Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Функция нескольких переменных Тема: Определение ФНП. Предел и непрерывность ФНП. Частные производные

ГЛАВА III. Функции нескольких переменных §11. Определение функции нескольких переменных. Предел и непрерывность ФНП 1. Определение функции нескольких переменных ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть X = {(x 1, x 2, …, x n ) | x i X i }, U. Функция f : X U называется функцией n переменных. Записывают:u = f(x 1, x 2, …, x n ), где f – закон, задающий соответствие между x 1, x 2, …, x n и u. Значение u = f(x 1, x 2, …, x n ) при x 1 = x 01, x 2 = x 02, …, x n = x 0n записывают в виде u = f(x 01, x 02, …, x 0n ) или

Называют: X – область определения функции (Обозначают: D(u) ), x 1, x 2, …, x n – аргументы (независимые переменные), U – область значений (Обозначают: E(u) ), u (u U) – зависимая переменная (функция). СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФНП 1) словесный; 2) табличный; 3) аналитический: а) явное задание (т.е. формулой u = f(x 1, x 2, …, x n ) ) б) неявное задание (т.е. уравнением F(x 1, x 2, …, x n,u) = 0 ). 4) Функцию z = f(x,y) можно задать графически. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Графиком функции z = f(x,y) называется геометрическое место точек пространства с координатами (x; y; f(x,y)), (x,y) D(z). График функции z = f(x,y) будем также называть «поверх- ностью z = f(x,y) ».

Линией уровня функции z = f(x,y) называют геометрическое место точек (x,y) плоскости, в которых функция принимает одно и то же значение C. 1) Линия уровня – линия в D(z), которая имеет уравнение f(x,y) = C. 2) Линия уровня – проекция на плоскость xOy линии пере- сечения графика функции z = f(x,y) и плоскости z = C. Полагаем C равными C 1, C 1 + h, C 1 + 2h, …, C 1 + nh. Получим линии уровня, по расположению которых можно судить о графике функции и, следовательно, о характере изменения функции.

Таким образом, там, где линии «гуще», функция изменяется быстрее (поверхность, изображающая функцию, идет круче).

Поверхностью уровня функции u = f(x,y,z) называют геометри- ческое место точек пространства Oxyz, в которых функция принимает одно и то же значение C. Уравнение поверхности уровня: f(x,y,z) = C. 2. Предел функции нескольких переменных Напомним: Число A называется пределом функции f(x) при x стремящемся к x 0 (пределом функции f(x) в точке x 0 ), если >0 >0 такое, что если x U * (x 0, ), то f(x) U(A, ).

(x,y) M xOy ; z = f(x,y) = f(M), где M D xOy. (x,y,z) M Oxyz u = f(x,y,z) = f(M), где M D Oxyz. По аналогии, последовательность (x 1, x 2, …, x n ) будем считать декартовыми координатами точки n-мерного пространства и рассматривать функцию n переменных как функцию точки этого пространства. Обозначают: n – n-мерное пространство, u = f(M), где M(x 1, x 2, …, x n ) n – функции n переменных.

Если M 1 (x 1 ), M 2 (x 2 ) Ox, то расстояние между ними (обознача- ют: | M 1 M 2 |) находится по формуле: Если M 1 (x 1,y 1 ), M 2 (x 2,y 2 ) xOy, то Если M 1 (x 1,y 1,z 1 ), M 2 (x 2,y 2,z 2 ) Oxyz, то Обобщая эти формулы, будем считать, что расстояние между точками n-мерного пространства M 1 (x 1, x 2, …, x n ), M 2 (y 1, y 2, …, y n ) n равно

Пусть M 0 (x 01, x 02, …, x 0n ) n. Множество точек n, находя- щихся от M 0 на расстоянии меньшем, будем называть -окрестностью точки M 0 и обозначать U(M 0, ). Иначе говоря, -окрестность M 0 (x 01, x 02, …, x 0n ) состоит из таких точек M(x 1, x 2, …, x n ), для которых имеет место неравенство При n = 1 U(M 0, ) = {M Ox | |M 0 M| = |x – x 0 | < } = (x 0 –, x 0 + ). При n = 2 т.е. U(M 0, ) точки M 0 (x 0,y 0 ) – круг с центром в точке M 0 (x 0,y 0 ) и радиусом. При n = 3 т.е. U(M 0, ) точки M 0 (x 0,y 0,z 0 ) – шар с центром в точке M 0 (x 0,y 0,z 0 ) и радиусом.

-окрестность точки M 0 n без самой точки M 0 будем называть проколотой и обозначать U*(M 0, ) Пусть функция n переменных u = f(M) определена в некоторой окрестности точки M 0 n, кроме, может быть, самой M 0. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число A называется пределом функции f(M) при M стремящемся к M 0 (пределом функции f(M) в точке M 0 ), если >0 >0 такое, что если M U * (M 0, ), то f(M) U(A, ). Записывают в общем случае: Для функции z = f(x,y):

Замечания. 1)Условие M U * (M 0, ) означает, что выполняется неравен- ство: 2)Условие f(M) U(A, ) означает, что для f(M) выполняется неравенство| f(M) – A | < 3)Так как формально определение предела функции n пере- менных ничем не отличается от определения предела функции одной переменной, то все утверждения, которые были получены о пределах функции одной переменной и в которых не используется упорядоченность точек числовой прямой, остаются верными и для предела функции n переменных. 4)Определение бесконечно большой функции переносится на случай функции n переменных тоже дословно (сформулировать самостоятельно).

3. Непрерывность функции нескольких переменных Пусть u = f(M) определена в некоторой окрестности M 0 n. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция f(M) называется непрерывной в точке M 0 если справедливо равенство или, иначе говоря, если >0 >0 такое, что еслиM U(M 0, ) (т.е. | MM 0 | < ), то f(M) U(f(M 0 ), ) (т.е. | f(M) – f(M 0 ) | < ). Справедливы утверждения: 1)арифметические операции над непрерывными в точке M 0 функциями приводят к непрерывным в этой точке функциям (при условии, что деление производится на функцию, не обращающуюся в ноль); 2) сложная функция, составленная из нескольких непрерывных функций, тоже будет непрерывной.

Если функция u = f(M) определена в некоторой окрестности точки M 0 (за исключением, может быть, самой M 0 ), но не является в этой точке непрерывной, то ее называют разрывной в точке M 0, а саму точку M 0 – точкой разрыва. Пусть G – некоторое множество точек в n и M 0 G. Точка M 0 называется внутренней точкой множества G, если U(M 0, ) G. Множество, каждая точка которого – внутренняя, называется открытым. Точка M 0 называется граничной точкой множества G, если в любой ее -окрестности есть как точки из G, так и точки, не принадлежащие G. Множество всех граничных точек множества G называется его границей. Множество, содержащее свою границу, называется замкнутым.

Множество G называется связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, состоящей из точек этого множества. Замечание. Непрерывной кривой в n-мерном пространстве называется геометрическое место точек M(x 1, x 2, …, x n ), координаты которых удовлетворяют уравнениям x 1 = x 1 (t), x 2 = x 2 (t), …, x n = x n (t), гдеx 1 = x 1 (t), x 2 = x 2 (t), …, x n = x n (t) – непрерывные функции параметра t ( ; ). Связное открытое множество называется областью. Связное замкнутое множество называется замкнутой областью. Область, целиком лежащая в некоторой -окрестности точки O(0,0,…,0), называется ограниченной.

ТЕОРЕМА (аналог теорем Вейерштрасса и Коши для ФНП). Если функция n переменных u = f(M) непрерывна в замкнутой и ограниченной области D, то она 1) ограничена; 2) достигает в D своего наибольшего и наименьшего зна- чения; 3) принимает все промежуточные значения между любыми двумя своими значениями.

§12. Частные производные Для наглядности, здесь и далее все определения и утверждения будем формулировать для функции 2-х (или 3-х) переменных. На случай большего числа неизвестных они обобщаются естественным образом. Пусть z = f(x,y), D(z) = D xOy, D – открытая область. Пусть M 0 (x 0,y 0 ) D. Придадим x 0 приращение x, оставляя значение y 0 неиз- мененным (так, чтобы точка M(x 0 + x,y 0 ) D). При этом z = f(x,y) получит приращение x z(M 0 ) = f(M) – f(M 0 ) = f(x 0 + x,y 0 ) – f(x 0,y 0 ). x z(M 0 ) называется частным приращением функции z = f(x,y) по x в точке M 0 (x 0,y 0 ).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Предел при x 0 отношения (если он существует и конечен) называется частной производной функции z = f(x,y) по переменной x в точке M 0 (x 0,y 0 ). Обозначают: или

Замечания. 1) Обозначения и надо понимать как целые символы, а не как частное двух величин. Отдельно взятые выражения z(x 0,y 0 ) и x смысла не имеют. 2) характеризует скорость изменения функции z = f(x,y) по x в точке M 0 (x 0,y 0 ) (физический смысл частной производной по x). Аналогично определяется частная производная функции z = f(x,y) по переменной y в точке M 0 (x 0,y 0 ): Обозначают:

Соответствие (и ) является функцией, определенной на D 1 (D 2 ) D(f). Ее называют частной производной функции z = f(x,y) по переменной x (y) и обозначают Операция нахождения для функции z = f(x,y) ее частных производных называется дифференцированием функции z = f(x,y) по переменной x и y соответственно.

Фактически, – это обыкновенная про- изводная функции z = f(x,y), рассматриваемой как функция одной переменной x (соответственно y) при постоянном значении другой переменной. Поэтому, вычисление частных производных производится по тем же самым правилам, что и для функции одной переменой. При этом, одна из переменных считается константой. ПРИМЕР. Найти частные производные по x и по y функции f(x,y) = x 2 + xy 2 + y 3

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ частных производных функции ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ. Пусть функция z = f(x,y) имеет в M 0 (x 0,y 0 ) частную произ- водную по x. Пусть поверхность S – график функции z = f(x,y). Тогда где – угол наклона к оси Ox касательной, проведенной в точке P 0 (x 0,y 0, f(x 0,y 0 )) к линии пересечения поверхности S и плоскости y = y 0.