Матрицы Собственные числа и собственные векторы

Введение Целый ряд инженерных задач сводится к рассмотрению систем уравнений, имеющих единственное решение лишь в том случае, если известно значение некоторого входящего в них параметра. Этот особый параметр называется характеристическим, или собственным, значением системы. С задачами на собственные значения инженер сталкивается в различных ситуациях. Так, для тензоров напряжений собственные значения определяют главные нормальные напряжения, а собственными векторами задаются направления, связанные с этими значениями. При динамическом анализе механических систем собственные значения соответствуют собственным частотам колебаний, а собственные векторы характеризуют моды этих колебаний. При расчете конструкций собственные значения позволяют определять критические нагрузки, превышение которых приводит к потере устойчивости.

Определение Рассмотрим квадратную матрицу n-ого порядка: - собственный вектор матрицы A, соответствующий некоторому собственному значению. Собственные значения i, (i=1,.., n) квадратной матрицы A есть действительные или комплексные числа, удовлетворяющие условию

Основные свойства собственных значений 1. Все п собственных значений симметричной матрицы размерности n×n, состоящей из действительных чисел, действительные. Это полезно помнить, так как матрицы, встречающиеся в инженерных расчетах, часто бывают симметричными. 2. Если собственные значения матрицы различны, то ее собственные векторы ортогональны. 3. Если две матрицы подобны, то их собственные значения совпадают. 4. Умножив собственный вектор матрицы на скаляр, получим собственный вектор той же матрицы. Обычно все собственные векторы нормируют, разделив каждый элемент собственного вектора либо на его наибольший элемент, либо на сумму квадратов всех других элементов.

Нахождение собственных чисел Пожалуй, наиболее очевидным способом решения задачи на собственные значения является их определение из системы уравнений (A - E) Х = 0, которая имеет ненулевое решение лишь в случае, если det(A - E)=0. Раскрыв определитель, получим многочлен п-й степени относительно, корни которого и будут собственными значениями матрицы.

Пример Найти собственные значения и собственные векторы матрицы.

Решение Составляем характеристическое уравнение и находим его решение:

Найдем собственные векторы Собственные значения: Найдем собственные вектора:

Задания

Метод Леверье Метод Леверье основан на формулах Ньютона для сумм степеней корней алгебраического уравнения и заключается в следующем. Пусть характеристический многочлен матрицы А

Метод Леверье Рассмотрим суммы:

откуда получаем: при k=1 p 1 =S 1 при k=2 ………………………………………………………………………………. при k=n Следовательно, коэффициенты характеристического многочлена p 1, p 2,…, p n можно легко определить, если известны суммы S 1, S 2,…, S n. Метод Леверье. Каждая сумма S k есть след матрицы A k. Тогда при kn справедливы формулы Ньютона: