Математический анализ Раздел: операционное исчисление Тема: Оригинал и изображение. Теорема обращения Лектор Пахомова Е.Г г.

§ 11. Оригинал и изображение. Т ТТ Теорема обращения ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Пусть f(t):. Функция f(t) называется оригиналом, если 1) f(t) и ее производная f (t) определены и непрерывны на за исключением может быть отдельных точек разрыва Iрода, число которых на любом интервале конечно; 2) f(t) = 0, t < 0 ; 3), где M,s 0 – const, s 0 0 (s 0 называют порядком роста функции f(t)). ПРИМЕР. Единичная функция Хэвисайда: Замечание. Если для функции (t) выполняются условия 1 и 3 определе- ния 1, то функция (t) (t) будет являться оригиналом. В дальнейшем будем писать sint, cost и т. д. подразумевая sint (t), cost (t) и т. д.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть f(t) – оригинал. Изображением функции f(t) (преобразованием Лапласа функции f(t)) называется фкп F(p), определяемая равенством ЗАПИСЫВАЮТ: F(p) = L[f(t)], F(p) f(t), f(t) F(p). ТЕОРЕМА 2. Если f(t) – оригинал с показателем роста s 0, то его изображение F(p) является аналитической функцией в полуплоскости Rep > s 0.

ТЕОРЕМА 3 (обращения). Пусть f(t) – оригинал, f(t) F(p). Тогда в любой точке непрерывности функции f(t) имеет место равенство где C – любая прямая Rep = a > s 0. Замечание. Интеграл в (1) понимается в смысле главного значения, т.е. Принято писать:

ТЕОРЕМА 4. Пусть для функции F(p) выполнены условия: 1)F(p) аналитична в полуплоскости Rep > s 0 (где s 0 – неко- торое неотрицательное число); 2) в любой полуплоскости Rep a > s 0 ; 3) интеграл сходится абсолютно. Тогда F(p) является изображением некоторой функции, которая может быть найдена по формуле (1).