Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Интегрирование ФНП Тема: Векторное поле (типы векторных полей)

5. Типы векторных полей а) соленоидальное Векторное поле ā(M) называется соленоидальным (трубча- тым), если divā(M) 0. Физический смысл: векторное поле соленоидальное в нем нет источников и стоков. СВОЙСТВА СОЛЕНОИДАЛЬНОГО ПОЛЯ 1) Если векторное поле ā(M) является ротором некоторого векторного поля (т.е. ā(M) = rot b ̄ (M) = [ ̄, b ̄ ]), то оно является соленоидальным. Вектор b ̄ (M) называют векторным потенциалом векторного поля ā(M). 2)Поток векторного поля через любую замкнутую поверхность (S) равен нулю.

б) потенциальное Векторное поле ā(M) называется потенциальным если rotā(M) 0 ̄ СВОЙСТВА ПОТЕНЦИАЛЬНОГО ПОЛЯ 1)Векторное поле ā(M) потенциальное оно является градиентом некоторого скалярного поля, т.е. ā(M) = grad u (M ) = ̄ u Функцию u(M) называют потенциалом векторного поля ā(M). 2)Циркуляция потенциального векторного поля по любой замкнутой линии ( ) равен нулю. 3) Векторные линии потенциального поля незамкнуты. 4) В потенциальном поле векторные линии перпендикулярны к поверхностям уровня потенциала

в) гармоническое Векторное поле ā(M) называется гармоническим если оно является соленоидальным и потенциальным одновременно. СВОЙСТВА ГАРМОНИЧЕСКОГО ПОЛЯ 1) Поле ā(M) гармоническое rotā(M) 0 ̄ и divā(M) 0. 2)Если векторное поле ā(M) гармоническое, то u(M) такая, чтоā(M) = grad u (M ) и Уравнение (1) называют уравнением Лапласа. Функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа, называется гармонической.

Векторное поле ā(M), не яляющееся соленоидальным, потенци- альным или гармоническим, называется полем общего вида. ТЕОРЕМА (о представлении векторного поля общего вида в виде суммы потенциального и соленоидального полей). Пусть ā(M) = P(M)i+ Q(M)j+ R(M)k – поле общего вида, P(M), Q(M), R(M) – непрерывно дифференцируемы. Тогда векторное поле ā(M) может быть представлено в виде ā(M) = ā 1 (M) + ā 2 (M), где ā 1 (M) – потенциальное поле, ā 2 (M) – соленоидальное поле.