 1/32/3 1/9 2/9 7/98/9 Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, ( ).

Дьявольская лестница 01 Непрерывная монотонно возрастающая функция почти всюду горизонтальна!

Michael Barnsley John Hutchinson Iterated function systems сжатие, В полном метрическом пространстве существует единственная неподвижная точка Итеративная система функций если для Оператор Хатчинсона:

Пространство компактов Метрика Хаусдорфа: полное метрическое пространство сжатие в Неподвижная «точка» фрактал или аттрактор

Фрактал Серпинского Вацлав СЕРПИНСКИЙ ( )

Служа науке, он терпел лишенья. Был рок его тревожен и суров, Он злой судьбою избран был мишенью Скорей ударов, нежели даров... Чарлз БЕББИДЖ ( )г. Я отдаю себе отчет, что мои утверждения могут рассматриваться как нечто сверхутопическое и что они вызовут в памяти философов Лапуты...

Клянусь дьяволом, что не пройдет и 10 лет, как я высосу некоторое количество жизненной крови из загадок Вселенной, причем так, как это не смогли бы сделать обычные смертные губы и умы. Августа Ада Лавлейс ( ) Никто не знает, какие ужасающие энергии и сила лежат еще неиспользованными в моем маленьком гибком существе... «Я хочу вставить в одно из моих примечаний кое-что о числах Бернулли в качестве примера того, как неявная функция может быть вычислена машиной без того, чтобы предварительно быть разрешенной с помощью головы и рук человека. Пришлите мне необходимые данные и формулы».

ТЕЗИС ЧЕРЧА - ТЬЮРИНГА Алонзо Черч ( ) любая интуитивно вычислимая функция является частично вычислимой, или, что тоже самое, может быть вычислена некоторой машиной Тьюринга. Алан Тьюринг ( ) Муравей Лэнгтона

НЕЛИНЕЙНЫЙ ПРОГНОЗ (Farmer J.D., Sidorovich J.J. Predicting chaotic time series Phys. Rev. Lett Vol. 59. – P ) Ни Ангелы Божии, ни демоны не знают таким образом будущего, однако предсказывают Св. Иоанн Дамаскин. Точное изложение православной веры.

МЕТОД АНАЛОГОВ ЛОРЕНЦА Что было, то и будет; и что делалось, то и будет делаться, и нет ничего нового под солнцем. (1 Еккл. 8,15) -процедура Временной ряд – последнее значение, Выберем все из истории, такие, что с. Если таких нет или их мало, то уменьшаем или увеличиваем Прогноз или – это объединение -окрестностей элементов Плохо, если область, где мы предсказываем или недопустимо большая Э.Лоренц

Локальный прогноз Локальный прогноз 1. Для каждой точки находим ее ближайших соседей Коэффициенты полинома находят из локальной ошибки: полиномом степенив -окрестности 2. Аппроксимируем Достоинство Достоинство: не надо «склеивать» аппроксимации в разных точках Недостатки Недостатки: Число коэффициентов в растет как Поэтому Далекие соседи разрушают динамику окрестности

Эмбедология - реконструкция модели из временных рядов Дано: наблюдения 1.Какова должна быть динамическая система чтобы 2.Как получить копию Attr в Задача Платона:

Кредо идеального экспериментатора (В.С.Афраймович, А.М.Рейман Нелинейные волны, 1989) Математический образ процесса в конечномерный аттрактор Для Единственная мера средняя частота пребывания траектории в боксе эргодична: для любой для почти всех при типичная точка для меры Наблюдаемая липшиц-непрерывна:

(a) – вложение (b) – погружение (a)– вложение и погружение (b) – вложение, но не погружение (c) – погружение

Догма о трансверсальности Два подмножества размерности и вложенные в либо не пересекаются, либо пересекаются. Пересечение типично (трансверсально), если Найти такое, что вложение. ТипичныеТипичные самопересечения отсутствуют, если

Алгоритм Такенса (Takens F. Lecture Notes in Math., 1981, v.898, p.366)

Отображение запаздывающих координат

Примеры реконструкций Температурный ряд Санкт-Петербурга 1775 – 1997 г.г.

Типичность Свойство называется типичным для f в X, если оно выполняется почти в каждой точке X и ее окрестности Если оно не выполняется в какой либо точке для f, то оно справедливо для Свойство типично, если оно выполняется на пересечении открытых и всюду плотных множеств

Динамика в НЕЛИНЕЙНЫЙ AR-ПРОГНОЗ Динамика в Предиктор – только одна скалярная компонента:

Теорема Колмогорова. Точное представление Пусть и Любую непрерывную функцию можно представить в виде: где универсальная непрерывная функция рациональные числа непрерывные неубывающие функции на

Приближенное нейросетевое представление Класс нейросетевых функций нелинейная (пороговая) функция Однослойная нейронная сеть

Многослойная нейронная сеть

Ассоциативная память По рзелульаттам илссеовадний одонго анлигйсокго унвиертисета, не иеемт занчнеия, в кокам пряокде сапожолены бкувы в солве. Галвоне, чотбы преавя и пслоендяя бквуы блыи на мсете. Осатьлыне бкувы мгоут селдовтаь в плоонм бсепордяке, все-рвано ткест чтаитсея без побрелм. Пичрионй эгото ялвятеся то, что мы не чиатем кдаужю бкуву по отдльенотси, а все солво цликеом.

ВЫБОР МОДЕЛИ 1.Принцип Оккама ( ) 2.Принцип Rissanenа: Pluralitas non est ponenda sine necessitate Не следует умножать сущности без необходимости Наилучшая модель имеет минимальную длину описания All theorems are true. All models are wrong. And all data are inaccurate. What are we to do? Leonard A Smith

АЛГОРИТМИЧЕСКАЯ СЛОЖНОСТЬ СИГНАЛА Длина минимальной программы для вычисления с помощью машины Тьюринга : G.J.Chaitin Ray Solomonoff А.Н.Колмогоров ( )

- модели; - данные - априорная вероятность модели Т.Байес ( гг.) Выбор Модели по Байесу ML-принцип: M.Li, P.Vitanyi, J.Comput.Sys P Бинарные тексты всех предсказанных эффектов - перечислимая функция - идеальная полумера Тогда теория для которой лучшая по Байесу!

ПРИНЦИП МИНИМАЛЬНОЙ ДЛИНЫ ОПИСАНИЯ () ПРИНЦИП МИНИМАЛЬНОЙ ДЛИНЫ ОПИСАНИЯ (MDL) Jorma Rissanen М – модель, D – данные Хорошая модель:

Ничто так не ускользает от изображения в слове и в то же время ничто так настоятельно не требует передачи на суд людей, как некоторые вещи, существование которых недоказуемо, да и маловероятно…. (Альберт II, Трактат о кристалл. духах. кн. 1, гл. 28) St. Albertus Magnus (1193 – 1280) БЛАГОДАРЮ ЗА ВНИМАНИЕ!