Конус Учитель математики МБОУ г.Кургана «Средняя общеобразовательная школа 9» Бухтоярова Юлия Сергеевна

Из предложенных геометрических фигур выбрать конус

Знакомство с конической поверхностью

Конус в переводе с греческого «konos» означает «сосновая шишка». С конусом люди знакомы с глубокой древности. Много сделала для геометрии школа Платона (428–348 гг. до н. э.). Школе Платона, в частности, принадлежит: а) исследование свойств призмы, пирамиды, цилиндра и конуса; б) изучение конических сечений.

Большой трактат о конических сечениях был написан Аполлонием Пергским– учеником Евклида, который создал великий труд из 15 книг под названием «Начала». Эти книги издаются и по сей день, а в школах Англии по ним учатся до сих пор.

F P x Определение: тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом. L

Пусть в некоторой плоскости задана какая- нибудь фигура F, не лежащая на одной прямой, а вне этой плоскости – точка P. Фигура, образованная всевозможными отрезками PX, соединяющими точку P с точками фигуры F, называется конусом с вершиной Р и основанием F.

боковая (коническая) поверхность высота конуса (РО) ось конуса вершина конуса (Р) основание конуса радиус конуса (r) B r образующие P

Прямой круговой конус является объединением всех равных друг другу прямоугольных треуголь- ников, имеющих общий катет. Поэтому можно сказать, что он получа- ется при вращении прямоугольного треуголь- ника вокруг одного из катетов – оси конуса. В А С С1С1 С2С2

Сечение, перпендикулярное к оси конуса представляет собой круг, секущая плоскость перпендикулярна оси конуса. РО 1 М 1 ~ РОМ r 1 = РО 1 /РО*r ОСЕВОЕ СЕЧЕНИЕ СЕЧЕНИЕ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЕ ОСИ КОНУСА В сечении равнобедренный треугольник, основание которого диаметр основания конуса, а боковые стороны – образующие конуса.

Рис.1Рис.2Рис.3 эллипс параболагипербола

За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь его развертки (конической поверхности). 1) S бок = 2 πl α 360 2) S бок = πrl P A B

Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую. Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания. S кон = πr (l+r)

Усеченным конусом называется пересечение конуса с полупространством, содержащим основание конуса и ограниченным плоскостью, которая параллельна плоскости основания конуса и пересекает данный конус. основания образующая радиусы боковая поверхность высота

Задача 1. ( ) Высота конуса равна диаметру его основания. Найти отношение площади его основания к площади боковой поверхности. Решение: Пусть радиус основания конуса равен R, тогда площадь основания S осн = R, а высота конуса 2R. 2 π O A S В SOA: SA = SO + OA = (2R) + R = R Итак, l = SA = R 5 Тогда S бок = R l = R 5 Искомое отношение: ππ S бок S осн = = π π R R 5 5 5