Математический анализ Раздел: операционное исчисление Тема: Применение преобразования Лапласа Лектор Пахомова Е.Г г.

§14. Применение преобразования Лапласа Метод решение задач математического анализа и других разделов математики с помощью преобразования Лапласа, называют операционным исчислением. 1. Интегрирование ЛДУ с постоянными коэффициентами ПРИМЕР 1. Найти решение задачи Коши:

Замечание. Требование, чтобы начальные условия задачи Коши были заданы в точке t 0 = 0 не является существенным. Если t 0 0, то достаточно ввести новую переменную по формуле u = t – t 0. Это изменит правую часть уравнения и начальные условия приобретут необходимый вид. ПРИМЕР 2. Найти решение задачи Коши:

В случае, если изображение для правой части f(t) найти сложно, решение задачи можно выразить через решение задачи А именно: еслиy(t) – решение уравнения (1), y(t) Y(p) ; y 1 (t) – решение уравнения (2), y 1 (t) Y 1 (p) ; f(t) F(p) ; тоY(p) = p Y 1 (p) F(p) y(t) = y 1 (0) f(t) + y 1 (t) f(t) =

Замечание. Требование, чтобы начальные условия задачи Коши были нулевыми, не является существенным. Если начальные условия ненулевые, т.е. имеют вид: то достаточно ввести новую функцию z(t) по формуле Новое уравнение будет иметь начальные условия необходимого вида.

2. Интегрирование систем ЛДУ с постоянными коэффициентами ПРИМЕР 2. Найти решение задачи Коши:

3. Решение интегральных уравнений типа свертки ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Уравнение вида где f(x), k(x) – известные функции, y(x) – неизвестная функция, называется интегральным уравнением типа свертки. Пусть y(x), f(x), k(x) – оригиналы, y(t) Y(p), f(t) F(p), k(t) K(p). Тогда