Построение сечений многогранников. Учитель: Аляева О.Н.

Введение. В работе представлены различные методы построения сечений многогранников. Однако особое внимание уделено методу следов.

1.Основные понятия Многогранником называется ограниченное тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников(граней многогранника, а стороны и вершины многоугольников называются соответственно рёбрами и вершинами многогранника). Выпуклый многогранник – это многогранник расположенный по одну сторону от плоскости каждой его грани.

Секущей плоскостью называется плоскость, по обе стороны от которой расположены точки многогранника. Сечением многогранника плоскостью является многоугольник, представляющий собой множество всех точек пространства принадлежащих одновременно данным многограннику и секущей плоскости.

Способы построения сечений. 1. Метод следов. Примеры построения сечений в: а) кубе, б) тетраэдре, в) пирамиде, Г) призме. 2. Метод параллельных прямых. 3. Метод дополнения. 4. Метод деления. 5. Метод переноса секущей плоскости.

1-1.Метод следов. Метод следов заключается в следующем. Сначала строят на основной плоскости след секущей плоскости (причем за основную плоскость принимают большей частью плоскость основания геометрического тела).Затем, используя след секущей плоскости, находят точки встречи ребер многогранника с секущей плоскостью. Используя полученные ( и данные ) точки,получают следы секущей плоскости на гранях многогранника.

а)в кубе.(пример 1) Построить сечение куба плоскостью заданной тремя точками P,K и M на его боковых ребрах. Проведем через точки Т и Р прямую а. Проведем прямую b через точки А и В. Обозначим точку их пересечения R. Проведем прямую d через точки T и M Проведем прямую с через точки В и С Обозначим точку пересечения R 1 Соединим прямой х точки R и R1 Точки пересечения прямой x с ребрами AD и DC обозначим X и Y. Многоугольник XPTMY –искомое сечение.(рис.1)

(рис.1)

а)в кубе.(пример 2) Дан куб АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 и точка М принадлежащая грани DD 1. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки А 1, С 1 и М и найти линию пересечения секущей плоскости с плоскостью основания куба. Решение.I. Секущая плоскость имеет с гранью А 1 В 1 С 1 D 1 две общие точки А 1 и С 1 и, следовательно, пересекается с нею по прямой, проходящей через эти точки. Соединяя точки А 1 и С 1 отрезком прямой А 1 С 1, находим линию пересечения плоскости будущего сечения и плоскости верхней грани. Аналогично находим линии пересечения секущей плоскости с гранями АА 1 D 1 D и DD 1 C 1 C : А 1 М и С 1 М соответственно.А 1 С 1 М – искомое сечение. II. Находим точки пересечения прямых А 1 М и С 1 М с плоскостью нижней грани: Х и Y (задача 1); соединяем Х и Y; ХY – искомая линия пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания куба.

б) в тетраэдре. На рёбрах АВ, В D и С D тетраэдра АВСД отмечены точки М, N, Р. Построить сечение тетраэдра плоскостью М N Р. Решение. 1. Построим прямую МЕ, по которой пересекаются плоскости М N Р и АВС. 2. Точка М является их общей точкой. 3. Продолжим отрезки N Р и ВС до их пересечения в точке Е. 4. Прямая МЕ пересекает ребро АС в точке Т. 5. Четырёхугольник М N РТ - искомое сечение.

A C B D Q M P N E I

Примеры сечения тетраэдра плоскостью Так как тетраэдр имеет четыре грани, то его сечениями могут быть треугольники, четырёхугольники A C B D Q M P N E I D C A B M N P Q E` D C B A E F G

в) в пирамиде Построить сечение пирамиды КАВСD, у которой ребро КА перпендикулярно плоскости основания ( К – вершина пирамиды). Сечение проходит через вершину А и точку М, лежащую на ребре КС параллельно диагонали основания ВD. Решение. Сечение проходит через точки А и М, т.е. через прямую АМ параллельно диагонали ВD. Рассмотрим эту секущую плоскость вне пирамиды КАВСD. Секущая плоскость проходит через А параллельно ВD, поэтому проведём через А прямую а параллельно диагонали ВD. Прямая а лежит в плоскости АВС и в плоскости сечения. Значит точка пересечения прямых а и CD – точка Z принадлежит секущей плоскости и плоскости KCD. И так в плоскости KCD есть две точки M и Z принадлежащие секущей плоскости. Тогда секущая плоскость пересекает грань KCD по отрезку PM. Аналогично найдем точку F – точку пересечения ребра KB (прямые а и CB пересекаются в точке Q, прямая MQ пересекает ребро KB точке F). Четырёхугольник APMNF – искомое сечение пирамиды KABCD.

Г) в призме. Построить в треугольной призме АВСА 1 В 1 С 1 сечение, проходящее через ребро АВ и середину А 1 С 1. Решение. Пусть М – серединаА 1 С 1. Выясним, что в секущей плоскости и грани АА 1 С 1 С лежат одновременно точки А и М. Значит, секущая плоскость пересекает грань АА 1 С 1 С по прямой АМ. Определим линию пересечения секущей плоскости и плоскости (А 1 В 1 С 1 ). Так как плоскость (А 1 В 1 С 1 ) имеет с секущей плоскостью одну общую точку М, то они пересекаются по прямой, содержащей точку М. Но как проходит эта прямая? Секущая плоскость проходит через АВ, но АВ параллельна А 1 В 1. Следовательно, cекущая плоскость пересекает плоскость (А 1 В 1 С 1 ) по прямой МК, параллельной А 1 В 1, где К-точка пересечения прямых МК и В 1 С 1 Точки К и В принадлежат одновременно грани ВВ 1 С 1 С и секущей плоскости. Следовательно, прямая КВ является прямой пересечения секущей плоскости и грани ВВ 1 С 1 С. Четырёхугольник АМКВ является сечением призмы.

2. Метод параллельных прямых. В основу метода положено свойство параллельных плоскостей «Прямые, по которым плоскость пересекает данные параллельные плоскости, параллельны между собой». Пример

Пример: Дано изображение пятиугольной призмы ABCDEA 1 B 1 C 1 D 1 E 1.Точка K принадлежит прямой AA 1, М принадлежит прямой CC 1 постройте сечение призмы плоскостью KBM. Через ребро AA 1 проводим плоскость a, параллельную грани BCC 1 B 1. Получаем: Точка P – точка пересечения прямой ED и плоскости a, P 1 – точка пересечения прямой E 1 D 1 и плоскости а, F – точка пересечения прямой CD и плоскости а, F 1 – точка пересечения прямой C 1 D 1 и плоскости a. Очевидно, что A 1 F 1 параллельна B 1 C 1 и AF параллельна BC. Так как плоскость а параллельна грани BCC 1 B 1, то секущая плоскость KBM пересечёт плоскость а по прямой KX, параллельной BM (X принадлежит прямой FF 1 ). Получаем, что прямая PP 1 пересекает прямую KX в точке О, а прямая МХ пересекает прямую DD 1 в точке T, прямая EE 1 пересекает прямую ТО в точке Y. Прямоугольник КBMTY – искомое сечение данной призмы.

3. Метод дополнения n-угольной призмы(пирамиды) до треугольной призмы(пирамиды). Данная призма(пирамида) достраивается до треугольной призмы(пирамиды). Строится сечение полученной треугольной призмы(пирамиды). Искомое сечение получается как часть сечения треугольной призмы(пирамиды). Пример

Пример: Дано изображение пятиугольной пирамиды MABCDE. Точка F принадлежит ребру AM, точка T принадлежит ребру MC. Постройте сечение пирамиды плоскостью FBT. Строим точку P – точку пересечения прямой BC и DE, и точку К – точку пересечения прямых AB и DE. Соединяем отрезками точки M и K, P и М и получаем треугольную пирамиду MKBP, частью которой является данная пятиугольная пирамида. Строим сечение пирамиды MKBP плоскостью FBT. Точка X – точка пересечения прямых FB и KM, точка Y – точка пересечения прямых BT и MP. Треугольник XYB – сечение пирамиды MKBP плоскостью FBT. Точка Q – точка пересечения прямых EM и XY, а точка H – точка пересечения прямых MD и XY. Пятиугольник QHTBF – искомое сечение данной пятиугольной пирамиды.

Чертёж.

4. Метод деления n-угольной пирамиды(призмы) на треугольные пирамиды(призмы). Из данной n-угольной призмы(пирамиды) выделяется та треугольная призма(пирамида), на боковых рёбрах которой лежат точки, определяющие искомое сечение. Строится сечение этой треугольной призмы(пирамиды). Строятся сечения тех треугольных призм(пирамид), которые имеют общие части с данным многогранником. Пример

Пример. Построить сечение призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 проходящие через точки T, P, K, принадлежащие рёбрам AA 1, BB 1, CC 1 соответственно. - Заметим что треугольник TPK является сечением треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1, с этой призмой имеет общую часть призма BCDB 1 C 1 D 1. - Обозначим N – точка пересечения прямых AC и BD; M – точку пересечения прямых A 1 C 1 и B 1 D 1. - Очевидно отрезок MN является пересечением боковых граней AA 1 C 1 C и DD 1 B 1 B призм ABCA 1 B 1 C 1 и BCDB 1 C 1 D 1. - Теперь понятно, что треугольник PKX является сечением призмы BCDB 1 C 1 D 1. - Четырёхугольник TPKX – искомое сечение.

5. Метод переноса секущей плоскости. Сначала строится вспомогательное сечение данного многогранника, которое удовлетворят следующим требованиям: а) оно параллельно секущей плоскости; б) в пересечении с поверхностью данного многогранника образует треугольник. После этого искомое сечение строиться на основании свойств прямых, по которым две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью. Пример

Пример. Точки М, N и К принадлежат соответственно ребрам SB,SA и SC пирамиды SABCD Построить сечение пирамиды плоскостью МNK. - В плоскости ASB построим прямую АР, параллельную NM (т. Р принадлежит ребру SB. - В плоскости SBC строим прямую PF, параллельную прямой МК ( точка F лежит на прямой ВС). - Прямая AF пересекает прямую BD в точке О. - Получим треугольник APF, который является сечением данной пирамиды. Причём плоскости NMK и APF параллельны. -В плоскости основания BSD строим прямую МЕ параллельную РО ( точка Е лежит на диагонали ВD). - В плоскости основания пирамиды через точку Е проводим прямую, параллельную AF, которая пересечёт рёбра пирамиды AD и DC в точках X и Y соответственно. - Пятиугольник XNMKY – искомое сечение.