Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Интегрирование ФНП Тема: Криволинейный интеграл I рода

§9. К К К Криволинейный интеграл I рода (по длине дуги) 1. Задача, приводящая к криволинейному интегралу I рода Пусть () – спрямляемая кривая в Oxyz, = (x,y,z) – плотность распределения массы вдоль ( ). ЗАДАЧА. Найти массу m кривой ( ). 1.Разобьем ( ) на n частей (Δ 1 ), (Δ 2 ), …, (Δ n ). 2.Если (Δ i ) – мала, то (Δ i ) можно считать однородной и ее массаm i (P i ) · Δ i, где Δ i – длина (Δ i ), P i – произвольная точка из (Δ i ). Тогда

2. Определение и свойства криволинейного интеграла I рода Пусть ( ) – спрямляемая (т.е. имеющая длину) кривая в про- странстве Oxyz, и на кривой ( ) задана функция u = f(x,y,z). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. 1.Разобьем кривую ( ) произвольным образом на n частей, не имеющих общих внутренних точек: (Δ 1 ), (Δ 2 ), …, (Δ n ). 2.На каждой дуге (Δ i ) выберем произвольную точку P i (ξ i ;η i ζ i ) и вычислим произведение f(P i ) · Δ i, где Δ i – длина дуги (Δ i ). Сумму назовем интегральной суммой для функции f(x,y,z) по кривой ( ) (соответствующей данному разбиению кривой ( ) и данному выбору точек P i ).

Пусть Число I называется пределом интегральных сумм I n (Δ i, P i ) при 0, если для любого >0 существует >0 такое, что для любого разбиения кривой ( ) у которого

СВОЙСТВА КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА I РОДА 2. Постоянный множитель можно выносить за знак криволинейного интеграла I рода, т.е. 3. Криволинейный интеграл I рода от алгебраической суммы двух (конечного числа) функций равен алгебраической сумме криволинейных интегралов I рода от этих функций, т.е. Замечание: предполагаем, что все рассматриваемые в свойствах интегралы существуют. где – длина кривой ( ).

4.Если кривая ( ) разбита на две части ( 1 ) и ( 2 ), не имеющие общих внутренних точек, то (свойство аддитивности криволинейного интеграла I рода). 5. Если всюду на кривой ( ) f(x,y,z) > 0 (f(x,y,z) 0), то 6. Если всюду на кривой ( ) f(x,y,z) (x,y,z), то

7.Следствие свойств 6, 2 и 1. Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x,y,z) на кривой ( ), то где – длина кривой ( ). 8.Теорема о среднем для криволинейного интеграла I рода. Если функция f(x,y,z) непрерывна на спрямляемой кривой ( ), то найдется такая точка P 0 (x 0,y 0,z 0 ) ( ), что справедливо равенство где – длина кривой ( ). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно

3. Вычисление криволинейного интеграла I рода Пусть простая (не имеющая кратных точек) кривая ( ) задана параметрическими уравнениями: x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t) (где α t β ).(2) Кривая ( ) называется гладкой, если функции φ(t), ψ(t), χ(t) имеют на [α; β] непрерывные производные. ТЕОРЕМА 1. Если ( ) – гладкая кривая, заданная уравнениями (2) и функция f(x,y,z) непрерывна на ( ), то f(x,y,z) интегрируема по кривой ( ) и справедливо равенство

СЛЕДСТВИЕ 2. Если ( ) – гладкая кривая в плоскости xOy, заданная уравнением y = φ(x) (где x [a;b] ) и функция f(x,y) непрерывна на ( ), то f(x,y) интегрируема по кривой ( ) и справедливо равенство СЛЕДСТВИЕ 3. Пусть ( ) – плоская кривая, заданная в полярных коорди- натах уравнением r = r(φ) (где φ [α;β]). Если функция r(φ) непрерывно дифференцируема на [α;β] и функция f(x,y) непрерывна на ( ), то f(x,y) интегрируема по кривой ( ) и справедливо равенство

ТЕОРЕМА 4 (достаточные условия существования криволиней- ного интеграла I рода). Если ( ) – кусочно-гладкая кривая и функция f(x,y,z) кусочно- непрерывна на ( ), то f(x,y,z) интегрируема по кривой ( ).

4. Геометрические и физические приложения криволинейных интегралов I рода 1) Длина спрямляемой кривой ( ) : 2)Пусть (G) – цилиндр с направляющей ( ) xOy. Тогда где S – площадь части поверхности (G), заключенной между плоскостью xOy и поверхностью z = f(x,y). Пусть ( ) – материальная спрямляемая кривая в пространстве Oxyz с плотностью γ(x,y,z). Тогда где m – масса кривой ( ).

3)Статические моменты кривой ( ) относительно плоскостей xOy, yOz и xOz равны соответственно: ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно – координаты центра тяжес- ти кривой ( ).

5)Моменты инерции кривой ( ) относительно осей Ox, Oy и Oz равны соответственно: – момент инерции кривой ( ) относительно начала координат.